第6章 约束优化方法总结
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j 1 k 1
m
l
新目标函数
加权因子
然后对新目标函数进行无约束极小化计算。
间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应 用的一种有效方法。其特点是:
1)由于无约束优化方法的研究日趋成熟， 已经研究出不少 有效的无约束最优化方法和程序，使得间接解法有了可靠 的基础。目前，这类算法的计算效率和数值计算的稳定性 也都有较大的提高。 2)可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。 3)间接解法存在的主要问题是，选取加权因子较为困难。 加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至 会导致计算失败。
产生可行搜索方向的条件为：
g j xL 0
f x L min f x j j 1, 2,..., k f x L f x0
则可行搜索方向为：
d x x
L
0
四、搜索步长的确定 步长由加速步长法确定。
第三节 复合形法
复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。 它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始 复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目 标函数最大的顶点（最坏点），然后按一定的法则求出目标 函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成 新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一 步，直至逼近最优点。 由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约 束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设 计中应用广泛。
j
j e ，得随机单位向量
r1 j j r2 1 j e 1 ... n 2 j j r i rn i 1
2)取一试验步长a0，按下式计算k个随机点
x x a0e
j 0
j
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算余下 的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标函数最小的点 XL 。 4)比较XL 和X0两点的目标函数值，若f(XL) <f(X0)，则取XL 和 X0连线方向为可行搜索方向；若f(XL) >f(X0)，则步长α 0 缩小， 转步骤1）重新计算，直至f(XL) <f(X0)为止。如果α 0 缩小到 很小，仍然找不到一个XL，使f(XL) <f(X0)则说明X0是一个局 部极小点，此时可更换初始点，转步骤1）。
r ห้องสมุดไป่ตู้3
则 则 则
r r r3
r r r2
r r r1
r r2
r r1
q r / r1
（0，1）之间的随机数
在任意(a,b)区间内的随机数
x a q(b a)
二、初始点的选择 随机方向法的初始点x0必须是一个可行点，既满足全部不等 式约束条件。
初始点可以通过随机选择的方法产生。 1）输入设计变量的下限值和上限值，即
间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来 解的一种方法。 由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法， 并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而 在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法、增广乘子法。 直接解法的基本思想：
在由m个不等式约束条件gu(x)≤0所确定的可行域φ内，选 择一个初始点x(0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当 的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可 行的新点x(1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上 述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
x(k+1)＝ x(k)+α(k) S(k)
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优 化问题的十分有效的算法。 基本思路如图所示。
一、随机数的产生 下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型
35 36 37 首先令 r 取r=2657863，按一下步 2 , r 2 , r 2 1 2 3
骤计算： 令 若 若 若 则
r 5r
第二节随机方向法
随机方向法的基本思路：
在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产 生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降 最快的随机方向作为搜索方向d。 从初始点x0出发，沿d 方向以一定步长进行搜索，得到新点 X，新点x应满足约束条件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。
第六章 约束优化方法
机械优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题， 其数学模型为：
min
f ( x)
x Rn
u 1, 2,..., m v 1, 2,..., p n
s.t.
gu ( x) 0 hv ( x) 0
根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法 两类。 直接解法是在满足不等式约束的可行设计区域内直接求 出问题的约束最优解。 属于这类方法的有：随机方向法、复合形法、可行方向法等。
ai xi bi
2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数 qi
3）计算随机点x的各分量 xi ai qi (bi ai )
4）判别随机点x是否可行，若随机点可行，用x代替x0为 初始点；若非可行点，转到步骤2）重新产生随机点，只 到可行为止。
三、可行搜索方向的产生
产生可行随机方向的方法：从k个随机方向中， 选取一个 较好的方向。其计算步骤为： 1）在(-1,1)区间内产生伪随机数r i
m
l
新目标函数
加权因子
然后对新目标函数进行无约束极小化计算。
间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应 用的一种有效方法。其特点是:
1)由于无约束优化方法的研究日趋成熟， 已经研究出不少 有效的无约束最优化方法和程序，使得间接解法有了可靠 的基础。目前，这类算法的计算效率和数值计算的稳定性 也都有较大的提高。 2)可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。 3)间接解法存在的主要问题是，选取加权因子较为困难。 加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至 会导致计算失败。
产生可行搜索方向的条件为：
g j xL 0
f x L min f x j j 1, 2,..., k f x L f x0
则可行搜索方向为：
d x x
L
0
四、搜索步长的确定 步长由加速步长法确定。
第三节 复合形法
复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法。 它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始 复合形。对该复合形各顶点的目标函数值进行比较，找到目 标函数最大的顶点（最坏点），然后按一定的法则求出目标 函数值有所下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成 新的复合形，复合形的形状没改变一次，就向最优点移动一 步，直至逼近最优点。 由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约 束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设 计中应用广泛。
j
j e ，得随机单位向量
r1 j j r2 1 j e 1 ... n 2 j j r i rn i 1
2)取一试验步长a0，按下式计算k个随机点
x x a0e
j 0
j
3）检验k个随机点是否为可行点，除去非可行点，计算余下 的可行点的目标函数值，比较其大小，选出目标函数最小的点 XL 。 4)比较XL 和X0两点的目标函数值，若f(XL) <f(X0)，则取XL 和 X0连线方向为可行搜索方向；若f(XL) >f(X0)，则步长α 0 缩小， 转步骤1）重新计算，直至f(XL) <f(X0)为止。如果α 0 缩小到 很小，仍然找不到一个XL，使f(XL) <f(X0)则说明X0是一个局 部极小点，此时可更换初始点，转步骤1）。
r ห้องสมุดไป่ตู้3
则 则 则
r r r3
r r r2
r r r1
r r2
r r1
q r / r1
（0，1）之间的随机数
在任意(a,b)区间内的随机数
x a q(b a)
二、初始点的选择 随机方向法的初始点x0必须是一个可行点，既满足全部不等 式约束条件。
初始点可以通过随机选择的方法产生。 1）输入设计变量的下限值和上限值，即
间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来 解的一种方法。 由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法， 并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而 在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法、增广乘子法。 直接解法的基本思想：
在由m个不等式约束条件gu(x)≤0所确定的可行域φ内，选 择一个初始点x(0)，然后确定一个可行搜索方向S，且以适当 的步长沿S方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可 行的新点x(1)，即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上 述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算：
a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集
间接解法的求解思路：
将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来， 构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个 或一系列的无约束优化问题。
x, 1 , 2 f x 1G hk x g j x 2 H
x(k+1)＝ x(k)+α(k) S(k)
(k=0,1,2,…)
逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。
直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：
1）由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论 何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域 最优解，否则，可能存在多个局部最优解，当选择的初始 点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3）要求可行域有界的非空集。
随机方向法程序设计简单，搜索速度快，是解决小型机械优 化问题的十分有效的算法。 基本思路如图所示。
一、随机数的产生 下面介绍一种常用的产生随机数的数学模型
35 36 37 首先令 r 取r=2657863，按一下步 2 , r 2 , r 2 1 2 3
骤计算： 令 若 若 若 则
r 5r
第二节随机方向法
随机方向法的基本思路：
在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产 生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降 最快的随机方向作为搜索方向d。 从初始点x0出发，沿d 方向以一定步长进行搜索，得到新点 X，新点x应满足约束条件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代。
第六章 约束优化方法
机械优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题， 其数学模型为：
min
f ( x)
x Rn
u 1, 2,..., m v 1, 2,..., p n
s.t.
gu ( x) 0 hv ( x) 0
根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法 两类。 直接解法是在满足不等式约束的可行设计区域内直接求 出问题的约束最优解。 属于这类方法的有：随机方向法、复合形法、可行方向法等。
ai xi bi
2）在区间（0，1）内产生n个伪随机数 qi
3）计算随机点x的各分量 xi ai qi (bi ai )
4）判别随机点x是否可行，若随机点可行，用x代替x0为 初始点；若非可行点，转到步骤2）重新产生随机点，只 到可行为止。
三、可行搜索方向的产生
产生可行随机方向的方法：从k个随机方向中， 选取一个 较好的方向。其计算步骤为： 1）在(-1,1)区间内产生伪随机数r i