优化方法PPT课件
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工程设计中的优化方法教学课件PPT
（4）数学模型 建立数学模型是解决优化设计的关键 优化设计的数学模型是实际设计的数学抽象。
任何一个优化设计问题可归结为如下描述：
在给定的约束条件下，选择适当的设计变量X， 使其目标函数 f (X)达到最优值。
其数学表达式(数学模型)为
设计变量
X= (x1, x2, ···, xn)T X∈Rn
在满足约束方程
无约束优化方法的特点和适用范围
计算方法
消去 黄金分割法 法 Fibonacci
直 插值 二次插值法
接 搜
法
三次插值法
索 爬山 坐标轮换法
法
法非导
共轭方向法
数法 单纯形法
最速下降法
间 接 寻 优 法
爬山 法导数 法
共轭梯度法 牛顿法
变尺度法
特点及适用范围
黄金分割法计算过程简单，收敛较快，应用较广
二次插值法算法成熟，收敛较快，应用广。函数性态较好时， 其效果比消去法好
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
x1
x2
x3
x4
790 310 5
计算简单，占内存少，收敛慢，可靠性差，适用于维数n<10 收敛较快，可靠性较好，占用内存少，特别适用于n<10-20 的二次函数 计算简单,收敛快,效果好，适用于中小型设计问题 计算简单，占用内存少，对初始点的选择要求低。最初几步 迭代函数值下降很快，但越靠近极值点越慢。和他法混用 所用公式结构简单，收敛速度较快，要求内存量少。适用于 多维优化问题求解 算法复杂，计算是大，对初始点要求高。一定条件下收敛速 度很快。高维优化问题不宜采用 收敛速度快，稳定性好，是目前最有效的方法之一，适用于 求解多维优化问题8Βιβλιοθήκη 870 380 66
现代优化方法
动态规划问题的求解方法
逆向求解
从最后阶段开始，依次求出每 个阶段的最优解，最终得到初
始阶段的最优解。
正向求解
从初始阶段开始，逐步向前推导 出每个阶段的最优解。
分支定界法
将问题分解为若干个子问题，通过 设定参数和约束条件，将问题的求 解范围缩小到最优解所在的子问题 集合中。
动态规划的应用
最短路径问题
03
由确定型优化向不确 定型优化发展
考虑随机因素和不确定性因素的影响 ，进行概率优化或鲁棒优化。
THANK态规划算法求解最短路径问题，例如 Floyd-Warshall算法、Dijkstra算法等。
通过动态规划算法求解网络流中的最大流和 最小费用流问题。
背包问题
排程问题
通过动态规划算法求解多阶段决策过程中的 最优解，例如0/1背包问题、完全背包问题 等。
通过动态规划算法求解资源分配和任务调度 问题，例如作业排程、飞机调度等。
05
遗传算法优化方法
遗传算法的基本原理
遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，通过模拟自 然选择、遗传和突变过程来寻求最优解。
遗传算法的基本原理是：在群体中选择出优秀的个体，通过 交叉、变异等操作产生更优秀的后代，迭代进化，最终得到 最优解。
遗传算法的求解过程
初始化种群
随机生成一定数量的个体作为初始种群。
2023
现代优化方法
contents
目录
• 优化方法概述 • 线性规划优化方法 • 非线性规划优化方法 • 动态规划优化方法 • 遗传算法优化方法 • 模拟退火算法优化方法 • 粒子群优化方法 • 现代优化方法比较分析
01
优化方法概述
定义与特点
定义
最优化方法全部PPT课件
最优化方法
（最优化课件研制组）
编辑课件
1
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来
的。
最优化方法解决问题一般步骤：
（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据；
（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变
向量内积的性质：
ⅰ) ,,（对称性）；
ⅱ) , , , k,k,（线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
编辑课件
13
向量的长 ,
单位向量 1
向量的夹角
，
,
arccos
,
0 ,
向量的正交 , ,0（正交性）
2
1.可微
定义1.7 设 f:D R n R 1,x0 D .如果存在 n
sx 0
sx 0
x* x*
f f x*
编辑课件
9
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解 m infx ,y x 2 2 y 1 2
编辑课件
10
图解法的步骤：
①令 fx,yx22y 1 2c，显然 c 0 ；
②取 c0,1,4,9, 并画出相应的曲线（称之为等值线）.
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xx1,x2, ,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 , ,x n 编辑课m 件 i n fx （1）
（最优化课件研制组）
编辑课件
1
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来
的。
最优化方法解决问题一般步骤：
（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据；
（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变
向量内积的性质：
ⅰ) ,,（对称性）；
ⅱ) , , , k,k,（线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
编辑课件
13
向量的长 ,
单位向量 1
向量的夹角
，
,
arccos
,
0 ,
向量的正交 , ,0（正交性）
2
1.可微
定义1.7 设 f:D R n R 1,x0 D .如果存在 n
sx 0
sx 0
x* x*
f f x*
编辑课件
9
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解 m infx ,y x 2 2 y 1 2
编辑课件
10
图解法的步骤：
①令 fx,yx22y 1 2c，显然 c 0 ；
②取 c0,1,4,9, 并画出相应的曲线（称之为等值线）.
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xx1,x2, ,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 , ,x n 编辑课m 件 i n fx （1）
几种常见的优化方法ppt课件
fast, this is relatively unimportant because the time
required for integration is usually trivial in comparison to
the time required for the force calculations.
Example of integrator for MD simulation
• One of the most popular and widely used integrators is
the Verlet leapfrog method: positions and velocities of
7
Continuous time molecular dynamics
1. By calculating the derivative of a macromolecular force
field, we can find the forces on each atom
as a function of its position.
11
Choosing the correct time step…
1. The choice of time step is crucial: too short and
phase space is sampled inefficiently, too long and the
energy will fluctuate wildly and the simulation may
– Rigid body dynamics
– Multiple time step algorithms
required for integration is usually trivial in comparison to
the time required for the force calculations.
Example of integrator for MD simulation
• One of the most popular and widely used integrators is
the Verlet leapfrog method: positions and velocities of
7
Continuous time molecular dynamics
1. By calculating the derivative of a macromolecular force
field, we can find the forces on each atom
as a function of its position.
11
Choosing the correct time step…
1. The choice of time step is crucial: too short and
phase space is sampled inefficiently, too long and the
energy will fluctuate wildly and the simulation may
– Rigid body dynamics
– Multiple time step algorithms
第3讲优化方法
26
5、多目标规划问题
（1）多目标规划的概念
多目标规划是20世纪70年代发展起来的一种决策分析方法。 例如，生产过程中既要求产量最大，又要求产品质量高 、成本低；证券投资是既要收益高，又要风险高等等 各目标之间相互影响，有时还互相矛盾，使决策过程愈 加复杂。
27
（2）多目标决策的方法
分层序列法：将所有目标按其重要性程度依次排序，先 求出第1个最重要目标的最优解；然后，在保证前一目标 最优解的前提下依次求下一目标的最优解，一直求到最 后一个目标。
约束条件
sm ( x1,x2 , ,xn ) 0 x1,x2 , ,xn 0
9
最优化问题的解： 决策变量的每一个取值组合都称为目标变量y的一个解 满足约束条件的解，称为可行解 使目标函数达到最大值的解，称为最优解 在局部范围内的最优解，称为局部最优解
10
4、最优化问题的求解方法
（1）手算法
工厂B
工厂C
6
3
5
4
21
4
5
3
5
6
9
（3）选址问题（0-1规划）
某移动通信公司准备在某一城市建立发射塔，该城有4个地区 ，现有4个建塔位置，每个位置对各地区的覆盖情况和费用如 下表所示。该公司应怎样选择建塔位置，既能覆盖所有地区 ，又能使总费用最小？ 覆盖情况和费用表 覆盖 地区A 地区B 地区C 地区D 费用 位置1 1 位置2 1 1 1 350 1 400
20
（2）运输问题 某公司有3个工厂，生产的产品运到5个仓库，3个工厂的生产 能力为310、260和280，每个仓库的需求量为180、80、200、 160和220。从工厂运到各仓库的运费如下表所示。 问：该公司怎样安排，所花费的总运费最小？ 单位运费表 运费 工厂A 仓库1 10 仓库2 8 仓库3 6 仓库4 5 仓库5 4
优化设计方法ppt
其他优化方法
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟 鸟群、鱼群等自然现象的群体行为来寻找最优解。
人工神经网络
人工神经网络是一种模拟人脑神经元网络结构的计算模型， 通过训练来逼近某个映射函数或分类器。
03
优化设计的实际应用
建筑设计的优化
总结词
提高功能性、美观性和经济性
优化设计方法ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 优化设计的基本方法 • 优化设计的实际应用 • 优化设计的新发展 • 优化设计的实践技巧
01
引言
什么是优化设计
优化设计是一种通过合理选择和调整设计方案参数，在给定 的一组约束条件下，使设计性能指标达到最优化的方法。
优化设计旨在找到一个或多个最优解，使设计在满足各种约 束条件的同时，最大化或最小化某一特定的设计性能指标。
迭代次数设置
合理设置迭代次数，避免 因迭代次数过多或过少导 致收敛效果不佳。
收敛条件设置
合理设置收敛条件，以便 在满足条件时实现算法收 敛。
初始化参数设置
合理设置初始化参数，避 免算法过早收敛或无法收 敛。
如何避免优化过程中的局部最优解
随机初始化
通过随机初始化参数，避 免算法在初始阶段就陷入 局部最优解。
适应性。
自适应选择
自适应选择是根据问题的特征和 性质，自适应地选择不同的算法 或策略，以获得更好的性能和适 应性。
自适应学习
自适应学习是通过学习历史经验和 数据，自适应地调整算法参数和策 略，以适应不同的情况和问题，提 高算法的效率和精度。
05
优化设计的实践技巧
如何选择合适的优化方法
根据问题特性选择
第五章-优化设计方法课件
第五章-优化设计方法
一、目标与过程
•目 标：
•方案的价值系数：
v F ——功能 C ——成本
方案优化法：
➢以功能分析为基础 ➢运用创造技巧
总体优化的过程：
➢确定优化对象
➢最大程度降低成本 ➢努力提高功能
➢ 优化方案的建立
➢寻求最大价值系数
➢ 优化方案的评选
第五章-优化设计方法
二、优化对象的确定
产品返修率高 次品率、废品率高 产品赔偿率，退换率高
效果显著 具备各种改善条件 有改善潜力 情报资料齐全 无需大量人力物力 牵涉面不广
•具体方法
•1 .从技术角度选择优化对象 •（1）经验分析法 •（2）综合分析法
确定评价指标 计入权重 专家评分 按加权总评分决策
第五章-优化设计方法
案例：某产品有A、B、C、D4个组成部分。经过企业有关人 士的分析,决定以可靠性、操作性、维修性、工艺性、生产 效率和安全性等6项指标来评价每一部分的技术水平，并根 据6项指标对产品的不同工艺重要性赋予不同的权重
• 2）针对难以处理性态不好的问题、难以求得全局最 优解等弱点，发展了一批新的方法，如：模拟退火法、 遗传算法、人工神经网络法、模糊算法、小波变换法、 分形几何法等。
• 3）在数学模型描述能力上，由仅能处理连续变量、 离散变量，发展到能处理随机变量、模糊变量、非数 值变量等，在建模方面，开展了柔性建模和智能建模 的研究。
• 2）建模难度大，技术性高，数学模型描述 能力低，数学模型误差大。
• 3）方法程序的求解能力有限，难以处理复 杂问题和性态不好的问题，难以求得全局最 优解。
第五章-优化设计方法
现 为了提高最优化方法的综合求解能力，人们探索： 状
• 1）引入了人工智能、专家系统技术，增加了最优化 方法中处理方案设计、决策等优化问题的能力，在优 化方法中的参数选择时借助专家系统，减少了参数选 择的盲目性，提高了程序求解能力。
一、目标与过程
•目 标：
•方案的价值系数：
v F ——功能 C ——成本
方案优化法：
➢以功能分析为基础 ➢运用创造技巧
总体优化的过程：
➢确定优化对象
➢最大程度降低成本 ➢努力提高功能
➢ 优化方案的建立
➢寻求最大价值系数
➢ 优化方案的评选
第五章-优化设计方法
二、优化对象的确定
产品返修率高 次品率、废品率高 产品赔偿率，退换率高
效果显著 具备各种改善条件 有改善潜力 情报资料齐全 无需大量人力物力 牵涉面不广
•具体方法
•1 .从技术角度选择优化对象 •（1）经验分析法 •（2）综合分析法
确定评价指标 计入权重 专家评分 按加权总评分决策
第五章-优化设计方法
案例：某产品有A、B、C、D4个组成部分。经过企业有关人 士的分析,决定以可靠性、操作性、维修性、工艺性、生产 效率和安全性等6项指标来评价每一部分的技术水平，并根 据6项指标对产品的不同工艺重要性赋予不同的权重
• 2）针对难以处理性态不好的问题、难以求得全局最 优解等弱点，发展了一批新的方法，如：模拟退火法、 遗传算法、人工神经网络法、模糊算法、小波变换法、 分形几何法等。
• 3）在数学模型描述能力上，由仅能处理连续变量、 离散变量，发展到能处理随机变量、模糊变量、非数 值变量等，在建模方面，开展了柔性建模和智能建模 的研究。
• 2）建模难度大，技术性高，数学模型描述 能力低，数学模型误差大。
• 3）方法程序的求解能力有限，难以处理复 杂问题和性态不好的问题，难以求得全局最 优解。
第五章-优化设计方法
现 为了提高最优化方法的综合求解能力，人们探索： 状
• 1）引入了人工智能、专家系统技术，增加了最优化 方法中处理方案设计、决策等优化问题的能力，在优 化方法中的参数选择时借助专家系统，减少了参数选 择的盲目性，提高了程序求解能力。
优化方法运筹学
G( 0,40) A (0,30)
O(0,0)
作出各约束条件表示的直线
最优解在直线围成的多边形的顶 点取得。 9x+4y=360
4x+5y=200 B
C
3x+10y=300
D( 40,0) H (50,0) E (100,0)
直线的画法
用两点式：9x+4y=360，x=0,y=90 y=0,x=40
例题分析3：人力资源分配问题
例2．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务 人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
❖问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作八小时(注意每班次才4小时)，问该公交线路怎样安排 司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘 务人员?
例题分析3：人力资源分配问题
解：设 xi 表示从第i班次开始上班的司机和乘务人员数
(i=1,2,3,4,5,6),这样我们建立如下的数学模型。
线性规划求解结论
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如:小于 1 0 3
无约束优化 m in f ( x ) x n
F(x)
Xl Xg
最优解都是局部最 优解,全局最优解只 能从局部最优解的 X 比较中得到.
梯 度 : f(x ) ( f, f, x 1 x 2
, x fn ) T ,H e s s ia n 矩 阵 : 2 f(x ) ( x i2 fx j)m n
必 要 条 件 :若 x * 为 的 极 小 点 , 则 f(x * ) 0
充 要 条 件 :若 f(x * ) 0 , 2f(x * )正 定 , 则 x * 是 极 小 点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f( x 1x 2 ) 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 3 x 1 x 2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
步长的选择:搜索方向 d k 确定后,求步长实际上是一个一维d k
优化问题 m ifn(xk dk)
称为一维搜索
成功-失败法 黄金分割法(0.618法)
停 止 迭 代 ,X *X k. 否 则 ,转 向 ( 3 ) ；
⑷ 令Sk f Xk ，从 Xk 出发，沿Sk 进行一维搜索， 基
即求k使得：
minf Xk Sk
0
f
Xk kSk
；
本 算
⑸ 令Xk1Xk kSk，k=k+1返回⑵.
法
最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最
速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛
CUMCM赛题：约一半以上与最优化问题有关.如：
飞行管理问题(95A) 最优捕鱼策略(96A) 节水洗衣机(96B)
零件参数设计(97A)
投资的收益和风险(98A)
钢管订购和运输(2000B)
电力市场的堵塞管理(2004B)
•非线性规划： 96A 最优捕鱼策略 96B 节水洗衣机 97A 零件参数设计 98A 投资收益与风险01B 公交车调度
约 束
决策变量 g j ( x ) 0 , j 1, ..., l
条 件
x D n
可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合） 最优解（取到最小或最大值的可行解）
最优化模型与方法的步骤
1.分析问题.发现、提出并形成问题,进行抽象、
简化、归纳和综合.明确问题的目标、各种约束、 问题的可控变量以及有关参数,搜集有关资料
最优化方法
数学建模系列讲座
最优化:在一定条件下,寻求使目标最大（小）的决策
最优化问题的解就是从所有可能的方案中选出最合 理的, 以达到最优目标的方案--最优方案. 搜寻最优方案的方法就是最优化方法.
最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会 生活中经常遇到的问题. 如：
结构设计 资源分配 生产计划 运输方案
最优点 初始点
(1 (-1
1) 1)
x1 x2
f
-1 1 4.00
-0.79 0.58 3.39
-0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98
0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20
0.80 0.63 0.05
0.95 0.90 0.003
0.99 0.99 1E-4
0.999 0.998 1E-5
0.9997 0.9998 1E-8
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
无 约
⑴ 给定初始点X0En，允许误差0,令k=0；
束
⑵ 计算f Xk ；
优
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则
若满足，则停止迭代，得点X*Xk ，否则进行⑷； 的
优化Optimization 规划Programming
无线 约性 束规 优划 化
非整 线数 性规 规划 划
组不多目动网 合确目标态络 优定标规规优 化规规划划化
划划
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
m in f (x)
目标函数
s.t. hi ( x ) 0 , i 1, ..., m
2.建立模型.经过合理的假设,确定变量、参数和
目标与约束之间的关系,使用有效的模型来表示
3.求解.使用和创立各种数学方法和数学技术,对
模型求解(如最优解、次优解、近似解).借助于计 算机软件进行求解复杂的模型,并进行各种数据分 析
4.解的检验和控制.检查求解步骤和程序无误后,
检验解是否反映现实问题并进行灵敏度分析
慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值
点时，宜选用别种收敛快的算法.
2．牛顿法算法步骤：
( 1 ) 选 定 初 始 点 X 0 E n， 给 定 允 许 误 差 0， 令 k = 0 ；
( 2 )求 fXk, 2fXk 1, 检 验 ： 若 fXk , 则
Fibonacci法 抛物线插值法 三次插值法
方向的选择:最速下降法(梯度法) dk f(xk)
牛顿法 d k ( 2f(xk) 1 ) f(xk)
拟牛顿法 dkHkf(xk)
H k 由BFGS迭代公式或DEP公式迭代得出
搜索过程
m f( x 1 i x 2 ) n 1 ( x 2 0 x 1 2 ) 2 0 ( 1 x 1 ) 2
建模时需要注意的几个基本问题
1.尽量使用实数优化,减少整数约束和整数变量 2.尽量使用光滑优化,减少非光滑约束的个数
如:尽量少使用绝对值函数、符号函数、多个变量求最大(最 小)值、四舍五入、取整函数等
3.尽量使用线性模型,减少非线性约束和非线性 变量的个数
如: x/y<5应改为x<5y
4.合理设定变量上下界,尽可能给定变量初始值 5.模型中使用的参数数量级要适当
•混合整数规划: 99B 钻井布局 •最短路，二次规划： 00B 管道订购 •组合优化最短路： 97B 截断切割，
04A 奥运会临时超市(MS)网点设计 •旅行商问题: 98B 灾情巡视 •优化： 02A 车灯光源优化设计
02B 彩票中的数学
最优化理论是运筹学的基本内容
运筹学OR： Operational Research 管理科学MS: Management Science 决策科学DS: Decision Science
无约束优化 m in f ( x ) x n
F(x)
Xl Xg
最优解都是局部最 优解,全局最优解只 能从局部最优解的 X 比较中得到.
梯 度 : f(x ) ( f, f, x 1 x 2
, x fn ) T ,H e s s ia n 矩 阵 : 2 f(x ) ( x i2 fx j)m n
必 要 条 件 :若 x * 为 的 极 小 点 , 则 f(x * ) 0
充 要 条 件 :若 f(x * ) 0 , 2f(x * )正 定 , 则 x * 是 极 小 点
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f( x 1x 2 ) 2 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 3 x 1 x 2
多局部极小
f 0.298
求解方法:搜索算法(数值迭代)
在迭代的每一步,确定一个搜索方向和一个步长,使沿此方向和 此步长走一步到达下一点时,函数f(X)的值下降.
步长的选择:搜索方向 d k 确定后,求步长实际上是一个一维d k
优化问题 m ifn(xk dk)
称为一维搜索
成功-失败法 黄金分割法(0.618法)
停 止 迭 代 ,X *X k. 否 则 ,转 向 ( 3 ) ；
⑷ 令Sk f Xk ，从 Xk 出发，沿Sk 进行一维搜索， 基
即求k使得：
minf Xk Sk
0
f
Xk kSk
；
本 算
⑸ 令Xk1Xk kSk，k=k+1返回⑵.
法
最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最
速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛
CUMCM赛题：约一半以上与最优化问题有关.如：
飞行管理问题(95A) 最优捕鱼策略(96A) 节水洗衣机(96B)
零件参数设计(97A)
投资的收益和风险(98A)
钢管订购和运输(2000B)
电力市场的堵塞管理(2004B)
•非线性规划： 96A 最优捕鱼策略 96B 节水洗衣机 97A 零件参数设计 98A 投资收益与风险01B 公交车调度
约 束
决策变量 g j ( x ) 0 , j 1, ..., l
条 件
x D n
可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合） 最优解（取到最小或最大值的可行解）
最优化模型与方法的步骤
1.分析问题.发现、提出并形成问题,进行抽象、
简化、归纳和综合.明确问题的目标、各种约束、 问题的可控变量以及有关参数,搜集有关资料
最优化方法
数学建模系列讲座
最优化:在一定条件下,寻求使目标最大（小）的决策
最优化问题的解就是从所有可能的方案中选出最合 理的, 以达到最优目标的方案--最优方案. 搜寻最优方案的方法就是最优化方法.
最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社会 生活中经常遇到的问题. 如：
结构设计 资源分配 生产计划 运输方案
最优点 初始点
(1 (-1
1) 1)
x1 x2
f
-1 1 4.00
-0.79 0.58 3.39
-0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98
0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20
0.80 0.63 0.05
0.95 0.90 0.003
0.99 0.99 1E-4
0.999 0.998 1E-5
0.9997 0.9998 1E-8
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
无 约
⑴ 给定初始点X0En，允许误差0,令k=0；
束
⑵ 计算f Xk ；
优
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则
若满足，则停止迭代，得点X*Xk ，否则进行⑷； 的
优化Optimization 规划Programming
无线 约性 束规 优划 化
非整 线数 性规 规划 划
组不多目动网 合确目标态络 优定标规规优 化规规划划化
划划
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
m in f (x)
目标函数
s.t. hi ( x ) 0 , i 1, ..., m
2.建立模型.经过合理的假设,确定变量、参数和
目标与约束之间的关系,使用有效的模型来表示
3.求解.使用和创立各种数学方法和数学技术,对
模型求解(如最优解、次优解、近似解).借助于计 算机软件进行求解复杂的模型,并进行各种数据分 析
4.解的检验和控制.检查求解步骤和程序无误后,
检验解是否反映现实问题并进行灵敏度分析
慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值
点时，宜选用别种收敛快的算法.
2．牛顿法算法步骤：
( 1 ) 选 定 初 始 点 X 0 E n， 给 定 允 许 误 差 0， 令 k = 0 ；
( 2 )求 fXk, 2fXk 1, 检 验 ： 若 fXk , 则
Fibonacci法 抛物线插值法 三次插值法
方向的选择:最速下降法(梯度法) dk f(xk)
牛顿法 d k ( 2f(xk) 1 ) f(xk)
拟牛顿法 dkHkf(xk)
H k 由BFGS迭代公式或DEP公式迭代得出
搜索过程
m f( x 1 i x 2 ) n 1 ( x 2 0 x 1 2 ) 2 0 ( 1 x 1 ) 2
建模时需要注意的几个基本问题
1.尽量使用实数优化,减少整数约束和整数变量 2.尽量使用光滑优化,减少非光滑约束的个数
如:尽量少使用绝对值函数、符号函数、多个变量求最大(最 小)值、四舍五入、取整函数等
3.尽量使用线性模型,减少非线性约束和非线性 变量的个数
如: x/y<5应改为x<5y
4.合理设定变量上下界,尽可能给定变量初始值 5.模型中使用的参数数量级要适当
•混合整数规划: 99B 钻井布局 •最短路，二次规划： 00B 管道订购 •组合优化最短路： 97B 截断切割，
04A 奥运会临时超市(MS)网点设计 •旅行商问题: 98B 灾情巡视 •优化： 02A 车灯光源优化设计
02B 彩票中的数学
最优化理论是运筹学的基本内容
运筹学OR： Operational Research 管理科学MS: Management Science 决策科学DS: Decision Science