拉伸和压缩课件

A
A
A
F
A
FN
s
A
B
F
l l
F
(b)
FN d FN s d A s d A s A
A
A
A
s FN
A
（7-2）
式中，FN 为轴力，A 为横截面面积。
对于轴向压缩的杆件，如果它具有足够的抵
抗弯曲的刚度，上式同样适用。
对应于伸长变形的拉应力为正，对应于缩短 变形的压应力为负。
注意公式（7-2）只在杆上离外力作用点稍远的 部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较 复杂。 圣维南原理：
图7-1 屋架结构的简化
1 横截面上的应力
在第六章中已讨论过轴向拉伸、压缩杆件横截 面上的内力——轴力FN。显然，它是横截面上法向分 布内力的合力。
F
F
F
FN
图7-2
要判断一根杆件是否会因强度不足而破坏，还
必须联系杆件横截面的几何尺寸、分布内力的变化
规律找出分布内力在各点处的集度——应力。杆件
横截面上一点处法向分布内力的集度称为正应力，
MPa。试选择各段杆的横截面尺寸h和b。
解：首先作杆的轴
20kN 40kN
50kN
(a)
力图如图(b)所示。
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m 1 m
对于AB段，要求：
FN/kN
20
3
0
(b)
O
x
20
例题 7-3
40kN 50kN
AAB
FN AB
s
20 160
103 N 106 (N/m2
)
解：首先作轴力图。由于此 柱为变截面杆，因此要求出每段 柱的横截面上的正应力，从而确 定全柱的最大工作应力。
F FF
50 kN
240
150 kN
370
(a)
(b)
例题 7-2
sΙ
FNΙ AΙ
50 kN 240 240 mm2
50 103 N 240 240 mm2
0.87 106 N/m2
B
l
A F
例题 7-4
作轴力图如下：
B
x
F+Ag l
l
FN(x)
x
Ag x
A F
F
FN
F
FN(x)= F+Ag x
例题 7-4
FNmax F gAl
F gAl s
A
x
F+Ag l
A
s
F
gl
FN
F
由此可见，若杆的g l与其材料的[s]相比很小，
则杆的自重影响很小而可忽略不计。
例题 7-5 有一三角架如图所示，其斜杆由两
300
A
F y
A x
F
例题 7-5
(2) 计算许可轴力。由型钢
表查得：
A1 10.86 2 21.7 cm2 ,
A2 12.74 2 25.5 cm2
C
由强度条件
s FN s
A 知许可轴力为：
F1 21.7 104 m2 120 106 N/m2
260 103 N
260 kN,
300
A
F
F1
y
A
F2
x
F
例题 7-5
F2 25.5 104 m2 120 106 N/m2
306 103 N 306 kN (3) 计算许可荷载。
300
C
A
F
F F1 260 kN 130 kN 。
F1
y
A
2
2
F2
x
F F2 306 kN 177 kN
F
1.732 1.732
最大应力 smax与按等截面杆算得的应力s0之比称为 应力集中系数 ：
s max s0
F
s max
a
F
F
2 拉压杆的强度计算
为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著
的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破 坏，
杆件内最大工作应力smax不能超过杆件材料所能承 受的极限应力su，而且要有一定的安全储备。这一
注意：拉、压杆横截面上正应力的计算公式
s FN A
是建立在变形符合平面假设的基础上的。因而杆件 受轴向拉伸或压缩时，只有在变形符合这一假设， 且材料均匀连续的条件下，才能应用该公式。
工程上常见的带有切口、油孔等的轴向受拉杆 件，在上述那些部位，由于截面尺寸急剧变化，同 一横截面上的正应力并非处处相等，而有局部增大 现象，即产生所谓“应力集中”。应力集中处的局 部
2.50 104 m2 b2h2 1.4b22 ,
b2 13.4 mm,h2 18.7 mm。
例题 7-4 图示一等直杆在自重和力F 作用下
的示意图。已知杆的横截面面积为A，材料容重为g， 容许应力为[s] 。试分析杆的自重对强度的影响。
解：要研究自重对杆的强 度的影响，应探讨自重与杆内 最大正应力的关系，为此可先 算出杆的任一横截面上的轴 力，从而求出杆的最大轴力。
这意味着杆件受轴向拉伸时两横截面之间的所 有纵向线段其绝对伸长相同，伸长变形的程度也相 等。
A
B
受力后
F
l l
F
(b)
在工程上常假设材料是均匀的，而且是连续的。 于是根据拉杆的变形情况，可以推断，横截面上各 点处的正应力处处相等。按静力学求合力的概念可 知：
FN d FN s d A s d A s A
故斜杆和横杆都能安全工作的许可荷载应取
F 130 kN
3 斜截面上的应力
实验表明，拉（压）杆的强度破坏并不一定沿横 截面发生，有时是沿某一斜截面发生。为了研究其 破坏原因，讨论斜截面上的应力。
k
F
F
k
F
问题：
k
F k
(a)
k p
F
F
(b)
k
F F p ?
仿照前面求正应力的分
析过程，同样可知斜截
0.87 MPa (压应力）,
F FF
50 kN
240
150 kN
370
(a)
(b)
例题 7-2
F 50 kN
s
FN A
150 kN 370 370 mm2
FF
150 103 N
370 370 mm2
1.1 106 N/m2
1.1 MPa (压应力）
240
s 1 0.87 MPa (压应力），
拉伸和压缩
1 横截面上的应力 2 拉压杆的强度计算 3 斜截面上的应力 4 拉（压）杆的变形与位移 5 拉（压）杆的应变能
6 低碳钢和铸铁受拉伸和压缩 时的力学性能
7 简单的拉、压超静定问题
8 拉（压）杆接头的计算
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等 直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的 轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形 式是轴向伸长或缩短。
此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算
得的正应力即危险截面上的正应力，称为最大工
作应力。
例题 7-1 一横截面面积 A=400mm2 的等直 杆，
其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。
解：此杆的最大轴力为：
FNmax 30 kN 30000 N
30kN.
最大工作应力为：
A
B
F
s max
规律，然后再通过静力学中求合力的概念得到以内
力表示应力的公式。 受力前
AB
l
(a)
受力后
A
B
F
l l
F
(b)
图7-2
在杆受轴向拉伸时，两横向周线虽然相对平移，但 每一条周线仍位于一个平面内。
受力前
AB
l
(a)
受力后
A
B
F
l l
F
(b)
图7-2
平面假设：原为平面的横截面A和B，在杆变 形后仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。
面上的应力处处相等。
p
F A
A A cos
F F
p
F cos
A
s 0 cos
k p
F
F
(b)
k
(A为横截面的面积)
F
F
p
F cos
A
s 0 cos
s
0
F A
s
A
p
(c)
p用两个分量来表示：正应力s，切应力。
s
p
cos
s 0 cos2
s 0 (1 cos 2 ),
2
p
sin
s 0 cos
外力作用于杆端的方式（例如，外力作用 在杆件端面的局部或者整个端面），只会 影响外力作用处附近横截面上的应力分布 情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。
当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得 其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式 （72），即得杆内的最大应力为：
s max
FN max A
（7-3）
以符号s 表示。
m
A FN
C
定义：法向分布内力的集度—
mm截面 C点处的正应力s 为：
m
s lim Δ FN d FN （7-1）
Δ A0 Δ A d A
s lim Δ FN d FN
Δ A0 Δ A d A
m
A FN
C
m
Δ F是N 矢量，因而正应力s 也是矢量，其方向垂直于
它所在的截面。正应力的量纲为 力 长度。在2 国
20kN A
B
C
(a)
D
0. 5 m 0. 5 m 1 m
1.25 104 m2
对于CD段，要求
FN/kN
20
ACD
FN CD
s
30 160
103 N 106 (N/m
2
)
O
3
0
(b)
x
1.875 104 m2 。
20
由题意知CD段的面积是 AB 段的两倍，应取 AAB 1.25 104 m2 ,
力[s] 。于是强度条件又可写作
s max s
应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：
1. 校核强度——已知杆件的横截面面积A、材料
的容许应力[s]以及杆件所承受的荷载，检验
上式是否满足，从而判定杆件是否具有足够的
强度：
s max s
2. 选择截面尺寸——已知荷载及容许应力，根据强
度条件选择截面尺寸。
s
s0
2
(1 cos 2 ),
kn
s0
2
sin 2 .
F
k
(a)
F
0,s s 0
450
450
s0
2
sin 2 450
s0
2
s 450
45 0 450
x
(b)
450
450
450
s0
2
sin 2 (450 ) s 0
2
s 450
45 0 450
x
(b)
450
拉（压）杆最大切应力发生在与轴线成±45º的斜 截面上，其大小为最大正应力的一半。
例题 7-3
ACD 1.25 104 2 2.50 104 m2 。 由 AAB 1.25 104 m2 , 可得AB段横截面的尺寸b1及h1：
1.25 104 m2 b1h1 1.4 b12 ,
b1 9.5 mm, h1 13.3 mm。 由 ACD 1.25 104 2 2.50 104 m2 。 可得CD段横截面的尺寸b2及h2：
s 2 1.1 MPa (压应力）。
370
(a)
最大工作应力为：s max 1.1 MPa。
150 kN
(b)
思考题 7-1
试论证若杆件横截面上的正应力处处相等，则 相应的法向分布内力的合力必通过横截面的形心。 反之，法向分布内力的合力虽通过形心，但正应力 在横截面上却不一定处处相等。
根据平行力系求合力的办法，可知杆件横截面 上的正应力均匀分布，则其合力必过横截面的形 心（即该合力为轴力），但横截面上的正应力非 均匀分布时，它们仍可能只组成轴力。
3. 确定许可荷载——已知杆件的横截面积A、材料
的容许应力[s]以及杆件所承受的荷载的情 况，
根据强度条件确定荷载的最大容许值。
例题 7-3 一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，
其受力情况、各段长度如图(a)所示。BC段和CD段的
横截面面积是AB段横截面面积的两倍。矩形截面的
高度与宽度之比 h/b=1.4，材料的容许应力[s]=160
N max
A
FN（kN） 30
30000 N 400 106 m
2
O
75 106 N/m2 75 106 Pa
75 MPa
20kN C
20
20kN D
x
例题 7-2 一横截面为正方
形的砖柱分上下两段，其受力 情况、各段长度及横截面尺寸 如图所示。已知F=50kN,试求荷 载引起的最大工作应力。
sin
s0
2
sin 2 .
s
s0
2
(1 cos 2 ),
s0
2
sin 2 .
以上两式表达了通过拉杆内任一点的不同斜截
面上的正应力和切应力随 角而改变的规律。
应力状态：通过一点的所有各截面上的应力其 全部情况。
单向应力状态：一点处的应力状态由其横截面 上的正应力即可完全确定。
以上的分析结果对压杆也同样适用。
根 80 80 7 等边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组
成，材料均为Q235 钢，容许应力[s]=120 MPa。 求
许可荷载[ F ]。 解：(1)首先求斜杆和横杆
的轴力与荷载的关系。
Fy 0
C
F1
F sin 300
2F ,
F1
Fx 0
F2 F1 cos 300 2F cos 300 1.732 F F2
际单位制中，应力的单位为帕斯卡(Pascal)，其中文
代号是帕，国际代号是Pa
(1 P a 1 N。/m2 )
由于应力在截面上的变化规律还不知道，所 以无法求出。解决此问题的常用方法是，以杆件 在受力变形后表面上的变形情况为根据，由表及
里地作出内部变形情况的几何假设，再根据分布内
力与变形间的物性关系，得到应力在截面上的变化
强度条件可用下式来表达
s max
Байду номын сангаасsu。
n
上式中，n 是大于 1 的系数，称为安全系数，其数
值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的
考虑。一方面是强度条件中有些量的本身就存在着 主观认识与客观实际间的差，另一方面则是给构件 以必要的安全储备。
材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验 来测定。
应力除以安全系数得到材料能安全工作的容许应