十二投资组合优化PPT课件

f
X
X X X
0 3
3
0
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，A为方阵
AX A X
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
X AX A A X
X
a1m
a2m
amm
x1
X
x2
xm
如果A为对称阵则
X AX 2AX X
优化与投资组合理论
总结
• 数对列X A向X 量 求A 导A仍 X为中列向量
• Syms s t • V=[s;t] • f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)] • dfdx=jacobian(f,V)
例子
• 假如
X
x1 x2
wk.baidu.com
f X f (x1, x2 ) 2x1 3x1x2
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f
投资组合优化的数学表述
• 给定收益情况下风险最小化
• 风险采用方差来衡量
• 目标函数 min1/ 2wTVw
w
• 约束条件1 • 约束条件2
wT
e
E r~p
wT 1
投资组合优化
•其中，ww为 wwNw123支股票权e 重 的 eee列123 向量，1e表示111N支股票的N维期望
2 1
V
L w
Vwp
e
0
L
E
~
rp
wTp e
0
L
1
wPT
0
• Remark：第一个等式实际上可以展开n个
投资组合优化的数学表述
• 其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因 此上述一阶条件也是全局优化的充分必要条件。
• 由上述方程可得
wp V 1e V 1
E
r~p
eTV 1e
• 约束条件1
wT e w1 w2
w3
e1
e2
e3
w1e1
w2e2
w3e3
E
r~p
• 约束条件2
1
wT w1 w2 w3 1 1
1
投资组合优化的数学表述
• 第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数
min
w. .
L
1/
2wTVw
(E
rp
wT e)
1 wT
• 第二步，求解一阶条件
w • 约束为非线性约束和线性约束
wTVw
2 p
wT 1
问题3
• 不考虑预期收益，最小化风险 • 目标函数为二次型
min1/ 2wTVw
w
• 约束为线性约束
wT 1
问题4
• 不考虑风险，最大化收益 • 目标函数为线性
max wT e
w • 约束为线性约束
wT 1
允许卖空时投资组合优化
12
1
2
13
1
3
121 2
2 2
23 2 3
131
3
23 2 3
2 3
投资组合优化
• 目标函数
1 2 wVw w1
w2
w3
2 1
21
12
2 2
13 23
w1 w2
31
32
2 3
w3
w12
2 1
w22
2 2
w32
2 3
2w1
w212
2w1
w313
2w2 w3 23
X X AX为标量 X 为列向量，
A A X 也为列向量
• 列向量对列向量求导为矩阵
AX A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵 X
主要内容 • 问题1：给定预期收益，最小化风险 • 问题2：给定风险，最大化预期收益 • 问题3：不考虑预期收益，最小化风
险 • 问题4：不考虑风险，最大化预期收
f1
•
f
f
2
X
f
n
其中
fi
f xi
• Remark：scalar-valued function of a vector，又称 梯度
数对向量求二阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
f X f (x1, x2, , xn )
• 定义n阶向量的二阶导数如下：
益
问题1
• 给定预期收益时，最小化风险
• 目标函数为二次型 min1/ 2wTVw
w
• 约束为线性约束
wT
e
E r~p
• •
当 当不 限允 制许 了卖 某空个时资，产投0资w份T额w，i给11定投资权重的
上下界
Li wi Ui
问题2
• 给定风险时，最大化收益
• 目标函数为线性
max wT e
f11 f12
• 2 f
f21
f22
X X
fn1
fn2
f1n
f2
n
其中
f
nn
fij
f xix j
• Remark：scalar-valued function of a vector，又称 海赛矩阵，n*n方阵
例子
• 假如
X
x1 x2
f X f (x1, x2 ) 2x1 3x1x2
)
A(V
1e)
h
1 D
C(V
1e)
A(V
1I )
•
wp g
对应的方差
hE
r~p
2 p
wTpVwp
允许卖空情况下的权重求解
• function [wp,varp]=meanvar(e,V,rp) • %. 求解投资组合权重 • %输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率
列向量 • %输入：V 收益率的方差协方差矩阵 • %输入：rp为投资组合的预期回报率 • %输出: wp为投资组合权重，列向量 • %输出: varp为投资组合的方差
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f
f
X
X X X
0 3
3
0
Matlab实现
• Syms x1 x2 • X=[x1 x2] • F=2*x1+3*x1*x2 • Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)] • g1=jacobian(Dfdx,X)
向量对向量求一阶导数
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
f1 X
f
X
f2
X
fm
X
• f(X)的一阶导数如下：
x1
X
x2
xn
f11 f12
f
f21
f22
X
fm1
fm2
f1n
f2
n
fij
fi x j
f
mn
Matlab实现
eTV 1
1 TV 1e TV 1
投资组合优化的数学表述
• 由上述方程可得，拉格朗日乘子
CE r~p
A
D
B
AE
r~p
D
投资组合优化的数学表述
• 由上述方程可求投资组合权重
A TV 1e eTV 1 B eTV 1e C TV 1 D BC A2
g
1 D
B(V
1I
Outline • 矩阵求导简介 • 优化知识 • 允许卖空情况下的投资组合优化 • 不允许卖空情况下的投资组合优化
矩阵求导的有关知识
数对向量求一阶导
• 假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向 量，因变量取值为标量
f X f (x1, x1, , xn )
• 定义n阶向量的一阶导数如下：