高中数学模块综合评价(二)习题(含解析)新人教A版选修1_2
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
2020版数学人教A版必修3练习：模块综合试卷(二) Word版含解析
模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2018·长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为( )A ．95,94B ．92,86C ．99,86D ．95,91答案 B解析 由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.2．已知a ＝，b ＝，执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )23A.B. C.D.2222－122＋12答案 D解析 由a ＝，b ＝＝＝2，知a >b 不成立，故输出＝.23lg 3lg 3a ＋1b 2＋123．用辗转相除法求得459和357的最大公约数是( )A ．3 B ．9 C ．17 D ．51答案 D解析 459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，则51是459和357的最大公约数．4．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”，在这个问题中样本容量是( )A ．40B ．50C ．120D ．150答案 C解析 选派人数是40×3＝120，即为样本容量．5．已知函数y ＝a －x ，当a 在集合中任意取值时，函数为增函数的概率为( ){13，15，12，4，7}A. B. C. D.25121335答案 D解析 y ＝a －x ＝x 为增函数时，有>1，即0<a <1.(1a )1a由于a ∈，所以函数为增函数包含3个基本事件，基本事件总数为5，则函数{13，15，12，4，7}为增函数的概率为.356．如图所示，四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个圆心角相同的扇形，转动转盘，当转盘停止转动后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是( )A ．转盘1和转盘2B ．转盘2和转盘3C ．转盘2和转盘4D ．转盘3和转盘4答案 C解析 四个转盘指针指向白色区域的概率分别为P 1＝，P 2＝＝，P 3＝＝，P 4＝，故P 2＝3826132121613P 4，即转盘2和转盘4指针指向白色区域的概率相同．7．某实验室有4个饲养房，分别养有18,54,24,48只白鼠供实验用，某项实验需抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法是( )A ．在每个饲养房各抽取6只B ．把所有白鼠都加上编号不同的颈圈，用简单随机抽样法确定24只C ．从4个饲养房分别抽取3,9,4,8只D ．先确定这4个饲养房应分别抽取3,9,4,8只，再在各饲养房自己加号码颈圈，用简单随机抽样的方法确定答案 D解析 因为这24只白鼠要从4个饲养房中抽取，所以要先用分层抽样法决定各个饲养房应抽取的只数，再用简单随机抽样法从各个饲养房选出所需的白鼠．选项C 用了分层抽样法，但在每层中没有考虑到个体的差异，也就是说在各个饲养房中抽取样本时，没有说明是否具有随机性．8．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A.B. C. D.310673545答案 C解析 从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的方法有10种，其中喜羊羊和美羊羊恰好只有一只的有6种，由古典概型概率计算公式可得，所求概率为.359．现有1位女教师和2位男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出1道题进行说题，其中恰有1男1女抽到相同题目的概率为( )A. B. C. D.13231234答案 C解析 设2道题分别为A ，B ，所以抽取情况有AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB ，共8种，其中第1个，第2个字母分别表示2位男教师抽取的题目，第3个字母表示女教师抽取的题目，则满足恰有1男1女抽到相同题目的事件为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为.1210．执行下面的程序，则输出的s 的值是( )i ＝1WHILE i<6 i ＝i ＋2 s ＝2*i ＋1WEND PRINT s ENDA ．11B ．15C ．17D ．19答案 B解析 当i ＝3时，s ＝7，当i ＝5时，s ＝11，此时仍满足条件“i <6”，因此再循环一次，即i ＝7时，s ＝15，此时不满足“i <6”，所以s ＝15.11．为参加CCTV 举办的中国汉字听写大赛，某中学举行了一次大型选拔活动，随机统计了甲、乙两班各6名学生的汉字听写的成绩如图所示，设甲、乙两班数据平均数依次为1，2，x x 标准差依次为s 1，s 2，则( )A.1>2，s 1>s 2B.1>2，s 1<s 2x x x xC.1＝2，s 1>s 2D.1＝2，s 1<s 2x x x x 答案 C解析 1＝(3×8＋6＋2×5＋120×2＋130×3＋140)＝135，x 162＝×(2×9＋7＋8＋5＋2＋120×2＋130×3＋140)＝135，x 16s ＝×[(－7)2＋(－9)2＋02＋32＋32＋102]＝，21161243s ＝[(－8)2＋(－6)2＋32＋02＋42＋72]＝29，所以1＝2，s 1>s 2，故选C.216x x 12．一批热水器共98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为14的样本，那么抽得甲、乙两厂生产的热水器的台数分别是( )A ．9,5 B ．8,6 C ．10,4 D ．7,7答案 B解析 抽得甲厂生产的热水器的台数是×14＝8，抽得乙厂生产的热水器的台数是×14＝569842986.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若六进制数13m 502(6)化为十进制数为12 710，则m ＝________.答案 4解析 根据将k 进制数转化为十进制数的方法有13m 502(6)＝1×65＋3×64＋m ×63＋5×62＋0×61＋2＝12 710，解得m ＝4.14．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x ＝________.答案 21解析 中位数为＝22，所以x ＝21.x ＋23215．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.答案 495解析 取a 1＝815，则b 1＝851－158＝693≠815，则a 2＝693；由a 2＝693知b 2＝963－369＝594≠693，则a 3＝594；由a 3＝594知b 3＝954－459＝495≠594，则a 4＝495；由a 4＝495知b 4＝954－459＝495＝a 4，则输出b ＝495.16．如图所示，正方形ABCD 内接于圆O ，且AE ＝BE ＝CG ＝DG ，AH ＝CF ＝AD ，则往圆O14内投掷一点，该点落在四边形EFGH 内的概率为________．答案 1π解析 设AB ＝4a ，则圆O 的面积为8πa 2，四边形EFGH 的面积为16a 2－2××a ×2a －2×12×3a ×2a ＝8a 2，则所求概率为＝.128a 28πa 21π三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)将一枚骰子连续抛掷两次，观察向上的点数．(1)求点数之和是5的概率；(2)设a ，b 分别是将一枚骰子连续抛掷两次后得到的向上的点数，求等式2a －b ＝1成立的概率．解 该试验所有可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，基本事件总数为36.记事件A ＝{点数之和是5}，则事件A 所含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个，所以P (A )＝＝.43619(2)若等式2a －b ＝1成立，则a －b ＝0，即连续抛掷两次骰子所得的点数相等．记事件B ＝{向上的点数相等}，则事件B 所包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个，所以P (B )＝＝.6361618．(12分)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，求n .解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n 时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师36n n36人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，n 36n 6n 36n 3n 36n2所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n －1)时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为，因为必须34n －134n －1是整数，所以n 只能取18，即样本容量n ＝18.19．(12分)某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．解 (1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又因为第一个小矩形的面积为0.3，前两个小矩形的面积和为0.3＋0.4＝0.7>0.5，所以设第二个小矩形底边的一部分长为x ，则x ×0.04＝0.2，得x ＝5，所以中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．20．(12分)下表数据是水的温度x (℃)对黄酮延长性y (%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的.x /℃300400500600700800y /%405055606770(1)画出散点图；(2)指出x ，y 是否线性相关，若线性相关，求y 关于x 的回归方程；(3)估计水的温度是1 000 ℃时，黄酮延长性的情况．解 (1)散点图如下：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y 与x 线性相关．计算得＝550，＝x y 57，≈0.058 86，＝－≈57－0.058 86×550＝24.627.b ^a ^y b ^x 因此所求的回归方程为＝0.058 86x ＋24.627.y ^(3)将x ＝1 000代入回归方程得＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，即水的温度是1 000 ℃y ^时，黄酮延长性大约是83.487%.21．(2018·漳平模拟)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，)，(a ，b )，(，b )，(，)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b a a b )，(，b )，(a ，)，(，)，(a ，b )，(a ，)，(，b )，(a ，b )，其中a ，分别表示甲组研发b a b a b b a a 成功和失败；b ，分别表示乙组研发成功和失败．b (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数甲＝＝；x 101523方差为s ＝＝.2甲115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]29乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数乙＝＝；x 91535方差为s ＝＝.2乙115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]625因为甲>乙，s <s ，所以甲组的研发水平优于乙组．x x 2甲2乙(2)记恰有一组研发成功为事件E ，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，)，(，b )，(a ，)，(，b )，(a ，)，(a ，)，(，b )，共7个．因此事件E 发生的频率为.b a b a b b a 715用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝.71522．(12分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65,90]内)分组如下：第一组[65,70)，第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90]．得到频率分布直方图如图所示．(1)求测试成绩在[80,85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．解 (1)测试成绩在[80,85)内的频率为1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2.(2)第三组的人数为0.06×5×100＝30，第四组的人数为0.2×100＝20，第五组的人数为0.02×5×100＝10，所以第三组抽取3人，第四组抽取2人，第五组抽取1人．设第三组抽到的3人为A 1`，A 2，A 3，第四组抽到的2人为B 1，B 2，第五组抽到的1人为C .从6名学生中随机选取2名的可能情况有15种：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C )，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C )，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C )，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )．设“第四组2名学生中至少有1名学生被抽中”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C )，(B 2，C )，共9个．所以，第四组至少有1名学生被抽中的概率P (M )＝＝. 91535。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.3 含解析
第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。
人教A版高中数学选修2-1习题：1.2充分条件与必要条件(含答案)
1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。
人教A版高中数学选修1-1：单元质量评估(二) Word版含答案
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单元质量评估(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是( )A.k>3B.2<k<3C.k=2D.0<k<2【解析】选C. k>0,=,所以k=2.2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为( )A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.3.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系.【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·=,因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2.又e==,所以m=4.因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以椭圆方程为+=1.【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.【解析】选B.设双曲线方程为-=1,将y=x-1代入-=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得x1+x2=,则==-.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )A.1B.a2C.b2D. c2【解析】选D.由椭圆的几何性质得|PF1|∈,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2≥-c2+a2=b2,所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.6.(2016·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p= ( )A.1B.C.2D.3【解析】选 C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2.7.(2016·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是( )A. B.2C.6D.3【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于( )A.2或-1B.-1C.2D.1±【解析】选C.由消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=2-4k2×4=64(1+k)>0,解得k>-1,由x1+x2==4,解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2.【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x【解析】选A.由题意得解得所以a==,因此双曲线的方程为-y2=1,所以渐近线方程为y=±x.10.(2015·福建高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,又e∈(0,1),所以e∈.11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以两式相减得,=,即=,因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==,又因为k==,所以=,又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的标准方程为+=1.12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M,因为AF⊥AM,所以k AF·k AM=-1,即×=-1,所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,因为|MF|=5,所以5=,所以=9.所以-=3或-=-3,所以9p2-36p-64=0,①或9p2+36p-64=0,②由①得p=-(舍),p=.由②得p=,p=-,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则= .【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),所以m+n=1 ①m+n=1 ②又因为=-1,所以①-②得:m=n·,因为==,所以m=n,所以=.答案:14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为.【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立.即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故1-m≤0,所以m≥1.又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5.答案:m≥1且m≠5【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错.15.(2015·山东高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为x P=2a<c,所以-=1,化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a,所以e=2+.答案:2+【补偿训练】(2016·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,因为e=,0<e<1,所以≤e<1.16.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程.【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),因为点在抛物线上,所以6=2p×,所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又点在双曲线上,所以-=1,由解得a2=,b2=.所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得10-m=1+b,即m=9-b,①又因为点P在椭圆、双曲线上,所以y2=m,②y2=.③解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程.【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组消去y,整理得3x2-24x+36+λ=0.由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.由根与系数关系可得代入弦长公式中,|AB|=|x1-x2|=·=·=,于是=,解得λ=4(与λ<12符合).故所求的双曲线的标准方程为-y2=1.19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解析】(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:(1)椭圆的方程.(2)△PF1F2的面积.【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,所以·=-1,即·=-1,解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.解得a2=45或a2=5.又因为a>c,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以=|PF1|·|PF2|=20.【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA 与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.另一方面,由直线OA到l的距离d=,可得=,解得t=±1.因为-1∉,1∈,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.由e===.得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),代入方程+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以x1+x2=,x1x2=.又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).因为=m,=n,所以m=,n=,所以m+n=,又2x1x2-2(x1+x2)==-,4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=,所以m+n=10.22.(12分)(2016·北京高考)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率.(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. 因为c==,所以离心率e==.(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.所以M,N.所以|AN|=2+,|BM|=+1.所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|==××==.因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得S ===2.因此,四边形ABNM的面积为定值2.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学 模块综合检测2(含解析)新人教A版选择性必修第二册-新人教A版高二选择性必修第二册数学试题
模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。
新人教A版选修1-2高中数学第一、二章测试题及答案
数学选修1-2第一、二章测试题参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，回归直线方程：1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑,一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
） 1、下列两个量之间的关系是相关关系的为( )A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系B ．学生的成绩和体重C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D ．水的体积和重量2、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数2R 为0.98 B. 模型2的相关指数2R 为0.80 C. 模型3的相关指数2R 为0.50 D. 模型4的相关指数2R 为0.253. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y = 7.19 x +73.93. 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是(A) 身高一定是145.83 cm ； (B) 身高在145.83 cm 以上； (C) 身高在145.83 cm 以下； (D) 身高在145.83 cm 左右 4、下列说法正确的是（ ）Ａ．由归纳推理得到的结论一定正确 Ｂ．由类比推理得到的结论一定正确 Ｃ．由合情推理得到的结论一定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
5、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 ( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 6、下表为某班5位同学身高x (单位：cm)与体重y (单位kg)的数据,若两个量间的回归直线方程为1.16y x a =+,则a 的值为( ) A ．-121.04 B ．123.2 C ．21 D ．-45.127、用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈,1a b +=,1c d +=,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数8、设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x 为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．π1259、在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:610、设函数()y f x =定义在R 上，满足(2)4f =，且对任意12,x x R ∈，恒12()f x x +=12()()f x f x +，则满足()f x 的表达式为（ ）(A)2()log f x x = (B)()2x f x = (C)()2f x x = (D)1()2f x x =二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11、回归直线方程为0.57514.9y x =-，则100x =时，y 的估计值为12、黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖________________块.13、若()()()(,),f a b f a f b a b N +=⋅∈且(1)2f =，则=+++)2011()2012()3()4()1()2(f f f f f f 14、当n=1时，有（a-b ）（a+b ）=a 2-b2当n=2时，有（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3当n=3时，有（a-b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4-b 4当n *∈N 时，你能得到的结论是三、解答题（共6小题，共80分） 15、(本题满分12分)在数列{a n }中，1121,()2n n na a a n N a ++==∈+，试写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式。
高中数学选修1-2综合测试题及参考答案
高中数学选修1-2（人教A 版）综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ˆˆˆ 的关系（ ）A.在直线上B.在直线左上方C. 在直线右下方D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32 、i23 、i32 ，则D点对应的复数是（ ）A.i 32B.i 23C.i 32D.i 23 4.在复数集C内分解因式5422 x x 等于（ ）A.)31)(31(i x i xB.)322)(322(i x i xC.)1)(1(2i x i xD.)1)(1(2i x i x5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项6.用数学归纳法证明)5,(22n N n n n成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ）A.假设k n 时命题成立B.假设)(N k k n 时命题成立 C.假设)5( n k n 时命题成立 D.假设)5( n k n 时命题成立 7.2020)1()1(i i 的值为 （ ）A.0B.1024C.1024D.10241 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.29.已知复数z满足||z z ，则z的实部（ ）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
【金版新学案】高一数学人教A版必修二练习：模块质量评估试题(含答案解析)
模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1． (2015 景·德镇期末 ) 已知直线 x－ 3y－ 2＝ 0，则该直线的倾斜角为()A． 30°B． 60°C． 120 °D． 150 °分析：直线 x－ 3y－ 2＝ 0 的斜率 k＝33，故倾斜角为 30°，选 A.答案：A2． (2015 濮·阳综合高中月考 )过点 A(4， a)和 B(5，b) 的直线与 y＝ x＋m 平行，则 |AB|的值为()A． 6 B. 2C． 2D．不确立b－ a＝1，得 b－a＝ 1，分析：由 k AB＝5－ 4即 |AB|＝ 5－ 4 2＋ b－ a 2＝ 2.应选 B.答案：B3． (2015 ·芦岛期末葫)在空间直角坐标系中已知点P(0,0，3)和点 C(－ 1,2,0) ，则在 y 轴上到 P 和 C 的距离相等的点 M 坐标是 ()A． (0,1,0) B. 0，－1， 0 21C. 0，2， 0D． (0,2,0)分析：设 M(0，y,0)，则 |MP |＝ |MC|，因此 y232＝－12＋21＋2－y ，解得 y＝2，应选 C.答案：C4．若直线 (1＋ a)x＋ y＋1＝ 0 与圆 x2＋ y2－2x＝ 0 相切，则 a 的值为 ()A．1或－1B．2 或－2C． 1D．－ 1圆 x2＋ y2－2x＝ 0 的圆心 (1,0)，半径为1，依题意得|1＋ a＋ 0＋ 1|分析：＝ 1，即 |a＋ 2|1＋ a 2＋ 1＝a＋ 1 2＋ 1，平方整理得 a＝－ 1，应选 D.答案： D5． (2015 中·山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是 ()431A. 3πB.2π33C. 3πD. 6π分析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆锥的半径为 1 ，高为3，故所求体积为1×1× π× 12× 3＝3π，选 D.2 36答案：D6． (2015 ·川一中期末银)在空间给出下边四个命题(此中 m， n 为不一样的两条直线，α，β为不一样的两个平面)①m⊥ α，n∥ α? m⊥n ②m∥ n，n∥ α? m∥ α ③m∥ n， n⊥β，m∥ α? α⊥ β ④ m∩ n ＝A， m∥ α， m∥ β，n∥ α， n∥ β? α∥β此中正确的命题个数有()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个分析：②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，应选 C.答案：C7．直线 l 将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝0均分，且与直线 x＋2y＝ 0 垂直，则直线 l 的方程是 ()A． 2x－ y＝0B． 2x－ y－ 2＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝0D． x－ 2y＋ 3＝ 0分析：依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率 k＝ 2，因此 l 的方程为 y－ 2＝ 2(x－1)，即2x－ y＝ 0，应选 A.答案：A8． (2015 ·连六校联考大 )若点 A(－3，－ 4)， B(6,3)到直线 l ： ax ＋y ＋ 1＝ 0 的距离相等，则实数 a 的值为 ()71A. 9B ．－ 3C.7或1D ．－ 7或－ 19 39 3分析：|－3a － 4＋ 1||6a ＋ 3＋ 1|71 由2 ＝ 22 ，解得 a ＝－ 9或－ 3，应选 D.2＋ ＋1a 1 a答案：D9．点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PD ⊥平面 ABCD ，PD ＝AD ，则 PA 与 BD 所成角 的度数为()A ． 30°C ． 60°B ． 45°D ． 90°分析：利用正方体求解，以下图：PA 与 BD60°，故 PA 与所成的角，即为PA 与BD 所成角为 60°，选PQ 所成的角，由于△C.APQ 为等边三角形， 因此∠APQ ＝答案：C10．在四周体 A －BCD中，棱AB ，AC ，AD两两相互垂直，则极点A 在底面BCD上的投影H 为△ BCD的 ()A ．垂心B ．重心C ．外心D ．心里分析：由于 AB ⊥AC ， AB ⊥AD ， AC ∩ AD ＝A ，由于 AB ⊥平面 ACD ，因此 AB ⊥CD.由于 AH ⊥平面BCD ，因此 AH ⊥CD ， AB ∩ AH ＝A ，因此 CD ⊥平面 ABH ，因此 CD ⊥BH .同理可证 CH ⊥BD ，DH ⊥BC ，则 H 是△BCD 的垂心．应选 A.答案：A11．圆 x2＋ y2＋ 2x＋ 4y－ 3＝0 上到直线 x＋ y＋ 1＝0 的距离为2的点共有 ()A．1个B．2 个C．3 个D．4 个分析：圆 x2＋ y2＋ 2x＋4y－ 3＝ 0 的圆心坐标是 (－ 1，－ 2)，半径是22，圆心到直线x＋ y＋ 1＝ 0的距离为 2，∴过圆心平行于直线x＋ y＋ 1＝ 0 的直线与圆有两个交点，另一条与直线 x＋ y＋ 1＝ 0 的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有 3 个交点，应选 C.答案：C12． (2014 德·州高一期末 )将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD＝ a，则三棱锥 D －ABC 的体积为 ()23a3A. 12aB.122 3a3C. 4 aD. 6分析：取 AC 的中点 O，如图，则 BO＝DO＝22 a，又 BD ＝a，因此 BO ⊥DO ，又 DO ⊥AC，因此 DO ⊥平面 ACB，V D －＝1 △ABC3S ABC·DO＝1×1× a2×2a＝2a3.应选 A. 32212答案：A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．请把正确答案填在题中横线上 ) 13．以下列图所示， Rt△ A′B′ C′为水平搁置的△ ABC 的直观图，此中 A′C′⊥ B′ C′，B′ O′＝ O′ C′＝ 1，则△ ABC 的面积为 ________．分析：由直观图画法例则将△A′ B′ C′复原为△ABC，以下图，则有 BO＝ OC＝ 1， AO＝ 2△11× 2× 2 2＝2 2.2.故 S ABC＝BC·AO＝22答案：2214．已知 A(0,8)，B(－ 4,0)， C(m，－ 4) 三点共线，则实数m 的值是 ________．8－ 00＋ 4分析：k AB＝＝ 2，k BC＝0＋ 4－ 4－ m∵k AB＝ k BC，∴m＝－ 6.答案：－ 615．直线 y＝ 2x＋ 3 被圆 x2＋ y2－ 6x－ 8y＝ 0 所截得的弦长等于________．分析：先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为 (x－ 3)2＋ (y－4) 2＝ 25，故圆心为 (3,4)，半径 r ＝5.又直线方程为2x－ y＋ 3＝0，|2× 3－ 4＋ 3|5，因此圆心到直线的距离为d＝4＋1＝因此弦长为 2r 2－ d2＝ 2× 25－ 5＝ 220＝ 4 5.答案：4516．已知正四棱锥 O－ ABCD 的体积为32，底面边长为3，则以 O 为球心， OA 为半2径的球的表面积为________．分析：此题先求出正四棱锥的高h，而后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V 四棱锥O－ABCD＝1× 3×3h＝32，得 h＝32，32222AC 2186∴OA ＝ h ＋ 2 ＝4＋4＝ 6.∴S 球＝ 4πOA2＝ 24π.答案：24π三、解答题 (本大题共 6 小题，共 74 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分12 分 )(2015 河·源市高二 (上 )期中 )轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．分析：以下图，作出轴截面，由于△ABC 是正三角形，1因此 CD ＝2AC＝ 2，因此 AC＝ 4， AD＝23× 4＝ 23，由于 Rt△AOE∽Rt△ACD，OE CD因此AO＝AC.设 OE＝R，则 AO＝ 2 3－ R，R1R＝23因此＝2，因此 3 .2 3－R因此 V球4342 3 3323π＝πR ＝π·3＝27. 33323π因此球的体积等于.2718． (本小题满分12 分 )(2015 福·建八县一中联考)已知直线 l ： kx－ y＋ 1－ 2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线 l过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点A，交 y 轴正半轴于点 B， O 为坐标原点，且 |OA |＝ |OB|，求 k 的值．分析： (1)证明：法一：直线 l 的方程可化为y－ 1＝k( x－2)，故不论 k 取何值，直线l 总过定点 (2,1) ．法二：设直线过定点0，y0)，(x则kx0－y0＋1－2k＝0 对随意k∈R恒建立，即 (x0－ 2)k－ y0＋ 1＝ 0 恒建立，x0－ 2＝ 0，因此－y0＋ 1＝ 0解得 x0＝2， y0＝ 1，故直线 l 总过定点 (2,1)．(2)由于直线l 的方程为y＝ kx－ 2k＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为1－ 2k，在 x 轴上的截距为2－k，依题意 1－ 2k＝ 2－1＞ 0，解得 k＝－ 1 或 k＝1k2( 经查验，不合题意 )因此所求 k＝－ 1.19． (本小题满分 12分 )(2015 西·安一中期末 )已知正方体ABCD － A1B1C1D1， O 是底面ABCD 对角线的交点．求证： (1)C1O∥平面 AB1D 1；(2)A1C⊥平面 AB1D 1.证明：(1)连结 A1C1，设 A1C1∩ B1D1＝O1，连结 AO1，由于 ABCD －A1B1C1D1是正方体，因此 A1ACC1是平行四边形，D1 B1∩ AB1＝ B1，因此 A1C1∥AC，且 A1C1＝AC ，又 O1， O 分别是 A1C1， AC 的中点，因此 O1C1∥AO 且 O1C1＝ AO，因此 AOC1O1是平行四边形，因此 C1O∥AO1， AO1? 平面 AB1D 1，C1O?平面 AB1D 1，因此 C1O∥平面AB1D1，(2)由于 CC1⊥平面 A1B1C1D1，因此 CC 1⊥B1D 1，又由于 A1C1⊥B1D 1，因此 B1D 1⊥平面 A1C1C，即 A1C⊥B1D1，同理可证 A1C⊥AB1，又 D1B1∩ AB1＝B1，因此 A1C⊥平面 AB1D 1.20． (本小题满分12 分 )求圆心在直线y＝－ 2x 上，而且经过点A(0,1) ，与直线x＋ y＝1相切的圆的标准方程．分析：由于圆心在直线y＝－ 2x 上，设圆心坐标为( a，－ 2a)，则圆的方程为(x－ a)2＋(y＋ 2a)2＝ r2，圆经过点 A(0,1)且和直线x＋y＝ 1 相切，2＋ 2a＋122a＝r ，因此有|a－ 2a－ 1|＝ r ，212解得 a＝－3，r＝3，12222因此圆的方程为x＋3＋ y－3＝9.21．(本小题满分13 分 )以下图，在四棱锥V－ ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面 ABCD .(1)求证： AB⊥平面 VAD；(2)求平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的大小．分析：(1) 证明：∵底面 ABCD 是正方形，∴AB⊥ AD .∵平面 VAD⊥底面 ABCD ，平面 VAD∩底面 ABCD ＝ AD， AB⊥ AD， AB? 底面 ABCD ，∴AB⊥平面 VAD.(2)取 VD 的中点 E ，连结 AE ， BE.∵△ VAD 是正三角形，∴ AE ⊥ VD ， AE ＝ 3AD.2∵ AB ⊥平面 VAD ，VD ? 平面 VAD ，∴ AB ⊥ VD .又 AB ∩ AE ＝ A ，∴ VD ⊥平面 ABE.∵ BE? 底面 ABE ，∴ VD ⊥ BE.∴∠ ABE 就是平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的平面角．在 Rt △BAE 中， tan ∠ BEA ＝BA＝ AD＝2 3.AE332 AD∴平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的正切值为233.22.(本小题满分 132 2上的动点，点 D 是 P分)如图，设 P 是圆 x ＋ y ＝ 25 在 x 轴上的投影， M 为 PD 上一点，且 |MD |＝ 4|PD |.5(1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点 (3,0) 且斜率为 4的直线被 C 所截线段的长度．5分析： (1)设 M 的坐标为 (x ， y)， P 的坐标为 (x p ， y p )p ＝ xx由已知得， y p ＝5y4252∵P 在圆上，∴ x ＋ 4y＝ 25，即 C 的方程为 x 2 ＋ y 2＝ 1.25 164 4(2)过点 (3,0)且斜率为 5的直线方程为 y ＝ 5(x － 3)，设直线与 C 的交点为 A(x 1， y 1) ， B(x 2 ，y 2)4将直线方程 y ＝ 5(x －3) 代入 C 的方程，得 x 2＋ x － 3 2＝ 1 整理得 x 2－ 3x － 8＝ 025253－ 413＋ 41∴x 1＝，x 2＝22∴线段 AB 的长度为|AB|＝x1－ x22＋ y1－ y22162＝1＋25x1－ x24141＝25× 41＝5 .。
人教A版高中数学选修2-3 模块综合评价(一)(含答案解析)
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A ．－0.2B ．0.2C ．0.1D ．－0.1解析：由离散型随机变量分布列的性质，可得m ＋n ＋0.2＝1， 又m ＋2n ＝1.2，所以m ＝0.4，n ＝0.4， 所以m －n2＝0.2.答案：B2．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中的y ＝100，而C 中y ＝－300，故C 不符合题意．3．从A，B，C，D，E5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．24 B．48 C．72 D．120解析：A参加时参赛方案有C34A12A33＝48(种)，A不参加时参赛方案有A44＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.答案：C4．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c＝()A．4 B．5 C．6 D．7解析：列2×2列联表可知：当c＝5时，K2＝66×（10×30－5×21）215×51×31×35≈3.024>2.706，所以c＝5时，X与Y有关系的可信程度为90%，而其余的值c＝4，c＝6，c＝7皆不满足．5.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(x )8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.答案：B6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( )A ．2，0.2B ．1，4C ．0.5，1.4D ．1.6，3.4解析：由E (η)＝E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，只有A 满足．答案：A7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )A ．－16 B.23 C.2936D ．1解析：E (ξ)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，所以E (μ)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝23.8．若随机变量ξ～N (－2，4)，ξ在下列区间上取值的概率与ξ在区间(－4，－2]上取值的概率相等的是( )A ．(2，4]B ．(0，2]C ．[－2，0)D ．(－4，4]解析：此正态曲线关于直线x ＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．答案：C9．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.3132解析：函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， 所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4，因为随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎪⎫5，12， 所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.答案：D10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：) A．99%的可能性B．99.75%的可能性C．99.5%的可能性D．97.5%的可能性解析：由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c ＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.代入公式K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得K2＝72×（16×8－28×20）244×28×36×36≈8.42.由于K2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．答案：C11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝()A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)．法一 P (X ＝0)＝1－0.36＝0.64.P (X ＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32， P (X ＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.法二 X ～B (2，0.2)，E (X )＝np ＝2×0.2＝0.4. 答案：D12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析：当x >0时，f (f (x ))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，则展开式中常数项为C 36⎝⎛⎭⎪⎫1x 3(－x )3＝－20. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________．解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.314．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝________. 解析：由E (ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，所以D (ξ)＝36×13×23＝8.答案：815.欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，如图铜钱是直径为4 cm 的圆形，正中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴是直径为0.2 cm 的球)，记“油滴不出边界”为事件A ，“油滴整体正好落入孔中”为事件B .则P (B |A )________(不作近似值计算)．解析：因为铜钱的有效面积S ＝π·(2－0.1)2，能够滴入油的图形为边长为1－2×110＝45的正方形，面积为1625， 所以P (B |A )＝64361π.答案：64361π16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.376三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)展开式中x 的系数为19，求f (x )的展开式中x 2的系数的最小值．解：f (x )＝1＋C 1m x ＋C 2m x 2＋…＋C m m x m ＋1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C nnx n ，由题意知m ＋n ＝19，m ，n ∈N *， 所以x2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋19×174.因为m ，n ∈N *，所以当m ＝9或m ＝10时，上式有最小值． 所以当m ＝9，n ＝10或m ＝10，n ＝9时，x 2项的系数取得最小值，最小值为81.18．(本小题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．解：(1)X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48(i ＝0，1，2，3，4)，故X 的分布列为：(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800，3 500，则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370， E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280.所以新录用员工月工资的期望为2 280元．19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3， 又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为：所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又P (X ＝1)＝16，P (X＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为：所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1 x i ＝80，∑10i ＝1 y i ＝20，∑10i ＝1 x i y i ＝184，∑10i ＝1 x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ＝∑ni ＝1 x i y i －n x y∑n i ＝1 x 2i －nx 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值． 解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1 x i ＝8010＝8，y＝1n∑ni＝1y i＝2010＝2，又l xx＝∑ni＝1x2i－nx2＝720－10×82＝80，l xy＝∑ni＝1x i y i－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝l xyl xx＝2480＝0.3，a^＝y－b^x＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．⎝⎭⎪参考公式：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10(个)，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝(7个)，所以P ＝710. (2)2×2列联表如下：K 2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞5.024.因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关． 22．(本小题满分12分)在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．(1)求蜜蜂落入第二实验区的概率．(2)若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率．(3)记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望E (X )．解：(1)记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A ，“蜜蜂落入第二实验区”为事件B ，依题意得：P (A )＝V 小锥体V 圆锥体＝13·14·S 圆锥底面·12h 圆锥13·S 圆锥底面·h 圆锥＝18，所以P (B )＝1－P (A )＝78，所以蜜蜂落入第二实验区的概率为78.(2)记“蜜蜂被染上红色”为事件C ，则事件B ，C 为相互独立事件，又P (C )＝1040＝14，P (B )＝78.则P (BC )＝P (B )P (C )＝14×78＝732，所以恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为732.(3)因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫40，18，所以随机变量X 的数学期望E (X )＝40×18＝5.。
高中数学 模块综合评价(一)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1∈N *时，x －1＝0，不满足(x －1)2＞0，所以 B 为假命题． 答案：B2．“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－1时，易知函数f (x )有且只有一个零点，故充分性成立；当a ＝0时，函数f (x )也有且只有一个零点，故必要性不成立．答案：A3．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为()A.x 28＋y 22＝1B.x 210＋y 24＝1C.y 28＋x 22＝1 D.y 210＋x 24＝1 解析：由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确，故选C. 答案：C4．函数f (x )＝e xln x 在点(1，f (1))处的切线方程是() A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1) D ．y ＝x －e 解析：因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0， 所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)． 答案：C5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k .因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)． 将点P (1，2)的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D. 答案：D6．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C7．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＜f (1) C ．f (－1)＞f (1)D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以 f ′(1)＝－2.所以 f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x .f (1)＝－3，f (－1)＝5. 所以 f (－1)＞f (1)． 答案：C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为()A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .答案：A9．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是()A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴为x ＝－b2a<0，且函数图象开口向下，所以在区间(0，＋∞)上单调递减．答案：B10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A.10－23 B.5－13 C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝ 12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为c a ＝221＋5＝10－22. 答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)， 所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.答案：D12．已知抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( )A.23B.12C.13D.14解析：因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，所以椭圆的左焦点坐标为(－1，0)，所以c ＝1， 因为O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，所以12×2b 2a ×1＝32，所以b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．椭圆x 264＋y 248＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝10，则S △PF 1F 2＝________．解析：由已知：a 2＝64，b 2＝48，c 2＝16， 又因为P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝16. 因为|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝6.因为|F 1F 2|＝2c ＝8，所以△PF 1F 2为直角三角形， 且∠PF 2F 1＝90°，所以S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.答案：2414．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .当k <0时，f ′(x )<0在区间(0，4)上恒成立， 即f (x )在区间(0，4)上是减函数，故k <0满足题意．当k ≥0时，则由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′（4）≤0，解得0≤k ≤13.综上，k 的取值X 围是k ≤13.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 15．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos∠F 1PF 2＝________．解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－42×52×32＝35. 答案：3516．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件； ④“¬p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________(填序号)．解析：①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真，p 或q 为真p 且q 为真；②中p且q 为假p 或q 为真；③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真¬p 为假，¬p 为假⇒p 为真⇒p 或q 为真；④中p 且q 为假¬p 为真．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝1－a x2≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤(x 2)min ，所以a ≤1. 所以命题p 为真时：A ＝{a |a ≤1}．要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解，Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3.所以命题q 为真时：B ＝{a |a <－3或a >3}． 因为命题“p ∨q ”为真命题， 所以p 真或q 真或p 、q 都为真． 因为A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．所以所某某数a 的取值X 围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程l AB 为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k2，所以x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，所以y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1，0)，所以kCF 1＝－34，所以F 1C 与AB 不垂直，所以k ≠12.因为F 2(1，0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k AB ＝－1k ， 所以直线BF 2的方程lBF 2为y ＝4k1－4k2(x －1)， 直线CF 1的方程lCF 1为y ＝－1k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k 1－4k 2（x －1），y ＝－1k （x ＋1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k ，所以C (8k 2－1，－8k )．又点C 在椭圆上，则（8k 2－1）24＋（－8k ）23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，解得k 2＝124.因为k >0，所以k ＝612. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R)，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解：f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a3.现分两种情况讨论如下：(1)若a >a3，即a >0，则x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 时，f ′(x )>0；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0.(2)若a <a3，即a <0，则x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0.20．(本小题满分12分)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b .①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－a 2y 2b2，且d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2－a 2b 2y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b .如果b <12，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值，即有(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322， 解得b ＝7－32>12与b <12矛盾．如果b ≥12，则当y ＝－12时，d 2取得最大值，即有(7)2＝4b 2＋3.②由①②可得b ＝1，a ＝2. 所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由y ＝－12可得椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 21．(本小题满分12分)直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，所以y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， 所以y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2. 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2.③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， 所以x 1＋x 2＝2a 3－a 2.④把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32， 所以k AB ＝32，而k l ＝2，所以k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .22．(本小题满分12分)请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (单位：cm 2)最大，试求此时x 的值；(2)若厂商要求包装盒容积V (单位：cm 3)最大，试求此时x 的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1)S ＝4×2x ·60－2x 2＝240x －8x 2(0<x <30)，所以S ′＝240－16x .令S ′＝0，则x ＝15. 当0<x <15时，S ′>0，S 递增； 当15<x <30时，S ′<0，S 递减． 所以当x ＝15时，S 取最大值．所以，当x ＝15 cm 时，包装盒侧面积最大． (2)V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0<x <30)， 所以V ′＝62x (20－x )．令V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0；当20<x <30时，V ′<0. 所以，当x ＝20时，V 最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x ＝12.。
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》评估训练 新人教A版选修1-2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算双基达标 限时20分钟1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15iC ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C 3.－1＋3i 31＋i 6＋－2＋i 1＋2i的值是 ( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i解析 原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i 3＋－2＋i i－2＋i＝－1i＋i＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案 －35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 836．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i ＝i 2＋2＋3i i 2＋3i＝－1＋i.(2)法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i.法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高 限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1 解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1， 所以1x 2－x＝－1，故选B. 答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确． 答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝________.解析 令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i ＝22＝1.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i.答案 －i11．复数z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解 由z 2＋a z <0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝1＋i 2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．(创新拓展)复数z ＝1＋i 3a ＋b i 1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i 2·1＋i 1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
高中数学《2.2.1综合法和分析法》评估训练2 新人教A版选修1-2
第2课时 分析法及其应用双基达标 限时20分钟1．要证明3＋7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )．A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．归纳法 答案 B 2．已知f (x )＝a 2x ＋1－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )．A ．1B ．－1C ．0D ．±1解析 奇函数f (x )在x ＝0时有意义，则f (0)＝0， ∴f (0)＝a 20＋1－220＋1＝2a －22＝0，∴a ＝1，故选A. 答案 A3．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )．A.32 B ．23－2 C ．1＋ 3D ．2－ 3解析 由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2， 则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0， ∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2. 答案 B 4．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A 、B 的大小关系为________． 解析 A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝a ＋b 2－4ab2ab a ＋b ≥0.答案 A ≥B5．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．解析 数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行． 设l ：y ＝4x ＋b .将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2， 得4x 2－4x －b ＝0，令Δ＝0，得b ＝－1. ∴4x 2－4x ＋1＝0， ∴x ＝12y ＝1.答案 ⎝⎛⎭⎫12，16．设a ，b ＞0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.证明 法一 分析法 要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b ＞0，只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立， 即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立． 由此命题得证． 法二 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2＞0⇒a 2－2ab ＋b 2＞0⇒a 2－ab ＋b 2＞ab . 注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b ＞0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.综合提高 限时25分钟7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋ncb m ＋dn(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为 ( )．A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ ab ＋22abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p . 答案 B8．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 用分离参数法可得a ≥－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立． 答案 C9．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为________．①菱形 ②梯形 ③矩形 ④平行四边形 解析 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案 平行四边形10．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n， n ∈N *，则f (n )、g (n )、φ(n )的大小关系为________．解析 法一 f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n＜12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1＞12n∴f (n )＜φ(n )＜g (n )． 法二 特殊值法．取n ＝1，则f (1)＝2－1，g (1)＝1，φ(1)＝12答案 f (n )＜φ(n )＜g (n )11．已知a ＞0，b ＞0，用两种方法证明：a b＋ba≥a ＋b .证明 法一 (综合法)： 因为a ＞0，b ＞0， 所以a b＋ba－a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝a －b 2a ＋b ab≥0，所以a b＋ba≥a ＋b .法二 (分析法)： 要证a b＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ， 即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，a －b 与a －b 同号， 所以(a －b )(a －b )≥0成立， 所以a b＋ba≥a ＋b 成立．12．(创新拓展)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ，g (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)设0＜a ＜b ，求证0＜g (a )＋g (b )－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜ (b －a )ln 2.(1)解 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． 令f ′(x )＝11＋x－1＝0，得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )为单调递增函数；当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )为单调递减函数， 故当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝0. (2)证明 ∵g (x )＝x ln x ，∴g ′(x )＝ln x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 设F (x )＝g (a )＋g (x )－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2，则F ′(x )＝ln x －lna ＋x2.令F ′(x )＝0，得x ＝a . 当0＜x ＜a 时，F ′(x )＜0，F (x )为单调递减函数；当x ＞a 时，F ′(x )＞0，F (x )为单调递增函数，∴F (x )有最小值F (a )． ∵F (a )＝0，b ＞a ，∴F (b )＞0，即g (a )＋g (b )－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞0.设G (x )＝F (x )－(x －a )ln 2， 则G ′(x )＝ln x －lna ＋x2－ln 2＝ln x －ln(a ＋x )．当x ＞0时，G ′(x )＜0，G (x )为单调递减函数． ∵G (a )＝0，b ＞a ，∴G (b )＜0，即g (a )＋g (b )－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a )ln 2.综上可知，0＜g (a )＋g (b )－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a )ln 2.。
高中数学 模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ∈R ，则“a ＜2”是“a 2＜2a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [∵a 2＜2a ⇔a (a －2)＜0⇔0＜a ＜2． ∴“a ＜2”是“a 2＜2a ”的必要不充分条件．] 2．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1 B [命题p 为全称命题，所以p 为∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．故选B ．]3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54B ．52C ．32D ．54B [由题意，1－b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴b 2a 2＝14，而双曲线的离心率e 2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52．]4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A ． 2 B ． 3 C ．2D ．4C [|a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C ．] 5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有()A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对D [对于x 2a 2＋y 29＝1，有a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D ．]6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( ) A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．π4D [以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D ．]7．命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5C [∵∀x ∈[1,2]，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C ．]8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0．又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．] 9．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA →·DB →取最小值时，点D 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫43，43，43B ．⎝⎛⎭⎫83，43，83 C ．⎝⎛⎭⎫43，43，83D ．⎝⎛⎭⎫83，83，43C [点D 在直线OC 上运动，因而可设OD →＝(a ，a,2a )，则DA →＝(1－a,2－a,3－2a )，DB →＝(2－a,1－a,2－2a )，DA →·DB →＝(1－a )(2－a )＋(2－a )(1－a )＋(3－2a )(2－2a )＝6a 2－16a ＋10，所以a ＝43时DA →·DB →取最小值，此时OD →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83．] 10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )A ．－13B ．13C ．±13D ．±12C [由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C ．]11．若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A ．55B ．155C ．2155D ．1520B [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B ．]12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( ) A ． 3 B ．32 C ．33D ．34C [如图．设|AF |＝r 1，|BF |＝r 2，则|MN |＝r 1＋r 22．在△AFB 中，因为|AF |＝r 1，|BF |＝r 2且∠AFB ＝2π3，所以由余弦定理，得|AB |＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 2π3＝r 21＋r 22＋r 1r 2，所以|MN ||AB |＝r 1＋r 22r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×(r 1＋r 2)2r 21＋r 22＋r 1r 2＝12×1＋r 1r 2r 21＋r 22＋r 1r 2≤12×1＋r 1r 23r 1r 2＝33，当且仅当r 1＝r 2时取等号．故选C ．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →．其中正确的是________．(填序号)①②③[∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，②正确；由①②可得AP →是平面ABCD 的法向量，③正确；由③可得AP →⊥BD →，④错误．]14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．x 25－y 220＝1[由已知得ba ＝2，所以b ＝2a ．在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1．] 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为________．x 23＋y 2＝1[由e ＝c a＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2， 设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2．|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6．由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．]16．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．31717[如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝⎛⎭⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝⎛⎭⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．[解]∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，∴B A ．当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}．则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12．综上所述，实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12．18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．[解](1)由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，又双曲线过点(4，－10)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由双曲线的方程为x 2－y 2＝6，可得a ＝b ＝6，c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．由点M (3，m )，得MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，又点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，解得m 2＝3，所以MF 1→·MF 2→＝m 2－3＝0．19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．[解] (1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图①．①∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k ． 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ． 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ． 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1．(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，②∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1． 20．(本小题满分12分)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．[解](1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p2． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ．(2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2． ∴这个抛物线的方程为y 2＝4x ．21．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED ．(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．[解](1)证明：∵P A ＝AD ＝1，PD ＝2，∴P A 2＋AD 2＝PD 2， 即P A ⊥AD ．又P A ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，13．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)， 使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0．又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ．(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．[解](1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝⎛⎭⎫43，13， ∴169a 2＋19b2＝1， ∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55．。
高中数学选修1-2综合测试题(人教A版)
A .输出m ;交换m 和n 的值B .交换m 和n 的值；输出 mC .输出n ;交换m 和n 的值D .交换m 和n 的值；输出n7.按照图1――图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）个.A . 40B . 36C . 44D . 52&已知二次函数 f （x ） =ax bx c 的导数为f'（x ） , f '（0） 0，对于任意实数 x 都有、选择题:1 .下列命题正确的是（ ） A .虚数分正虚数和负虚数 B .实数集与复数集的交集为实数集 c .实数集与虚数集的交集是 {0}2 .下列各式中，最小值等于 2的是（ D .纯虚数集与虚数集的并集为复数 ） 2 x y x +5 尺 1 x x A .B. --------------- C . tan D . 2 2 y x x 2 4 tan 寸 1 3.已知三次函数 f (x ) = -x 3- (4m v 1)x 2+ (15m -2n v 7)x + 2 在 x € ( —a, )是增函数,3 则m 的取值范围是（ ） A . n <2 或 n >4 B . — 4<n < — 2 C . 2<n <4 D .以上皆不正确 4. 函数f x 的定义域为 a,b ，导函数「x 在a,b 内的图像如图所示, 则函数f x 在a, b 内有极小值点 A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5. 下面对相关系数r 描述正确的是（） A . r 0表明两个变量负相关 B . r 1表明两个变量正相关C . r 只能大于零D . | r |越接近于0,两个变量相关关系越弱 6.下面的程序框图的作用是输出两数中的较大者，则①②处分别为（ ）f(x) _0」 f ⑴的最小值为 f'（0） A . 3 B 5 C .2 D 3 2 2 9.下表为某班 5位同学身高x （单位: cm ）与体重 y （单位 kg ) 的数据， 若两个量间的回归直线方程为 y=1.16x ・a ，则a 的值为（ ） A . -121.04 B . 123.2 C . 21 D . -45.1216. 若x,厂 R 且满足x 3^2，则3x 27y 1的最小值是1 ]2 117. 若a 0，贝y a " . a ■： —2的最大值为 __________________a V a三、解答题： 10.用反证法证明命题：“ a,b,c,d R , a b =1, c d =1，且 ac bd 1，则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为（ A . a, b,c,d 中至少有一个正数 B . a, b, c, d 全为正数 C . a,b, c,d 全都大于等于 0 D . a,b,c,d 中至多有一个负数 二、填空题: 11.关于x 的4- i = 0的实数解为 12. 用支付宝在淘宝网购物有以下几步： ②淘宝网站收到买家的收货确认信息， 无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网挑选商品; 司发货给买家. 13. 将正整数 ①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝； 将支付宝里的货款付给卖家； ③买家收到货物，检验 ⑤卖家收到购买信息，通过物流公 他们正确的顺序依次为 _________ 1,2,3,……按照如图的规律排列，则100应在第列. 7 8 9 1015141314.已知函数 3f （x ） =x ax 在R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是15.若 a b 0，则 a 1b(a 「b) 的最小值是 ______________218.复数z = 1 -i a -3a 2 i ( a R),(1 )若Z=z，求|z|； (2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围.19.证明不等式：*一y (其中x, y皆为正数).y x320.设函数f(x)=x -6x 5,x R.(1 )求f (x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x) =a有3个不同实根，求实数a的取值范围.(3)已知当* (1「：)时，f(x) _k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围21.已知x =1是函数f (x) =mx3_3(m亠1)x2亠nx亠1的一个极值点，其中m, n三R, m：：：0(1)求m与n的关系式；(2)求f (x)的单调区间；(3)当x •［」,1］，函数y二f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。
2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2同步导练练习：选修1—2综合测试 Word版含解析
选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D ．∵f (x )＝x ＋3，∴f (0)＝3 答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C.答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形内的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 答案：C6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：由f (1)＝1, 排除C 、D ，再由f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12，排除A. 答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：第k个黑球之前的白球数为S k′＝1＋2＋3＋…＋k＝k(k＋1)2，故k(k＋1)2＋k≤120，且(k＋1)[(k＋1)＋1]2＋(k＋1)>120且k∈N*解得k＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)()图2A．3.143 B．3.142C．3.141 D．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎨⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143. 答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．2.5%D ．97.5% 答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )图3A ．8B ．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…， 由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m·a n＝a p·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来，便知k＝5.答案：514．若不全为0的实数k1，k2，…，k n满足向量k1a1＋k2a2＋…＋k n a n＝0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a1＝(1,0)，a2＝(1,1)，a3＝(2,2)线性相关的k1，k2，k3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下： 第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步； 第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎨⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA 、OB 、OC 、OD ，设O 到面ABC 、面ACD 、面ABD 、面BCD 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，A 到面BCD 的距离为h ，正四面体的一个面的面积为S ，则V A —BCD ＝13S △BCD ·h ＝13ShV O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ＝13S ·h 1＋13Sh 2＋13Sh 3＋13Sh 4 ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4)∵V A —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ∴13Sh ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4) ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝h (定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42)＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706.且P(K2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称，定义数列{a n}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，a n＋1＝f(a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：∑=+niiiaa11<8.解：(1)函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列∴1a n ＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1<8.。
高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：（1＋i ）3（1－i ）2等于()A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i解析：（1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）2＝－1－i. 答案：D2．如图所示的框图是结构图的是( ) A.P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B.Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件C.D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书 解析：选项C 为组织结构图，其余为流程图． 答案：C3．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2>0，那么这个演绎推理出错在()A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．没有出错 答案：A4．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解析：对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．答案：A5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为()A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：易知等式的左边是两项和，其中一项为序号n ，另一项为序号n －1的9倍，等式右边是10n －9.猜想第n 个等式应为9(n －1)＋n ＝10n －9. 答案：B6．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：因为（1－i ）2z＝1＋i ，所以z ＝（1－i ）21＋i ＝（1－i ）2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋i 2－2i ）（1－i ）1－i 2＝－2i （1－i ）2＝－1－i.答案：D7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A.a ＞0，b C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0， 当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0. 答案：B8．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a＝－⎝⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2解析：A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．D 利用基本不等式，推理正确．答案：D9．下面的等高条形图可以说明的问题是()A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图知，D 正确． 答案：D10．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数B ．a ，b ，c 都大于1C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾所以a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D11．已知直线l ，m ，平面α，β且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是() A ．1B ．2C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2＋y 2＝1<36，不满足条件；执行循环：n ＝2，x ＝12，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件；执行循环：n ＝3，x ＝32，y ＝6，x 2＋y 2＝94＋36>36，满足条件，结束循环，输出x ＝32，y ＝6，所以满足y ＝4x . 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·某某卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解析：a －i 2＋i ＝15(a －i)(2－i)＝2a －15－a ＋25i依题意a ＋25＝0，所以a ＝－2.答案：－214．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为______________________________________________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．(2017·卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； ②该小组人数的最小值为________．解析：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a ，b ，c ，则有2c ＞a ＞b ＞c ，且a ，b ，c ∈Z.①当c ＝4时，b 的最大值为6；②当c ＝3时，a 的值为5，b 的值为4，此时该小组人数的最小值为12.答案：①6②1216．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎨⎧3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22，解得⎩⎨⎧b ^＝1，a ^＝14. 所以回归直线方程是y ^＝x ＋14. 答案：y ^＝x ＋14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，某某数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S <2a .证明：因为S 2＝2ab ，所以要证S <2a ，只需证S <S 2b，即b <S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b <a ＋c 成立，所以S <2a 成立． 19．(本小题满分12分)观察以下各等式：tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°. 分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明． 解：表示一般规律的等式是：若A ＋B ＋C ＝π，则tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 证明：由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ，所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )． 而A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C .于是tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(π－C )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tanB tanC ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .故等式成立．20．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值；(2)当a ＞0且b a ＞14时，证明该方程没有实数根．解：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)证明：原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .因为a ＞0，所以b a ≤14，这与题设b a ＞14相矛盾，故原方程无实数根．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，联立得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 从而(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。
高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23， 只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)， 从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立． 由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。
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模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1，故选A.答案：A2．如图所示的框图是结构图的是( ) A.P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B.Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件C.D.入库→找书→阅览→借书→出库→还书 解析：选项C 为组织结构图，其余为流程图． 答案：C3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B4．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x是指数函数，所以函数y ＝2x经过定点(0，1)B ．猜想数列11×2， 12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2解析：选项B 为归纳推理，选项C 和选项D 为类比推理，选项A 为演绎推理． 答案：A5．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则有：(x ＋y )n ＝x n ＋y nD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )解析：A 中类比的结果应为log a (xy )＝log a x ＋log a y ，B 中如x ＝y ＝π2时不成立，C 中如x＝y ＝1时不成立，D 中对于任意实数结合律成立．答案：D6．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：因为（1－i ）2z＝1＋i ，所以z ＝（1－i ）21＋i ＝（1－i ）2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋i 2－2i ）（1－i ）1－i 2＝－2i （1－i ）2＝－1－i.答案：D7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A.a ＞0，b ＞C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0， 当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0. 答案：B8．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋b a＝－⎝⎛⎭⎪⎫－a b ＋－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2解析：A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．D 利用基本不等式，推理正确．答案：D9．若复数(x 2＋y 2－4)＋(x －y )i 是纯虚数，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．以原点为圆心，以2为半径的圆 B ．两个点，其坐标为(2，2)，(－2，－2)C ．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线D ．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2，2)，(－2，－2) 解析：因为复数(x 2＋y 2－4)＋(x －y )i 是纯虚数，所以x 2＋y 2－4＝0，且x ≠y ，由可解得x 2＋y 2＝4(x ≠y )，故点(x ，y )的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2，2)，(－2，－2)． 答案：D10．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾所以a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D11．某班主任对全班50名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表所示．则认为“喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握大约为( )分类 认为作业多认为作业不多总计 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总计26 2450C ．90%D ．97.5%解析：K 2的观测值为k ＝50（18×15－9×8）227×23×26×24≈5.059>5.024.又P (K 2≥5.024)＝0.025，所以认为 “喜欢玩电脑游戏与作业的多少有关系”的把握为97.5%. 答案：D12．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，得x ＝0，y ＝1，x 2＋y 2＝1<36，不满足条件；执行循环：n ＝2，x ＝12，y ＝2，x 2＋y 2＝14＋4<36，不满足条件；执行循环：n ＝3，x ＝32，y ＝6，x 2＋y 2＝94＋36>36，满足条件，结束循环，输出x ＝32，y ＝6，所以满足y ＝4x . 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝________． 解析：因为(1＋2i)( a ＋i)＝(a －2)＋(2a ＋1)i ，且a ∈R， 由题意得a －2＝2a ＋1，所以a ＝－3. 答案：－314．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为______________________________________________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为______，③为________．解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一种动物包括的种类，填上①③.答案：地龟 哺乳动物 长尾雀16．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎨⎧3b ^＋a ^＝17，8b ^＋a ^＝22，解得⎩⎨⎧b ^＝1，a ^＝14. 所以回归直线方程是y ^＝x ＋14. 答案：y ^＝x ＋14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)，所以复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2－(x ≥3)．18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S <2a .证明：因为S 2＝2ab ，所以要证S <2a ，只需证S <S 2b，即b <S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b <a ＋c 成立，所以S <2a 成立． 19．(本小题满分12分)观察以下各等式：tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°， tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°， tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°. 分析上述各式的共同特点，猜想出表示一般规律的等式，并加以证明． 解：表示一般规律的等式是：若A ＋B ＋C ＝π， 则tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .证明：由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ，所以tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )． 而A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C .于是tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(π－C )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tanC ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .故等式成立．20．(本小题满分12分)已知(2＋i)z －＝7＋i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i. 所以(2＋i)(a －b i)＝7＋i ， 所以(2a ＋b )＋(a －2b )i ＝7＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以z ＝3＋i.所以z －＝3－i ，所以z z ＝3＋i 3－i ＝（3＋i ）210＝45＋35i.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝1＋2，3a 1＋3d ＝9＋32，联立得d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 从而(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。