高中数学模块综合评价(二)习题(含解析)新人教A版选修1_2

模块综合评价(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
解析：由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）
（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1，故选A.
答案：A
2．如图所示的框图是结构图的是( ) A.P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B.Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→
得到一个明显
成立的条件
C.
D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书 解析：选项C 为组织结构图，其余为流程图． 答案：C
3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A ．a ，b 都能被3整除
B ．a ，b 都不能被3整除
C ．a ，b 不都能被3整除
D ．a 不能被3整除
解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B
4．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A ．因为y ＝2x
是指数函数，所以函数y ＝2x
经过定点(0，1)
B ．猜想数列11×2， 12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）
(n ∈N *
)
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积为πr 2
猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积为πab
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＋(z －c )2
＝r 2
解析：选项B 为归纳推理，选项C 和选项D 为类比推理，选项A 为演绎推理． 答案：A
5．下列推理正确的是( )
A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y
B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y
C ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y n
D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )
解析：A 中类比的结果应为log a (xy )＝log a x ＋log a y ，B 中如x ＝y ＝π
2时不成立，C 中如x
＝y ＝1时不成立，D 中对于任意实数结合律成立．
答案：D
6．已知（1－i ）
2
z
＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：因为（1－i ）2
z
＝1＋i ，
所以z ＝（1－i ）21＋i ＝（1－i ）2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋i 2
－2i ）（1－i ）1－i 2
＝－2i （1－i ）2＝－1－i.
答案：D
7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^
＝bx ＋a ，则( )
A.a ＞0，b ＞C ．a ＜0，b ＞0
D ．a ＜0，b ＜0
解析：作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线y ^
＝bx ＋a 的斜率b ＜0， 当x ＝0时，y ^
＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0. 答案：B
8．下列推理正确的是( )
A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －c
C ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b
D ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2
⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b a ＝－2
解析：A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．D 利用基本不等式，推理正确．
答案：D
9．若复数(x 2
＋y 2
－4)＋(x －y )i 是纯虚数，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．以原点为圆心，以2为半径的圆 B ．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)
C ．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线
D ．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2，2)，(－2，－2) 解析：因为复数(x 2
＋y 2
－4)＋(x －y )i 是纯虚数，所以x 2
＋y 2
－4＝0，且x ≠y ，由可解得
x 2＋y 2＝4(x ≠y )，故点(x ，y )的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2，
2)，(－2，－2)． 答案：D
10．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2
D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于1
2
解析：假设a ，b ，c 中都小于1
2
，
则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋1
2＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾
所以a ，b ，c 中至少有一个不小于1
2.
答案：D
11．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示．则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )
分类 认为作业多
认为作业不多
总计 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏
8 15 23 总计
26 24
50
C ．90%
D ．97.5%
解析：K 2
的观测值为k ＝50（18×15－9×8）
2
27×23×26×24≈5.059>5.024.
又P (K 2
≥5.024)＝0.025，
所以认为 “喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为97.5%. 答案：D
12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝3x
C ．y ＝4x
D ．y ＝5x
解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2
＋y 2
＝1<36，不满足条件；执行循环：
n ＝2，x ＝1
2，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件；执行循环：n ＝3，x ＝32
，y ＝6，x 2＋y 2＝
94＋36>36，满足条件，结束循环，输出x ＝3
2
，y ＝6，所以满足y ＝4x . 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________． 解析：因为(1＋2i)( a ＋i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i ，且a ∈R， 由题意得a －2＝2a ＋1，所以a ＝－3. 答案：－3
14．已知圆的方程是x 2
＋y 2
＝r 2
，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
.
类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1
类似的性质为
______________________________________________．
解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y
分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝
1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为
x 0x a 2＋y 0y
b 2
＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y
b
2＝1
15．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为______，③为________．
解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一种动物包括的种类，填上①③.
答案：地龟 哺乳动物 长尾雀
16．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^
x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______．
解析：首先把两组值代入回归直线方程得
⎩⎨⎧3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^
＝22，解得⎩⎨⎧b ^＝1，
a ^
＝14. 所以回归直线方程是y ^
＝x ＋14. 答案：y ^
＝x ＋14
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2
－2a ＋4)－(a 2
－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？
解：由a 2
－2a ＋4＝(a －1)2
＋3≥3，－(a 2
－2a ＋2)＝－(a －1)2
－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数z 的对应点在第四象限．
设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R)，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a 2
－2a ＋4，
y ＝－（a 2
－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2
－1≥－1， 所以x ＝a 2
－2a ＋4≥3，
消去a 2
－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)，所以复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2－(x ≥3)．
18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2
＝2ab ，
求证：S <2a .
证明：因为S 2
＝2ab ，所以要证S <2a ，
只需证S <S 2
b
，即b <S .
因为S ＝1
2(a ＋b ＋c )，只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .
因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b <a ＋c 成立，所以S <2a 成立． 19．(本小题满分12分)观察以下各等式：
tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°. 分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明． 解：表示一般规律的等式是：若A ＋B ＋C ＝π， 则tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .
证明：由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B ，
所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )． 而A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C .
于是tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(π－C )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan
C ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .
故等式成立．
20．(本小题满分12分)已知(2＋i)z －
＝7＋i ，求z 及z z
.
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －
＝a －b i. 所以(2＋i)(a －b i)＝7＋i ， 所以(2a ＋b )＋(a －2b )i ＝7＋i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，
所以z ＝3＋i.
所以z －
＝3－i ，所以z z ＝3＋i 3－i ＝（3＋i ）2
10＝45＋35
i.
21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n
n
(n ∈N *
)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则
⎩⎨
⎧a 1＝1＋2，
3a 1＋3d ＝9＋32，
联立得d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n
n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2
q ＝b p b r ， 从而(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2
－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 因为p ，q ，r ∈N *
，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧q 2
－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
所以⎝ ⎛⎭
⎪
⎫p ＋r 22
＝pr ，(p －r )2＝0，
所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．
所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单
位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得
.
(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解：(1)由题意知n ＝10，x －＝
1
10
i
＝80
10
＝8，
＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^
＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^
＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。