高中数学必修四 弧度制教案

1.1.1 弧度制

【课题】：弧度制

【学情分析】：教学对象是高一的学生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已经相当熟练，在此基础上引进角的另一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比值来定义角的大小，不像角度制那样可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因此应多结合具体实例来说明弧度制的合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度制定义，这符合学生的认知规律。

【教学三维目标】：

一、知识与技能

1、1弧度的角的定义；

2、弧度制的定义；

3、角度与弧度的换算；

4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；

5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；

二、过程与方法

1、理解1弧度的角、弧度制的定义；

2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；

3、熟记特殊角的弧度数；

4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；

5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；

三、情感态度与价值观

使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.

【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.

【课前准备】：计算器、投影机、三角板

积公式分别是：180n R

l π=，2

360n R S π=，

将0

n 转换为弧度，得 180

n πα=，

于是 2

12

S R α=.

将l R α=代入上式，即得12

S lR =.

教师出示例题：例7．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m

解： ∵ 3

60π=ο

∴ )(471514.3453

m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα

教师出示例题：例8．已知扇形AOB 的周长是6cm ，

该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有

⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162

l r r l l r ∴ 扇形的面积2

)(22

1cm rl S ==

教师出示例题：例9. 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3

4π ⑵ ο

165

解： cm r 10= ⑴ )(3

401034cm r l ππα=⨯=⋅=

(2)rad rad 12

11)(165180165ππ=⨯=ο

∴)(6

55101211cm l ππ=⨯=

教师出示例题：例10. 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数． 解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ， 由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+621102r l r l ⇒0652

=+-r r ∴ ⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨⎧==43l r ∴ r l =α=3 或34 教师出示例题：例11.一扇形周长为20cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 分析：最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找到（本例不好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函

熟悉弧长公式

加深弧长公式的使用。

o A B

数的方法解决。

解：设扇形中心角为θ，半径为r ，则

220r r θ+=，202r

r

θ-=

()22211202101022r S r r r r r r r θ-==⋅⋅=-=-扇形

当()

10

521r =-

=⨯-时，25S =扇形最大，此时 2θ=.

小结：研究实际应用问题的最值问题，往往是将其转化为二次函数的最值问题，这是经常运用的数学思想方法。

教师出示例题：例12.一条弦的长度等于半径r ，求（1）这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积。 分析：由已知可知圆心角的大小为

3

π

，然后用公式求解 解：（1）如图1-2-6所示，半径为r 的

O e 中弦AB r =，则ABC ∆为等边三角形，所以3

AOB π

∠=，则弦AB 所对的

劣弧长为

3

π。 （2）213sin 24

AOB S OA OB AOB r ∆=

⋅⋅⋅∠=Q 222112236

AOB S r r r ππα=

=⨯⨯=扇形 2

22

336464AOB

AOB S S S r r r π

π∆⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭

弓形扇形 小结：图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把弓形看成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已知知识解决所要求解的问题。

熟悉面积公式

加深面积公式的使用。

三、练习巩

固

1． 把下列角度化成弧度：

（1）0

'

2230；（2）0

210-；（3）0

1200. 2. 把下列弧度化成度： （1）

12π；（2）43

π-；（3）310π. 3.利用计算机比较下列各对值的大小(精确到0.001): (1)0

cos0.75和cos0.75; (2)0

tan1.2和tan1.2;

4．分别利用角度制\弧度制下的弧长公式,计算半径为1m 的圆中,0

60的圆心角所对的弧的长度(可用计数器).

5.已知半径为120mm 的圆上,有一条弧长144mm ,求该弧所对的圆心角的弧度数.

巩固知识，培养技

能.