(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
y x y
1 x
令 y u,则 u x du u 2
x
dx u 1
udx x(1 u)du 0
1u du
u
y
dx C1 ， ln | xu | u C1 ， xu eC1 u ceu, y cex
x
x
x
2.
1 ey dx
ey 1
x dy
0
y
x
ey x 1
dx
解：
dy
y
x
1 ey
，令 x y
u, x
1
ln( x 1)
p
p
属于一阶线性方程
x1
x1
1
1
p
dx
e x1
ln( x
1) e
x
dx
1 dx
C1
x1
1 ln( x 1)dx C1 ln( x 1) 1 C1
x1
x1
y
ln( x 1) 1 C1 dx C2 ( x C1 ) ln( x 1) 2x C2
x1
2
2. 2 y' ' ( y' )
y， y(0) 2, y' (0) 1
（ 1）若 不是特征根，则令 y Rn x e x
（ 2）若 是特征方程单根，则令 y xRn x e x
（ 3）若 是特征方程的重根，则令 y x2 Rn x e x
2． f x Pn x e x sin x 或 f x Pn x e x cos x
其中 Pn x 为 n 次多项式， , 皆为实常数
通解 M 1 x dx M2 x
N 2 y dy C N1 y
2．变量可分离方程的推广形式
dy
y
（ 1）齐次方程
f
dx
x
M 2 x 0, N 1 y 0
y
dy
du
令 u， 则
ux
fu
x
dx
dx
du fu u
dx c ln | x | c
x
二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程
dy P x y 0 它也是变量可分离方程， 通解 y dx
0,1
dz 1
dx
Pxz 1
Q x 再按照一阶线性
dy
4．方程：
1
可化为 dx P y x Q y 以 y 为自变量， x
dx Q y P y x
dy
为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
三、可降阶的高阶微分方程
方程类型
解法及解的表达式
yn
fx
通解 y
f x dx n C1 x n 1 C 2 xn 2
解：令 y'
p，则 y' '
dp p ，得到
dp 2p
p2
y
dy
dy
令 p 2 u , 得到 du u y 为关于 y 的一阶线性方程 . dy
u
p2 (0) [ y' (0)] 2 1，解得 u y 1 ce y
|x 0
所以 1 u
y(0) 1 ce y(0) 2 1 ce 2 , c 0 .
|x 0
（ 1）若 i 不是特征根，则令 y e x Rn x cos x Tn x sin x
（ 2）若
i 是特征根，则令 y xe x Rn x cos x Tn x sin x
例题：
一、齐次方程
1.求 y 2 x 2 dy dx
dy xy 的通解
dx
解： y 2
(x2
dy xy)
0
dx
dy
y2
2
dx xy x
c
x,
x ey y
x
x ye y c .
1. ydx ( y x) dy 0, y(0) 1.
dx x 解：可得 dy y
x(1) 0
1
. 这是以 y 为自变量的一阶线性方程解得
x y( c ln y) .
x(1) 0 , c 0 . 所以得解 x y ln y .
3
dy y
2.求微分方程
dx
x y 4 的通解
x
令 y 5 u, 5 y 6 y' u' ,
u u x2， u' 5 u
5x
x
解得 u
x5 (c
5 x
2)，
于是
y 5 cx 5 5 x 3
2
2
四、可降阶的高价微分方程
1.求 (1 x) y y ln( x 1) 的通解
5x 2 .
解：令 y p, 则y p ,原方程化为 (x 1) p p ln( x 1)
n次
Cn 1 x Cn
令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y
p f x, p ——一阶方程，设其解为 p g x, C1 ，
即 y g x, C1 ，则原方程的通解为 y g x, C1 dx C2 。
令y
p ，把 p 看作 y 的函数，则 y
dp dp dy dp p
dx dy dx dy
（ 3）若 i 为特征方程的 k 重共轭复根 2k n ，则方程通解中含有
e x C1 C2 x
C k x k 1 cos x D1 D 2 x
D k x k 1 sin x
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是 三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得， 因此只能讨论某些容易求特征方程 的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
解：先求齐次方程的通解， 特征方程为 2 2 3 0 ，特征根为 1 3, 2 1。
因此齐次方程通解为 Y C1e 3 x C2 ex
设非齐次方程的特解为 y,由于
1为特征根，因此设 y xAe x ,
代入原方程可得 A
1
，故原方程的通解为
y
C1e 3 x C2 ex
1 xex
2
2
2.求方程 y y 2 y 2cos2x 的通解
五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0 其中 p ， q 为常数， 特征方程 2 p
q0
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（ 1）特征方程有两个不同的实根
1 ， 2 则方程的通解为 y C1e 1x C 2e 2 x
（ 2）特征方程有二重根 1
3
1
cos 2x sin 2x
10
10
3 cos 2x 1 sin 2x
10
10
3. y' ' y x 3sin 2x 2 cos x
得到 c1
1
1
, c2
, c3 1 ,
2
2
得特解 y
1 ex 1 e 3x e x (cos x
2
2
六、二阶常系数非齐次线形微分方程
c4 1 sin x)
1.求 y 2 y 3y 2ex 的通解
其结论很容易地推广到更高阶的
二阶齐次线性方程
y pxy qxy 0
（ 1）
二阶非齐次线性方程
y pxy qxy f x
（ 2）
1．若 y1 x ， y 2 x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
C1y1 x C 2 y2 x （ C1， C2 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当
y1 x
2．一阶线性非齐次方程
dy P x y Q x 用常数变易法可求出通解公式
dx
令 y C x e P x dx 代入方程求出 C x 则得
Ce P x dx ，（ c 为任意常数）
y e P x dx Q x e P x dx dx C
3．伯努利方程
dy Pxy
dx
Qxy
令 z y1 把原方程化为
非齐次方程求解。
4
1 1,
2 3,
3, 4 1 i
得通解为 y c1ex c2 e 3x e x ( c3 cos x c4 sin x )
由 y(0) 1, y' (0) 0, y' ' ( 0) 6, y' ' ' (0) 14
解联立方程得 A
故原方程的通解为
3
1
__
,B
，因此 y
10 10
y C1e 2 x C 2 ex
y' ' y 2 cos x ， y? x1e x c1 cos x c2 sin x (c1 cos x c2 sin x)x
待入原式得出： c1 0, c2 1，所以 y ? xsin x
解：特征方程为 2
2 0 ，特征根为 1
因此齐次方程的通解为 Y C1e 2 x C2 ex
2, 2 1 ，
设非齐次方程的特解为 y ,由于题目中
0, 2, i 2i 不是特征根，
因此设 y A cos2x B sin 2x ，代入原方程可得
( 2 A 2B 4A) cos2x ( 2B 2A 4B)sin 2x 2 cos2x 6A 2B 2 ， 6B 2A 0
2
六、二阶常系数非齐次线性方程
方程： y py qy f x 其中 p, q 为常数
通解： y y C1 y1 x C 2 y 2 x
其中 C1 y1 x C 2 y2 x 为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨
论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解
y 如何求？
1． f x Pn x e x 其中 Pn x 为 n 次多项式， 为实常数，
n p1 n 1 p2 n 2
pn 1
pn 0
特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。
（ 1）若特征方程有 n 个不同的实根 1, 2 , , n 则方程通解
y C1e 1x C 2 e 2x
Cn e nx
（ 2）若 0 为特征方程的 k 重实根 k n 则方程通解中含有
y= C1 C 2 x
C k xk 1 e 0 x
2 则方程的通解为 y C1 C 2 x e 1x
（ 3）特征方程有共轭复根
i ， 则方程的通解为 y e x C1 cos x C 2 sin x
2． n 阶常系数齐次线性方程
yn
p1 y n 1
p2 y n 2
pn 1 y p n y 0 其中 p i i 1,2, , n 为常数。
相应的特征方程
方程的任意特解，则 y x y x 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。
4．若 y 为二阶非齐次线性方程的一个特解， 而 C1 y1 x C 2 y 2 x 为对应的二 阶齐次线性方程的通解（ C1 ， C 2 为独立的任意常数）则 y y x C1 y1 x C 2 y 2 x 是此二阶非齐次线性方程的通解。 5．设 y1 x 与 y2 x 分别是 y p x y q x y f1 x 与 y p x y q x y f 2 x 的特解，则 y1 x y2 x 是 y p x y q x y f 1 x f 2 x 的特解。
把 y ， y 的表达式代入原方程， 得 dp 1 f y, p —一阶方程，
y f y, y
dy p
设其解为 p g y, C1 , 即 dy g y, C1 ，则原方程的通解为 dx
dy g y, C1
x C2 。
1
四．线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构， 线性微分方程。
1, 2 ,3 i , 4,5
i
于是得解 y c1e x ( c2 c3x) sin x ( c4 c5x) cos x
2. y( 4) 5 y' ' 10 y' 6 y 0 ， y(0) 1, y' (0) 0, y' ' (0) 6, y'' ' (0) 14
解：特征方程 4 5 2 10 6 0 , ( 1)( 3)( 2 2 2) 0
于是 u y 1 , p
y1
dy y1
dx , 2 y 1 x c1 ,
y1
x c1 22
y(0) 2 , 得到 c1 1, 得解 2
五、二阶常系数齐次线形微分方程
y1
1. y( 5) y( 4) 2 y' ' ' 2 y' ' y' y 0
x 1
2
解：特征方程
5
4 23 22
10
( 1)( 2 1) 2 0 ， 1
y2 x （ 为常数），也即 y1 x 与 y 2 x 线性无关时，则方程的通解
为 y C1 y1 x C 2 y 2 x
2．若 y1 x ， y2 x 为二阶非齐次线性方程的两个特解，则
y1 x y 2 x 为
对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
3．若 y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解， 而 y x 为对应的二阶齐次线性
第七章
一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程
常微分方程
dy
（ 1）方程形式：
P xQ y
dx
dy Q y 0 通解
Qy
P x dx C
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加）
（ 2）方程形式： M 1 x N1 y dx M 2 x N 2 y dy 0