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高考复习策略——数学

2012年高考数学第一轮复习已经接近尾声，考生对数学试卷的结构、考试的内容及要求等方面也基本有了大体的认识，在后期复习中要关注以下几个方面：

1、高考的指导思想和目标

注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法。重视考生的“终身学习和发展”，即考查学生在中学所受到的数学教育，考查学生在大学需要的数学基础能力。

2、考查能力体系

重点考查的能力体系包括：考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力（实践能力和创新意识）。

重视知识发生发展的过程考察，强化运算结果的重要性。

3、对于今年毕业班的学生复习，在知识和内容的建议

数学一般遭遇的困难是对基础知识的理解不扎实，不能形成应用。其根本是欠缺数学思想和做题思维。在基础知识方面，同学们大多都停留在对公式、定理及推理的表面了解和熟悉上；特别对于靠题海战术复习的考生，在解题的时候，大部分同学多是以简单的套用为手段。因此遇到新题型、陌生题或对一些公式变换较为复杂的题型（如解析几何题，利用导数求复合函数的单调性、极最值、分类讨论等式子稍微多一些的题），很多学生不会做。在复习方向上，应以理解课本重要知识点为主，即首先弄清每一个公式、定理及推论是研究什么数学问题、用以描述数学什么现象，着重注意其切入点、推导过程和形成的结论是什么。在解题上训练自己的思维。用以加强抽象概括、空间想象、数形结合等能力。并加强归纳总结意识。高中数学大部分解答题都能形成较为固定的解题思维和相对基本相同的解题步骤，数学讲究严谨和规律，因此要逐渐形成一定的数学思想，才能在数学高考上获取好的成绩。

在平时训练题型的解答上，选择题要打破常规，充分利用题目和选项，本着多思考、少计算、特殊化的原则进行解答。在填空题要多角度的思考，要利用数学中的一些特殊现象进行先行试探，得出的结论一般具有普遍性，起到事半功倍的效果。在解答题上，一定要进行归纳、总结，归纳总结的重点放在整个解题的思维上。重点是如何思考、如何利用题目的条件、通往结论的过程要目的明确，准确落实。强调挖掘其中的思维步骤的共性，形成一套“以不变应万变”的“一解多题”模式。

高考不是竞赛，是选拔性考试，所有具备了后继学习知识基础和能力的学生，进一步到大学深造，而且北京录取率超过70%。会有约70%左右的基础题，但基础不等于简单，容易，这里基础是强化通性通法的考察，可仍需较高的思维品质。高考命题一定有一些“味道

”，不可能象“白开水”那样无滋味。一定在基础题的考察中，设置一些小障碍和小陷阱。

（1）三角函数：以中、低档题为主，强化双基训练，通性通法的考查。注重三角函数的工具作用和灵活变形的特点。

（2）概率统计问题：文科重点是古典概型与几何概型，理科在此基础上，增加二项分布，适当强化建构在排列组合基础知识上的其它概率的求法及分布列、数学期望等。 至于条件概率是为了深刻理解互斥事件、独立事件的概率。

（3）立体几何：从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高推理论证能力和空间想象能力．理科应注重利用空间向量在解题上的运用，特别是异面直线所成角、线面所成角和二面角的求法，还有点到面的距离的求法。

（4）函数与导数：从函数的定义域切入，关注函数的基本性质和数学方法。请注意在知识点交汇上予以适当训练。这部分内容包括所有数学方法与全部数学思想。

（5）解析几何：从曲线方程与轨迹切入关注参数取值范围。继续作为较综合的问题。 （6）数列：数列本身并不难，数列知识一般只是作为一个载体，综合运用函数的思想、方程和不等式的思想研究数列问题；强化双基训练与化归与转化的思想。

4、能力考查与重点题型复习举例 （1）加强抽象概括能力的考查。

例1.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2

y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）

A ．直线l 上的所有点都是“A 点”

B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”

C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”

D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点” 解析：如图，如果P 点在点(0,1)-时，当PAB x ⊥轴，

AB =+∞，当PAB 与抛物线相切时，0AB =，直线l 的斜

率是运动、连续、变化的，[0,)AB ∈+∞，P 点是“A 点”，一般地如果直线l 上的P 任意时，同理上述。直线l 上的所有点都是“A 点”，选A 。

例 2.已知函数()R x x f ∈,满足()32=f ，且()x f 在

R 上的导数满足()01<-x f ‘，则不等式()122+

解为___________________.

解析：由()01<-x f ‘

得()()g x f x x =

-在R 是减函数，

结合()32=f ，得(2)21f -=及()12

2

+

x

f 可化为， ()22(2)2f x x f -<-即()2(2)

g x g <得22x >，解为

(,2)(2,)-∞+∞

(2).切实提高运算能力。

运算能力是高考四大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题

例3． 在△ABC 中，角A,B,C

的对边分别是a,b,c ，a =8,b

= 10,ΔABC 则△ABC 中最大角的正切值是_________.

解析：

或。 例4．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元）与日产里x (单位:吨）满足函数关系式C=10000+20x ，每日的销售额R(单位:元）与日产量x 满足函数关系式

已知每日的利润y = R －C ，且当x=30时y =-100. (I)求a 的值；

(II)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大,并求出最大值 解：（Ⅰ）由题意可得：

因为x =30时，y =－100， 所以a=3。

所以当(0,90)x ∈时，原函数是增函数，当(90,120)x ∈时，原函数是减函数。 所以当x=90时，y 取得最大值14300。 当x ≥120时，y=10400－20x ≤8000。

所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元。

(3).空间想象能力

直观感知,强化运算。

例5.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，了若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，DP ＝Z （x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ）

（A ）与x ，y ，z 都有关 （B ）与x 有关，与y ，z 无关 （C ）与y 有关，与x ，z 无关 （D ）与z 有关，与x ，y 无关 答案：D

四面体PEFQ 的体积1

3

P EFQ EFQ P EFQ V V S H --==，EFQ S 是等底1，等高2，与x ，y 无关，P 点到底面EFQ 的距离，即高P EFQ H -与P 点位置有关，与z 有关。

(4).实践能力和创新意识

例6.汉诺塔问题是指有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的碟片。按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上： （1）每次只能移动l 个碟片；

（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面。

如图所示，将B 杆上所有碟片移到A 杆上，C 杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将B 杆子上的n 个碟片移动到A 杆上最少需要移动n a 次．

（1）写出4321,,,a a a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）设111

1

+++

=

n n n n a a a b ,数列

{}n b 的前n 项和为n S ，证明13

2

<≤n S

解：（Ⅰ）11=a ，32=a ，73=a ，154=a ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列{}n a 的通项公式为12-=n

n a ．

下面用数学归纳法证明如下：

①当1=n 时，从B 杆移到A 杆上只有一种方法,即11=a ，这时1211

-==n a 成立； ②假设当()1≥=k k n 时，12-=k

k a 成立．

则当1+=k n 时，将B 杆上的1+k 个碟片看做由k 个碟片和最底层1张碟片组成的，

由假设可知，将B 杆上的k 个碟片移到C 杆上有12-=k

k a 种方法，再将最底层1张

碟片移到A 杆上有1种移法，最后将C 杆上的

A

B

C

D

k 个碟片移到A 杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有12-=k k a 种移动方法，故从B

杆

上

的

1

+k 个碟片移到A 杆上共有

()

12112212111-=+-=+=++=++k k k k k k a a a a 种移动方法．

所以当1+=k n 时12-=n

n a 成立．

由①②可知数列{}n a 的通项公式是12-=n

n a ．

（说明：也可由递推式()

1,12,111>∈+==*

-N N n a a a n n ，构造等比数列

()1121n n a a -+=+求解）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，12-=n

n a ，

所以1

11

11

1++++=+

=

n n n n n n n a a a a a a b

=()()(

)(

)

(

)(

)

1

21

12112121212121221111---=-----=--++++n n n n n n n n n ．

n S =n b b b +++ 21

=???

??---12112121+??

? ??---12112132+…+??? ??---+1211211

n n =1

2111--

+n ．

因为函数()1

21

11--

=+x

x f 在区间[)+∞,1上是增函数，

∴()32

121111min =--=+n S ．

又当n N *∈时，11

021

n +>-1<∴n S ．

所以13

2

<≤n S ．

(5).树立信心，狠抓落实，非智力因素是学好数学的重要保证。

本质上讲：理解是数学学习的核心。理解对数学学习具有极端重要性。真正意义上的数学学习一定要把理解放在第一位，一定要千方百计地去提高理解层次。

例7．设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于

A ，

B 两点，直线l 的倾斜角为60o

,2AF FB =.

(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB|=

15

4

，求椭圆C 的方程.

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知10y <，20y >。 (Ⅰ)直线l

的方程为)y x c =

-

，其中c =

联立2222)1

y x c x y a

b ?=-??+=??

得22224

(3)30a b y cy b ++-=。

解得2122(2)3c a y a b +=+

，2222

(2)

3c a y a b -=+。

因为2AF FB =，所以122y y -=。

即222222

(2)(2)

233c a c a a b a b

+-=?++。 得离心率2

3

c e a =

=。

（Ⅱ）因为21|||AB y y =-

22215

34a b

=+。 由

23

c a =

得3b =。所以515

44a =，得a=3

，b = 椭圆C 的方程为22

195

x y +=。 (6).少错=多对(数学基础的两个体系――知识体系与易错体系)

例8．填空题：

（1）如果函数2x 1

ax y +-=

在(-2,+∞)是增函数，那么实数a 的取值范围是_______。 解析1：∵ 1

2

ax y x -=+可化为

(2)212a x a y x +--=+，即21

2

a y a x --=++，

又在(-2,+∞)是增函数，故-2a-1<0 得 12

a >-

. 解析2：22

(2)(1)21

'(2)(2)

x a x ax a y x x +--+=

=++ 令y'x ＞0，由于x ∈(-2，+∞)时，(x+2)2

＞0 得2a+1＞012

a ∴>-

解析3：∵ y=f(x)在(-2,+∞)是增函数， ∴ f(0)＜f(1) 即：1123a --<

， ∴1

2

a >-。 评注：

①函数的单调性是函数的最重要性质之一，解答题有：定义法和导数法；填空和选择题还有：图像法、复合函数、单调性运算及特殊值法等。

②特殊值法在解填空题与选择题时，常常可收到事半功倍之效。 （2）已知22-a

-2＜x ＜2a-2

, 函数y=3x

-3-x

是奇函数，则实数a=______。

解析：∵ f(x) 是奇函数，而函数具备奇偶性的必要条件是定义域关于原点对称， 得：22-a

-2=-2a-2

解得a=2.

评注：

①函数的奇偶性首先应关注它的定义域。判定时要灵活运用定义的等价式；

()

()()0,

1()

f x f x f x f x ±-==±-等 ②任何定义在对称区间上的函数f(x)一定可以写成一个奇函数()()

2

f x f x --与一个偶

函数

()()

2

f x f x +-之和的形式。

（3）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足等式)

(1)

(1)2(x f x f x f -+=+，则()f x （填：

是或不是）周期函数；

解析：

1()

(2)1()

f x f x f x ++=

-

1()

11(2)211()

(4)1()1(2)2()()11()

f x f x f x f x f x f x f x f x f x ++

++-∴+====-

+-+--- 11

(8)()1(4)()

f x f x f x f x ∴+=-=-=+-

∴f(x)是周期T=8的周期函数。 评注：

①函数的周期性是函数的整体性质。所以它的定义域至少一端趋近于∞。

②函数周期性与奇偶性在高考中是A 层次(了解：对所学知识有初步的认识，会在有关问题中运行识别和直接应用)，所以不会出现难度较大的题。而函数的单调性是C 层次(掌握：深刻的理性集训知识，形成技能，并能解决有关问题。)

（4）若曲线y=a|x|与曲线y=x+a 有两个不同的公共点，则a 的取值范围是_______。

解析1：联立||

y a x y x a

=??

=+?得a|x|=x+a 有两个根，

∴ 0x ax x a ≥??=+? 且 0

x ax x a

即01

a a ≥-，且01a

a -

<+， 解得：a>1或a<-1.

解析2：数形结合，由函数y=|x|与y=x 分别作伸缩、对称与平移变换， 如图可知：01a a >??

>?或 01a a

，即a>1或a<-1，

评注：

①本题考查等价变换的逻辑运算或者数形结合之图象变换，解题时运用要准确熟练。 ②去年开始高考能力要求由过去的“逻辑思维能力”改为“思维能力”，它包括“逻辑思维和形象思维能力”。

例9. 选择题：

（1）设实数a ∈[-1,3], 函数f(x)=x 2

-(a+3)x+2a ，当f(x)>1时，实数x 的取值范围是（ ）

A 、[-1,3]

B 、(-5,+∞)

C 、(-∞,-1)∪(5,+∞)

D 、(-∞,1)∪(5,+∞)

解析：反客为主，视a 为变量，函数表达式为y=(2-x)a+x 2

-3x, 由一次函数（或常数函数）的图象知，只需端点a=-1 及a=3时 y>1即可。

由2

2

(2)31

31513(2)31x x x x x x x x x x ?-+->><-?????><-+->??

?或或, ∴ x>5或x<-1, 选C 。

(2)等差数列{}n a 中，若其前n 项的和n m S n =，前m 项的和(,,)m n

S m n m n N m

*=≠∈，则：( )

.4.4.4.42m n m n m n m n A S B S C S D S ++++><-=-<<-

解析：用特殊值法。取m=2,n=1，则121

2,2

S S ==

，此时 {}2133:2,,5,; 4.5

2

n a S S +-

-∴==-

否A,C,D,选B