江苏省南通市2014届高三数学第三次调研测试试题

江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学学科

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

． 1． 已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则A

B = ▲ ．

【答案】{}1,2

2． 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z

【答案】1i -

3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．【答案】15

4． 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为则球心O 到平面α的距离为 ▲ ． 5． 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．

【答案】1

6． 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．

【答案】7． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 且过点(1,则曲线C 的标准方程

为 ▲ ． 【答案】221y x -=

8． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若

()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

【答案】()2,+∞

9. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．

【答案】8

10． 在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．

（第5题）

【答案】10

11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f

【答案】

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2

2

40x y x +-=(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围

是 ▲ ．

【答案】⎡-⎣

13．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则

数列{b n }的公比为 ▲ ． 【答案】3+14．在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点

在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ． 【答案】3

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答. 解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；

（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．

【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，

所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分

因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，

所以AB ∥EF ． …………………………… 7分

（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，

C

E A B D

F

（第15题）

所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分

因为BC ⊥CD ，CD

DE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，

所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分 因为B C ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． …………………………… 14分

16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．

（1）求22a c +的值；

（2）求函数2()cos cos f B B B B +的值域．

【解】（1）因为8BA BC ⋅=，所以cos 8ac B =． …………………………… 3分

由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-，

因为4b =，所以2232a c +=． …………………………… 6分

（2）因为222a c ac +≥，所以16ac ≤， …………………………… 8分

所以81cos B =≥．

因为()0,πB ∈，所以π

03B <≤． (10)

分

因为21π1()cos cos 2(1cos2)sin(2)262f B B B B B B B +++=++， (12)

分

由于

ππ5π

2666

B <+≤，所以π1sin(2),162B ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，

所以()f B 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． (14)

分

17．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点

A 与圆

弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．

边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计

为沿弧

BC 的弧形小路，在路的一侧．．

边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ． 在直角三角形ABC 中，100AB =，BAC θ∠=， 所以100cos AC θ=．

由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分 所以()2100cos 100s θθθ=⨯+，

即()200cos 100s θθθ=+，π(0,)2θ∈． (7)

分

（2）()100(2sin 1)s θθ'=-+， ……………………………9分

令 ¢s (q )=0，则π6θ=， (11)

分

列表如下：

所以，当π6θ=时，()s θ取极大值，即为最大值． (13)

分

答：当π6θ=时，绿化带总长度最大． (14)

分

18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>的离心率为12，过椭圆右

焦点F 作

两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD +的取值范围．

O

（第17题）

A

B

C

θ