斯特林公式Stirling Formular

题目：关于阶乘的近似公式

1.相关历史与进程

历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：

!constant n

n n e ⎛⎫

≈ ⎪

⎝⎭

然后，瑞典数学家Stirling

在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：

constant =Stirling 公式：

!n

n n n e σ⎫

≈=⎪⎭

紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：

221

111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k n

π-≥⎛

⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)

公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：

0011,0k

j j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝

⎭∑

其中1k ≥。将(1)式的前m 项记为

2211exp 2(21)n

m k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫

= ⎪

⎪-⎭⎝⎭

∑

同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。这函数便是Γ-函数：

10

()t z z e t dt +∞

-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：

!()lim

(1)()

z

n n n z z z z n →∞Γ=++

而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用

Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。

之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。直到最近才有了新的突破。

2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式

依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：

357

1111!exp 1236012601680n

n n e n n n n ⎫⎛⎫

=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭

但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级

数。他利用公式

02arctan

11ln ()ln ln(2)exp(2)122t

z dt z z z z t ππ∞

⎛⎫=Γ--+- ⎪-⎝

⎭⎰

证明了如下公式：

1ln(2)1159()ln 2212(1)12(1)(2)360(1)(2)(3)z z z z z z z z z z π⎛

⎫Γ=--+++++ ⎪++++++⎝

⎭

当Re()0z >时，上面的级数是收敛的。

1997年Hsu [2]。得到一个不依靠Bernoulli 数的幂级数解：

211!exp 2(1)n k

k n j n j n e j j k ∞∞==⎛⎫--⎫

⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑ (2)

之后Liu [3]对公式(2)又给出了一个简单的证明。

更一般的结论则是由Mortici [4]

在2009年给出的结果，他证明了：存在有界正项级数1

n

n a

∞

=<∞

∑使得1n ∀≥有

!n

k k n n n a e ∞=⎛⎫

⎛⎫

= ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

∑

并求得每个n a 满足：11ln 112n a n n ⎛

⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，12

1n n a a ∞

==-∑，通过舍去一些余项，他

进一步得到：1

2

1!n n n n e α++⎫≈

=⎪⎭

。

2010年Nemes [13]的文章中证明了一个较复杂，但效果较好的渐进解，具有很好的精确程度：

120()()x

n k n k k G x x R x e x

-=⎛⎫⎛⎫Γ=+ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭∑

其中：1x ≥，1n ≥，()12()n n

x R x =O

，且k

G 满足：

2011,1!2(21)r

m k

r k r r B G G m r r =⎛⎫== ⎪-⎝⎭

∑∏

其中，

1

22k

i

i im

k ==∑，并且当1x n ≥+时，有

221/5

2(1)8|()|21

(21)(2)n

n n n e n R x e n n n x π⎛⎫+⎛⎫

≤+

⎪ ⎪+-⎝⎭

⎝⎭ 3. 第二种有关!n 的渐进形式——利用简单函数

1917年Burnside 给出如下近似结果，并由1994年由Spouge 再次发现并给出过证明，而且这个渐进公式比Stirling 的n σ要精确：

112

2

!n n n n e β+

⎫+

≈=⎪⎪⎭

1940年Hummel [9]

定义了一个序列n λ

满足!exp n

n n n e λ⎫

=⎪⎭

并建立如下不等式：

11

112

n λ<+< 其中2n ≥，之后Robbins [10]得到了更好的结论：11

12112n n n

λ<<+，而比较成功的结果则分别由

Cesaró[11]

和Maria [12]给出，各自的结论分别为：14112n n λ>

+和3

42

1

12n n n λ+>+。 1988年Ramanujan [15]给出了一个完全不同的渐进公式，如下：

!~/)n n n e

(3)

2000年Sandor 和Debnath [6]的文章中证明了如下双边不等式：

!n <<

在0α=且1β=的情况。到2008年Batir [7]证明了最佳的α，β值分别为2

12e απ-=-，16

β=

，这里设

n γ=

n υ=

并紧接着证得了如下更好的结论：

!n n n n e ρ-≈=

详细过程可以参考Batir [8]。2009年Mortici [4]给出了一个比n σ稍精确的渐进多项式：n α，并同时引