九年级数学一元二次方程(带答案解析)

第二章 一元二次方程
第1讲 一元二次方程概念及解法
【知识要点】
一. 知识结构网络
二、一元二次方程的四种解法
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02
≥=b b x 或
()b a x =+2
的形式的方程求解。

当0≥b 时，可两边开平方求得方程的解；当0<b 时，方程无实数根。

2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个
一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常
数项。

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2
的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2）计算
ac b 42
-的值并判别其符号；（3）若042
≥-ac b ，则利用公式a
ac
b b x 242-±-=求方程的解，若
042<-ac b ，则方程无实数解。

【典型例题】
（1）67302
x x --=（用因式分解法）
解：0)32)(13(=-+x x
2
3，31∴032或013∴21=-
==-=+x x x x
（2）1432
+=x x
（用公式法）
解：01432
=--x x
028)1(×3×4)4(2
>=---=∆
3
7
2，372∴37
±23×228±)4(∴21-=+=
=
--=x x x
（3）030222
=--x x （用配方法）
解：152
2
2
=-
x x
8
121
)42()42(15)42(222222=
-+=+-
x x x
22
5
，23∴24
11
±42∴21-===-
x x x
【经典练习】
一、直接开方法
（1）()()x x +=-11222 （2）b a x =+2
)(
二、配方法注：
（1）223002
x x --= （2）3412
x x =+
二、公式法
1. 用求根公式法解下列方程
()12202x x +-=；
解：
()228102y y +-=；
解：
()3231
8
02x x -+
=；
解：
()43212
y y -=； 解：
()525102x x +-=；
解：
()625302x x ++=；
解：
()734502x x -+=；
解：(7)方程无实数根；
()82432202x x +-=；
解：
()...90020030352x x -=；
解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，
()()()101233132+-=+x x
解：。

三、因式分解
1. 用因式分解法解下列各方程：
（1）x 2
－5x －24＝0；
解：
；
（2）12x 2
＋x －6＝0； 解：
；
（3）x 2
－4x －165＝0
解：
；
（4）2x 2
－23x ＋56＝0；
解：8，2
7
，0)8)(72(21==
=--x x x x ； （5）924164122x x x ++=+； 解：
（6）33332
()()x x -=-；
解：
（7）x x 2
3260-+
+=()
解：
；
（8）()x x --+=-251062
；
解： (x －2)2
－5(x －2)＋6＝0，(x －2－2)(x －2－3)＝0，x 1＝4，x 2＝5； （9）t(t ＋3)＝28；
解：（9）t 2
＋3t －28＝0，(t ＋7)(t －4)＝0，t 1＝－7，t 2＝4； （10）(x ＋1)(x ＋3)＝15。

解：x 2
＋4x ＋3＝15，(x ＋6)(x －2)＝0，x 1＝－6，x 2＝2
2. 用因式分解法解下列方程：
（1）(y －1)2
＋2y(y －1)＝0；
解：
；
（2）(3x ＋2)2
＝4(x －3)2
；
解： 0)]3(2)23)][(3(2
)23[(=--+-++x x x x 8，5
4
，0)8)(45(21-==
=+-x x x x （3）9(2x ＋3)2
－4(2x －5)2
＝0；
解：[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0， 2
19，101，0)192)(110(21-===+-x x x x （4）(2y ＋1)2
＋3(2y ＋1)＋2＝0。

解：[(2y ＋1)＋1][(2y ＋1)＋2]＝0，
三、综合练习
1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x 2
－x －1＝0
B. 9x 2
＝4(3x －1)
C. x x 27150++=
D.
3222
102x x -+= 2. 若a ，b ，c 互不相等，则方程(a 2
＋b ＋c 2
)x 2
＋2(a ＋b ＋c)x ＋3＝0（ C ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 根的情况不确定 解析: 因为△＝4(a ＋b ＋c)2－12(a 2＋b 2＋c 2) ＝4(－2a 2
－2b 2
－2c 2
＋2ab ＋2ac ＋2bc)
＝－4[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2
]＜0
3. 若方程m x m x 2
2
2310--+=()的两个实根的倒数和是S ，求：S 的取值围。

分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0≥∆，求出m 的取值围，再用S 的代数式表示m ，借助m 的取值围就可求出S 的取值围。

解：设方程的两个实根为2
212
21211
，3
2，则，m
x x m
m x x x x =
-=+
∵方程有两个实根
3
21
3
211∵0≠且4
3
∴0
≠，且04)32(∴2
221121222-=-=+=+=≤≥--=∆m m m m x x x x x x S m m m m m
0≠2
3
且432
3
∴
23
∴+≤
++=
S S S m
3≠且2
3
∴--
≤S S 。

4. 已知关于x 的方程x 2
＋(2m ＋1)x ＋(m －2)2
＝0。

m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根？ （2）方程有两个相等的实数根？ （3）方程没有实数根？
解析:△＝(2m ＋1)2－4(m －2)2＝5(4m －3)。

（1）当，即
时，原方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当
时，原方程没有实数根。

5. 已知关于x 的方程x k x k k 2
2
21210-+++-=() ① （1）求证：对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）如果a 是关于y 的方程y x x k y x k x k 2
121220-+-+--=()()() ②的根，其中x x 12，为方程①的两个实数根。

求：代数式()11411
2a a a a a a
-++-÷·的值。

分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成
0122=--y y ，再利用根的定义得到122+=a a ，将代数式化简后，把122+=a a 整体代入即可求出代数
式的值。

（1）证明：
∵08484484)12(4)1(4
222
2>=+--++=-+-+=∆k k k k k k k
∴对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。

（2）解：∵21，x x 是方程①的两个实数根
12，)1(2
∴22121-+=+=+k k x x k x x 1
)1(212)())((2
2)1(22∴222
21212121-=++--+=++-=--=-+=-+k k k k k k x x k x x k x k x k k k x x
∴方程②012为2
=--y y
∵a 是方程②的根，∴0122
=--a a
a
a a a a
a a a a a 1
·
14÷)11
(∴1
2，0≠1，0≠∴22-++-+=+
2142·)(4)112)](12(1[4)1)(1(1·41·)1(12
22
2222-
=-=-++-+=--+=-++-+=a a a a a a a a a a a a a a a a a a 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。

6. 已知关于x 的一元二次方程ax ax c 2
20++=的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当a c a c ==-==
1322，与，时，m ≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a ，m ≥4总成立，数c 及m 的值。

解：（1）时，3，1当-==c a 原方程化为3，1，则032212
-===-+x x x x
∴416)]3(1[2
>=--=m
即4≥m 成立 当2，2==c a 时，原方程化为02422=+
+x x
由02×2×44
2
>-=∆，可设方程的两根分别为21，x x
则2
2
，22121=
-=+x x x x
∴42244)()(21221221<-=-+=-=x x x x x x m
即4≥m 不成立
（2）设原方程两个实数根是21，x x 则a
c x x x x =
-=+2121，2 a
c
x x x x x x m 444)()(212
212
21-
=-+=-=
∵对于任意一个非零的实数a ，都有444≥-
a
c
4
，0∴04时，0当0
∴2==>=∆==m c a c c
第2讲 根的判别式
【知识要点】 1.根的判别式：
关于x 的一元二次方程ax bx c a 2
00++=()≠ ∆=-b ac 2
4
当∆>0时，方程有两个不相等的实根 当∆=0时，方程有两个相等的实根 当∆<0时，方程无实根
【典型例题】
1. a ，b ，c 是三角形的三条边，
求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2
＝0没有实数根
分析：此题需证出△＜0。

已知条件中a ，b ，c 是三角形的三边，所以有a ＞0，b ＞0，c ＞0。

还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。

证明：因为△＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c
2
＝[(b 2＋c 2－a 2)＋2bc][(b 2＋c 2－a 2
)－2bc]
＝[(b ＋c)2－a 2][(b －c)2－a 2
]
＝(b ＋c ＋a)(b ＋c －a)(b －c ＋a)(b －c －a)。

(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为b ＋c ＞a ，即b ＋c －a ＞0，
同理b －c ＋a ＞0，又c ＋a ＞b ，即b －c －a ＜0。

又a ＋b ＋c ＞0，所以△＝(b ＋c ＋a)(b ＋c －a)(b －c ＋a)(b －c －a)＜0。

所以，原方程没有实数根。

【经典习题】
c b a c
a bx x c a x 、、那么以有两个相等的实数根，的一元二次方程关于04
)(.12=-+
++为三边长的三角形是
（ ）
A. 以a 为斜边的直角三角形
B. 以c 为斜边的直角三角形
C. 以b 为底边的等腰三角形
D. 以c 为底边的等腰三角形 2. 已知关于x 的一元二次方程x k x k 22
114
10-++
+=() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。

（2）如果方程的两个实数根x x 12，满足||x x 12=，求k 的值。

解：（1）032)14
1(
4)]1([2
2
≥-=+-+-=∆k k k 解得2
3当∴，23≥≥
k k 时，方程有两个实数根 （2）∵21||x x =，分两种情况
①当211时，得0x x x =≥，∴方程有两个相等的实数根。

2
3
∴，
0∴==∆k ②当0∴，
时，得02112=+-=<x x x x x 由根与系数关系，得01=+k
∴，矛盾2
3
知)1(，由1≥-=k k 2
3
∴舍去
1∴=
-=k k 3. 已知方程x k x k 22
2120+++-=()的两根的平方和为11，求k 的值。

解：设方程的两根为21，x x
则有2，)
12(22121-=+-=+k x x k x x
11
2)(∴11
∵212
212
221=-+=+x x x x x x
)1)(3(0320
64211
4214411)2(2)]12([22
2222=-+=-+=-+=+-++=--+-k k k k k k
k k k k k
9
4)2(4
)12(∵1，3∴2
221+=--+=∆=-=k k k k k
∴，舍去0时，3当<∆-=k 当0时，1>∆=k 。

∴1=k
注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。

4．含有绝对值的一元二次方程
（1）. 方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解： 显然x ＝0不是方程的根。

当x ＜0时，x ｜x ｜－8｜x ｜－4＜0。

∴x ＜0的任何实数不可能是方程的根。

当x ＞0时，方程为x 2
－8x －4＝0。

此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负。

又因x ＞0， 故负根舍去。

所以方程只有一个实数根。

应选A 。

（2）. 求方程x 2
－|2x －1|－4＝0的实数根。

解：令012=-x 得2
1=x 显然2
1
=x 不是方程的解 当2
1>x 时，方程是04)12(2
=---x x 即1或3，解得0322
-===--x x x x
x ＝－1舍去，∴x ＝3
当21<
x 时，方程是04)21(2
=---x x 即，0522
=-+x x 解得6±1-=x 61+-=x 舍去，∴61--=x
故方程的实数根是61，321-
-==x x 。

5．a ，b ，c ，d 为有理数，先规定一种新的运算：
bc ad c d
a b -=，那么
x x 45
2)1(-=18时，x= 。

6. 已知21,x x 是方程01942
=--x x 的两根，求代数式13523
1++x x 的值。

7.（，19，10分）已知关于x 的一元二次方程)0(012
≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4
)2(2
22
-+-b a ab 的
值。

【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝2
40b a -=，可得出a 、b 之间的关系，然后将
4
)2(222
-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值．
【答案】解：∵)0(012
≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．
∵22
22222222244444)2(a
ab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴42
22==
a b a ab
8.（中考）若关于x 的一元二次方程012)2(22
2
=++--k x k x 有实数根βα、．
（1） 数k 的取值围； （2） 设k
t β
α+=
，求t 的最小值．
（3） 解：（1）∵一元二次方程012)2(22
2
=++--k x k x 有实数根βα、， （4） ∴0≥∆， ………………………………………………………………………2分 （5） 即0)12(4)2(42
2
≥---k k ，
（6） 解得2-≤k ．……………………………………………………………………4分 （7） （3）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα， ………………… 6分
（8） ∴24
24-=-=
+=
k
k k k t β
α， …………………………………………7分
（9） ∵2-≤k ，∴024
2<-≤-k
，
（10） ∴224
4-<-≤-k
，
（11） 即t 的最小值为－4． ………………………………………………………10分
9.（ 中考）已知关于x 的一元二次方程x 2
= 2（1－m ）x －m 2
的两实数根为x 1，x 2．
（1）求m 的取值围；
（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．
【答案】（1）将原方程整理为 x 2
+ 2（m －1）x + m 2
= 0． ∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m －1）2
－4m 2
=－8m + 4≥0，得 m ≤
2
1
． （2） ∵ x 1，x 2为x 2
+ 2（m －1）x + m 2
= 0的两根，
∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤2
1． 因而y 随m 的增大而减小，故当m =
2
1
时，取得极小值1． 10.（ 中考）关于x 的一元二次方程12
01x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值围；（4分）
（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.（6分） 【答案】解：（1）由题意得：
.0)1(4)1(2≥---=∆p
…………2分 解得：4
5
≤
p
…………4分
（2）由9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x 得，
.9)2)(2(2
22211=-+-+x x x x
…………6分
.
1,1,01,01,
01,222211222121221-=--=-∴=-+-=-+-∴=-+-p x x p x x p x x p x x p x x x x 的两实数根是方程
.9)1(,9)12)(12(2=+=-+-+∴p p p 即
…………8分 .4,2-==∴p p 或
…………9分 .4,4
5
-=∴≤
p p p 的值为所求
…………10分
说明：1．可利用,1,12121x x x x -==+得
121x x -=代入原求值式中求解；
11.（中考）已知关于x 的方程014)3(22
2
=--+--k k x k x ．
（1）若这个方程有实数根，求k 的取值围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；
（3）若以方程014)3(22
2
=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数
x
m
y =
的图象上，求满足条件的m 的最小值． 【答案】解: （1）由题意得△＝()[]()
144322
2
--⨯---k k k ≥0
化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5．
（2）将1代入方程，整理得2
660k k -+=，解这个方程得
13k =
23k =（3）设方程014)3(22
2=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，
根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得2
1241x x k k =--，
那么()52142
2
--=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5
12.（中考）已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． 【答案】解：（1）0436)(14)6(42
2
2
2
>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分
因此方程有两个不相等的实数根．·································3分 （2）
126
61
b x x a -+=-
=-=，
·····································4分 又
12214x x +=，
解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨
⎩ 解得：2
18.2,
x x ==-⎧⎨⎩·····················5分
方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(2
2
=--⨯--k ，················6分
解得：4±=k ．·················································7分
方法二：将21x x 和代入12c
x x a
=，得：1822k -=⨯-，······················6分
解得：4±=k ．·················································7分
第3讲 根与系数的关系
【知识要点】
1. 根与系数关系
关于x 的一元二次方程ax bx c a 2
00++=()≠ 当∆≥+=-
=01212时，有，x x b a x x c a
推论1：如果方程的两个实数根是，，那么x px q x x x x p x x q 21212120++=+=-=,. 推论2：以为根的一元二次方程（二次项系数为）是：x x x x x x x x 122121210,()-++=
【典型例题】
1. 已知方程2++=x xm 2
30的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m 的值。

解：设方程的一个根为x ，另一根2x
由根系关系知：x x x x m +=-<>
=<>
⎧
⎨
⎪⎪⎩⎪⎪232
1222·
解得：x m =-
=⎧
⎨⎪⎩⎪121
∴=m 1
2. 已知方程37302
x x -+=的两根x x x x 1212、()>不解方程，求x x 12+和x x 1222-的值。

解：由题设条件x x x x 12
12731
+==⎧
⎨⎪⎩⎪
()⇒-=+-=x x x x x x 12122
12
413
3
()x x x x 121
2
2
+=
+
=
++=
+=
x x x x 121227
32393
()()x x x x x x 12
22
1212
713
9
-=+-= 【经典习题】
一. 选择题。

1. 已知x =-3是关于x 的一元二次方程()k x kx -++=12302的一个根，则k 与另一根分别为（ ） A. 2，-1
B. -1，2
C. -2，1
D. 1，-2
2. 已知方程()()
34102x m xm ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（ ） A. 4
B. -4
C. 1
D. -1
3. 若方程x x k 2
0++=有两负根，则k 的取值围是（ ） A. k >0
B. k <0
C. k <
1
4
D. 014
<≤
k 4. 若方程x p x q 2
0++=的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. p q ==0
B. p q ≠=00，
C. p q =≠00，
D. 不能确定
5. 方程x p x p 2
2
14
0-+-=的大根与小根之差等于（ ）
A. ±1
B. 212
p -
C. 1
D. 212
p -
6. 以
-+--15215
2
，
为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ） A. x x 2
10++= B. x x 2
10+-= C. x x 2
10-+=
D. x x 2
10
--=
二. 填空题。

7. 关于x 的一元二次方程()
x m x m 22
210+++=的两根互为倒数，则m ＝________。

8. 已知一元二次方程a x b x c 2
0++=两根比2：3，则a ，b ，c 之间的关系是______。

9. 已知方程()x mx m m 2
1
3
40-+
+=的两根x x 12、，且()()x x 12
229--=，则m = ________。

10. 已知αβ、是方程2--=x x 2
520的两根，不解方程可得：αβ22+=________，
1
1
3
3
αβ+
=________，
αβ-=________。

11. 已知
()()
αβαβ2
2
13112+=--=，，则以αβ、为根的一元二次方程是______ ________________________。

三. 解答题。

12. 已知方程23702
x x -+=的两根αβ、，求作以α
βαβ++22、为两根的方程。

13. 设x x 12、是方程()
x m x m 22
210-++=的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m 的值。

【试题答案】
一. 选择题。

1. A
2. B
3. D
4. B
5. C
6. B
二. 填空题。

7. ()[]214011211222
m m m m m m +-≥=⎧⎨⎪⎩⎪⇒≥-=±⎧⎨⎪⎩
⎪⇒= 8. 设x t x t 1223==，，则 5662522t b a
t c a b ac =-=⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪⇒= 9. ()()()x x m x x m m x x 121212134229
+==+--=⎧⎨⎪
⎪
⎩⎪
⎪
()⇒+-=1
3
425m m m ⇒--=
m m 2
2150 ⇒=m 5或m =-3 m =5时，原方程△＜0，故舍去，m =-3
10. αβαβ+==-⎧
⎨⎪
⎩⎪521
()αβαβαβ2
2
2
22542334
+=+-
=+=
()
()
111333
33αβαβαβ+=+
()
(
)()[
]
=
++-=-
+⎛⎝
⎫
⎭⎪=-
=-1
3522543185823
18
32
αβαβαβαβ
()()αβαβαβαβ-=-=+-=+=2
2
4
254441
2
11. ()()()αβαβαβαβαβ2222
131121312+=--=⎧⎨⎪⎩⎪⇒+=-++=⎧⎨
⎪⎩
⎪ 由此αβαβαβ2213
1+=+=-⎧⎨⎩
()()αβα
βαβαβαβαβ
αβαβαβ+=++=+-=-+⇒--=222
222
22
21321214120
⇒=αβ6或α
β=-2 ∴+==⎧⎨
⎩αβαβ56或αβαβ+=-=-⎧⎨⎩3
2
所求方程x x 2
560-+=或x x 2
320+-= 三. 解答题。

12. 解：由题意αβαβ+==⎧
⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪3272
即()()()
αβαβαβ+++=+=2239
2
()()
(
)()αβαβα
β
αβ
αβαβ
++=++=++=
+=22252927
282
2
2
故所求方程是x x 2
9
2
80-+=，即291602
x x -+=
13. 解：()[]∆=-+-≥<>+=+<>=<>+=<>
⎧⎨⎪
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪21401212311342212122
12
m m x x m x x m x x 由<>+≥1410：m ∴≥-
m 14
由<>+=431212：x x x x ∴+=2132
m m
()()∴--=-+=∴==-
3210
1310113
212m m m m m m ，
m 21
3
=-不符合题意，m ≥-
1
4
舍去 ∴=m 1
第4讲 一元二次方程的应用
【知识要点】
1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：
（1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏泄单位。

（2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位要一致。

（3） 解：解所列的一元二次方程。

（4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。

（5） 答：根据题意，写出答案。

【典型例题】
1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg ，出油率为50%（即每100kg 花生可加工成花生油50kg ），现在
种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的1
2
，求：新品种花生亩产量的增长率。

解：设新品种花生亩产量的增长率为x ， 则有132)2
1
1(·%50·)1(200=+
+x x 解得2.3，2.021-==x x （不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。

注：对于增长率问题，解这类问题的公式是b x a n
=+)
1(，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的
次数，b 为增长的量。

2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：（1）设每件衬衫应降价x 元，则有
200301200
)220)(40(2
=+-=+-x x x x
解得20，1021==x x 根据题意，取x=20，
∴每件衬衫应降低20元。

（2）商场每天赢利
1250
)15(2260800)
220)(40(22
+--=-+=+-x x
x x x
当15=x 时，商场赢利最多，共1250元
∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。

【经典习题】
1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调位置后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。

2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手。

这次会议到会的有多少人？
3．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500千克。

经市场调查发现，在进货价格不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?
【模拟试题】
（一）填空题
1. 一元二次方程()()3221222
x x x -+=+化为一般式后，a =___________，b =___________，c =___________。

2. 若方程x x m 2-=有两个实数根，则m 的值是___________。

3. 关于x 的一元二次方程kx x 2
610-+=有两个不相等的实数根，则k 的取值围是___________。

4. 关于x 的一元二次方程202
x x m ++=的一个根是1，另一个根是___________，m=___________。

5. 若x x 12、是方程24302
x x +-=的两个根，则()()x x 1211++=___________。

6. 已知两不等实数a 、b 满足条件271027102
2
a a
b b -+=-+=，，则
11
a b
+=___________ 7. 已知a 、b 是方程x x 2
270+-=的两个实数根，则a b b 2
2
34++=___________。

（二）解下列方程 1. ()211602
x --= 2. x x 2
890--= 3. ()()x x -=-1212 4. x x 2
520--= 5. x x ()+=760
（三）解答题
1. 已知关于x 的方程x m x m
222
30+-+
-=() ①求证无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相同的实数根 ②若这个方程的两个实数根x x x x m 121222、满足+=+，求m 的值
2. 已知关于x 的方程x mx m 2
230-+=的两个实数根是x 1、x 2，且()x x 122
16-=，如果关于x 的另一个方程
x mx m 22690-+-=的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值。

第一次课后作业
【经典练习】
1. 已知x=-1是关于x 的方程0322=-+a ax x 的一个根，则a= 。

2. 若方程032)1(1
2=-+-+mx x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值。

3. 若035)1(1
2=-+++x x
m m 是关于x 的一元二次方程，则m= 。

4. 已知a ≠0，a ≠b ，x=1是方程0102
=-+bx ax 的一个解，则b
a b a 222
2--的值是 。

5. 关于x 的一元二次方程043)2(2
22=-+++m x m x m 有一根为0，求3422+-m m 的值。

6．已知m 是方程0120082=+-x x 的一个不为零的根，求1
2008
200722++-m m m 的值。

7. 已知关于x 的方程0122=+-kx x 的一个根与方程411
2=-+x
x 的根相等。

(1)求k 的值.(2)求方程0122=+-kx x 的另一个根.
8．已知x=1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则2
22n mn m ++的值为 。

9．已知方程02
=++a bx x 有一个根是-a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A ．ab B.
b
a
C.a+b
D.a-b
第二次课后作业
1.用配方法解方程：04722
=-+x x .
2.将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ）
A. 4)1(22
--x
B. 4)1(22
+-x
C. 2)2(22
--x
D. 2)2(22
+-x
3. 求证：不论m 取何值，9422+-m m 的值都不小于7.
4. 用配方法解一元二次方程0782=++x x ，则方程可变形为（ ）
A ．9)4(2
=-x
B. 9)4(2
=+x
C. 16)8(2
=-x
D. 57)8(2
=+x
5. 已知m 是方程0422=--x x 的一个根，则代数式2007632+-m m 的值是 。

6. 已知关于x 的方程0112)21(2
=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，数k 的取值围。

7. 已知βα,是关于x 的方程0)32(2
2
=+-+m x m x 的两个根，且
11
1
=+
β
α
，求m 的值。

8. 在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC 的面积为 。

9. 已知21,x x 是方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值。

)1)(1)(3(,)
2(,)1(212
1
122
221x x x x x x x x ++++；
10. 已知21,x x 是方程01942
=--x x 的两根，求代数式13523
1++x x 的值。

11. 已知32+
是方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根和c 的值。

12．关于x 的方程01222=+--m mx x 的两实根的平方和为11，求m 的值。