三角形的内角和与外角和练习题及解析
一、选择题
1. 如图中，三角形的个数为（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2. 在下面四根木棒中，选一根能与长为4cm，9cm的两根木棒首尾依次相接钉成一个三角形的是（）
A.4cm
B.5cm
C.9cm
D.13cm
3. 三角形的重心是（）
A.三角形三条角平分线的交点
B.三角形三条中线的交点
C.三角形三条边的垂直平分线的交点
D.三角形三条高的交点
4. 在△ABC中，如果∠A=∠B=4∠C，那么∠C的度数是（）
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
5. 如图，AE是△ABC的中线，已知EC=6，DE=2，则BD的长为（）
A.2
B.3
C.4
D.6
6. 三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
7. 用长度为2cm、3cm、4cm、6cm的小木棒依次首尾相连（连接处可活动，损耗长度不计），构成一个封闭图形ABCD，则在变动其形状时，两个顶点间的最大距离为（）
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
8. 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，
且S△ABC=8cm2，则S阴影等于（）
A.4cm2
B.2cm2
C.1cm2
D.6cm2
9. △ABC中，表示AB边上的高的图形是（）
A B C D
10. 如图，比较∠α、∠β、∠γ的大小得（）
A.∠γ>∠β>∠α
B.∠α=∠β
C.∠γ>∠α>∠β
D.∠β>∠α>∠γ
11. 在建筑工地我们经常可看见如图所示用木条EF固定长方形门框ABCD的情形，这种
做法根据是（）
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
12. 能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（）
A.角平分线
B.高线
C.中线
D.中垂线
13. 如果三角形的三边长分别为a、a?1、a+1，则a的取值范围是（）
A.a>0
B.a>2
C.a<2
D.0 14. 下列说法：①钝角三角形有两条高在三角形内部；②三角形的三条高都在三角形内部；③三角形的三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部；④锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部，其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15. 如图，长方形ABCD是由15个大小相等的正方形拼成的，每个正方形面积为1， E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，则四边形 EFGH的面积为（） A.8 B.9 C.10 D.11 二、填空题 16. 将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF 平分∠DCE交DE于点F．则∠DFC的度数为 ________． 17. △ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB， 交于O，CI为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CI于I点，记∠BAC=∠1， ∠BIC=∠2，则∠1:∠2=________（求比值）． 18. 根据如图两个图中已知角的度数，写出∠α的度数． ∠α=________，∠α=________． 19. 三角形的三个内角的比为1:3:5，那么这个三角形的最大内角的度数为________． 20. 若一个三角形的两边长分别为2，7，且第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为________． 21. 如图，在△________中，∠B＝44°，三角形的外角∠DAC与∠ACF的平分线交于 点E，则∠AEC＝________． 22. 在△ABC中，已知∠A=60°、∠1=30°、∠2=28°，那么∠BDC=________． 23. 三角形周长为12，且三边a，b，c有如下关系，c=b?1，b=a?1，则a=________， b=________，c=________． 24. 已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是________；若三角形的两边长为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是________． 25. 在△ABC中，AB=9，BC=2，AC是奇数，则AC=________． 26. 如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是∠ABC的高线，AE是 ∠BAC的平分线，则∠DAE=________． 27. 如图，直角ABC的周长为2008，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角 三角形的周长为________． 三、解答题 28. 如图，△ABC中，D是BC的中点，AE=2CE，△ADE的面积比△CDE多1cm2，求△ABC的面积． 29. 如图，已知在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，求BC的长． 30. 在△ABC中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度数． 31. 如图1，有一个五角星ABCDE，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？如图2、图3，如果点B向右移到AC上，或AC的另一侧时，上述结论仍然成立吗？请分别说明理由． 32. 如图1是一个五角星 （1）计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． （2）当BE向上移动，过点A时，如图2，五个角的和（即 ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的理由． 33. 已知：如图，AC和BD相交于点O，说明：AC+BD>AB+CD． 34. 设a，b，c是△ABC的三边．化简|a+b+c|+|a?b?c|+|c+a?b|． 35. 如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC>PB+PC． 36. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB>AC，求证：AB?AC>PB?PC． 37. 若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式x+2 2>?1?2x 3 的正整数解，试求第三边x的长． 38. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围． 参考答案与试题解析 2019年7月17日初中数学 一、选择题（本题共计 15 小题，每题 3 分，共计45分） 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】B 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】C 13.【答案】B 14.【答案】A 15.【答案】B 二、填空题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分） 16.【答案】105° 17.【答案】2:1 18.【答案】50°,27° 19.【答案】100° 20.【答案】16 21.【答案】ABC,B,DAC,ACF,E,AEC,68° 22.【答案】118° 23.【答案】5,4,3 24.【答案】等腰三角形,4或6 25.【答案】9 26.【答案】10° 27.【答案】2008 三、解答题 28.【答案】解：∵AE=2CE， ∴△ADE的面积是△CDE的面积的2倍， ∵△ADE的面积比△CDE多1cm2， ∴△CDE的面积是1cm2， △ADE的面积是：1×2=2(cm2)， ∴△ABC的面积是： (1+2)×2=6(cm2) 即△ABC的面积是6cm2． 29.【答案】解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE=2，AF=3，∴AB=2AF=2×3=6， AC=2AE=2×2=4， ∵△ABC的周长为15， ∴BC=15?6?4=5． 30.【答案】解：∵∠ADB=100°，∠C=80°， ∴∠DAC=20°， ∵∠BAD=∠DAC， ∴∠BAD=20°， ∴∠DBA=180°?100°?20°=60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA=30°， ∴∠BED=30°+20°=50°． 31.【答案】 解：(1)如图（一），∵∠1是△BDF的外角，∴∠B+∠D=∠1，同理∠A+∠C=∠2，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即，∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°； (2)如图（二）∵∠1是△ABD的外角，∴∠A+∠D=∠1，同理∠E+∠EBD=∠2，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠C=180°，即，∠EBD+∠D+∠A+∠C+∠E=180°； (3)如图（三），∵∠2是△ABN的外角，∴∠B+∠A=∠2，同理∠D+∠C=∠1，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即，∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°，故结论都成立． 32.【答案】 解：（1）AC与BE相交于点H，AD与BE相交于点G， 如图，∵∠AHG是△HCE的外角， ∴∠AHG=∠C+∠E， ∵∠AGH是△GBD的外角， ∴∠AGH=∠B+∠D， ∵∠A+∠AHG+∠AGH=180， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°； （2）不变，∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=180°． 理由：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D， ∴∠C+∠E+∠CAD+∠B+∠D=180°， 即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． 33.【答案】 证明：∵AO+BO>AB，DO+CO>CD， ∴AO+BO+DO+CO>AB+CD， 即AC+BD>AB+CD． 34.【答案】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a+b+c>0，a?b?c<0，c+a?b>0． ∴|a+b+c|+|a?b?c|+|c+a?b| =a+b+c?a+b+c+c+a?b =a+b+3c． 35.【答案】 证明：延长BP交AC于点D， 在△ABD中，PB+PD 在△PCD中，PC ①+②得PB+PD+PC 即PB+PC 即：AB+AC>PB+PC． 36.【答案】 证明：如图，在AB上截取AE，使AE=AC，连接PE， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△AEP和△ACP中， {AE=AC ∠BAD=∠CAD AP=AP ， ∴△AEP?△ACP(SAS)， ∴PE=PC， 在△PBE中，BE>PB?PE 即AB?AC>PB?PC． 37.【答案】 解：原不等式可化为3(x+2)>?2(1?2x)，解得x<8， ∵x是它的正整数解， ∴x可取1，2，3，5，6，7，再根据三角形第三边的取值范围，得6 38.【答案】 解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD． 在△ADC和△EDB中， {CD=BD ∠ADC=∠EDB AD=CD ， ∴△ADC?△EDB(SAS)， ∴AC=BE． ∵AB?AE ∴ 1.5 三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°. 1 A B C D B D E C A B D E C 三角形的内角和练习 例1. 在△ABC 中，已知∠A ＝21∠B ＝3 1∠C ，请你判断三角形的形状。 练习:1. 在△ABC 中，已知∠A ＝2∠B ＝3∠C ，请你判断三角形的形状。 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°， 例3. 一个零件的形状如图，按规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 应分别是 32° 和21°，检验工人量得∠BDC ＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的 有关知识说明零件不合格的理由。 例4. 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。 例5、如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°， ∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高， AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数。 B D C 2 4 3 1 A 2 【随堂检测】 1、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝ 。 2、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 三角形。 3、在△ABC 中， ∠A －∠B ＝36°，∠C ＝2∠B ，则∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ 。 4、如图，AD 平分∠BAC ，其中∠B ＝50°，∠ADC ＝80°，求∠BAC 、∠C 的度数。 5、如图，已知∠B ＝40°，∠C ＝59°，∠DEC ＝47°，求∠F 的度数。 6、已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 B D C B D C E 《三角形的内角和》教学设计与说明 【教学内容】：“三角形的内角和”。例一，“试一试”和“练一练”。 【教材简析】： 本课教学先通过介绍数学家帕斯卡并讲述帕斯卡和三角形内角和的故事，激发学生的好奇心，进而引发“三角形内角和是180o”的猜想，再通过组织操作活动验证猜想，得出结论。最后让学生利用三角形内角和的知识求三角形中未知角的度数，并通过量角的度数的操作，进一步证实结论的正确性。因此本课教学需要引导学生度量、计算和实验，在活动中感知三角形内的三个角的度数之和是定数为180度，并能运用它解决有关实际问题，激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼学生的动手操作能力，发展学生初步的逻辑推理能力和空间观念。 【设计理念】： “三角形的内角和等于180°”是三角形的一个重要性质，教材通过多种方法的操作实验如：亲自动手测量、折叠、拼凑等，让学生确信这一个性质的正确性，根据学生已有的经验和教材的内容特点，本着学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解过程”的教学理念，利用多媒体课件、采用小组合作探究式教学设计让学生经历猜想、验证、归纳总结等数学活动，体验知识的形成过程。在这节课中引入了帕斯卡和三角形内角和的故事为本节课注入了数学文化，数学思想，丰富了本节课的内容，这也是我这节课想要达到的教学目标. 【教学目标】： 1、知识与技能：让学生通过猜想——验证——归纳结论，发现“三角形的内角和是180o”。 2、过程与方法：让学生学会根据“三角形的内角和是180 o”这一知识求三角形中一个未知角的度数。 3、情感态度与价值观：激发学生主动参与、自主探索的意识，锻炼动手能力，发展空间观念，向学生传递数学文化，数学思想。 【教学重难点】：学生用撕拼法，折叠法自主探索三角形内角和是180o。 【教学准备】：多媒体，三角板，量角器、自制的三种三角形纸片等。 【教学过程】： 一、提出猜想： 多媒体出示帕斯卡的图片，介绍帕斯卡，并讲帕斯卡和三角形内角和的故事。 揭示课题：三角形内角和。 让学生大胆猜想三角形内角和是多少？ 【设计说明：通过帕斯卡和三角形内角和的故事引入课题，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。同时也可以培养学生大胆猜想的数学思想。】 二、验证猜想： 我们既然提出了猜想，那下面我们该去研究验证了这个猜想是否正确了。 你们想用什么方法去验证呢？ 下面我们就进行小组合作，用你们刚才想到的方法去研究，互相交流你们发现了什么？ 1、画、量： 在点子图上，分别画锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。画好后分别量出各个角的度数，再把三个角的度数相加。 老师注意巡视和指导。交流各自加得的结果，说说你的发现。 2、折、拼： 学生用自己事先剪好的图形，折一折。 指名介绍折的方法：比如折的是一个锐角三角形，可以先把它上面的一个角折下，顶点和下面的边重合，再分别把左边、右边的角往里折，三个角的顶点要重合。发现：三个角会正好在一直线上，说明它们合起来是一个平角，也就是180度。 继续用该方法折钝角三角形，得到同样的结果。 直角三角形的折法有不同吗？ 通过交流使学生明白：除了用刚才的方法之外，直角三角形还可以用更简便的方法折；可以直角不动，而把两个锐角折下，正好能拼成一个直角；两个直角的度数和也是180度。 3、撕、拼： 可能有个别学生对折的方法感到有困难。那么还可以用撕的方法。 在撕之前要分别在三个角上标好角1、角2和角3。然后撕下三个角，把三个角的一条边、顶点重合，也能清楚地看到三个角合起来就是一个平角——180度。 三．归纳总结 刚才我们小组通过研究得出了什么结论呢？ 学生齐说：三角形的内角和是180o。 同学们你们想知道12岁的帕斯卡是用什么方法去验证的呢？多媒体出示帕斯卡的论证方法，教师讲解。 如果你们感兴趣的话可以到网络上去搜索有关帕斯卡的信息，再详细的了解他的这个论证方法！ 你们觉得帕斯卡的这种方法怎么样？ 四年级下册数学“三角形内角和”练习题 姓名： 一、选择题 1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（ ） A.95°，20° B.45°，80° C.55°，60° 2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（ ）。 A.100° B. 40° C.55° 3、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（ ）度，底角（ ）度。 A. 36° B.72° C.45° D.90° 二、想一想，下列各组角能组成三角形吗？如果不能，请说明理由；如果能，请说明是什么三角形。 1、80°，95°，5° 2、60°，70°，90° 3、30°，40°，50° 4、50°，50°，80° 5、60°，60°，60° 三、某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。 为什么？ 四、将一个大三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的内角和分别是多少？ 五、如果一个三角形有两个直角，结果会怎样？那么一个三角形最多有几个直角？ 六、一个直角三角形，一个锐角是50°，另一个锐角是几度？ ③② ① 七、已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？ 八、想一想，算一算。 九、求图中∠１、∠２、∠３的度数。 十、判断并说明理由。 1、一块三角尺的内角和是180度，用两块完全一样的三角尺拼成一个三角形，这个三角形的内角和是360度。（） 2、三角形越大，它的内角和就越大。（） 3、一个三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是90°。（） 4、有一个三角形，两个内角分别是95°和91°。（） 5、三角形中最多只有一个直角或只有一个钝角。（） 6、钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（） 三角形内角和定理练习题 1.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是三角形. 2.如图，在△ABC中，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，它们相交于点I，已知∠A＝56°，则∠BIC＝. 3.如图，在△ABC中，∠B＝25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O，且∠E＝40°，则∠A ＝. 4.如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG，则∠BAC的度数为. 5.若等腰三角形一腰上的高和另一腰上的高的夹角为58°，则这个等腰三角形顶角的度数是. 6.如图，将三角形纸片ABC的一角折叠，折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°，∠CFB＝22°，则∠CEA ＝. 7.在一个三角形中，三个内角中至少有个锐角，最多有个直角或钝角. 8.如图，AB∥CD，若∠ABE＝135°，∠CDE＝110°，则∠DEF＝. 9.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF等于() °°°° 10.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，则∠E是() A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定 11.如图，已知在△ABC中，AD平分外角∠EAC，AD∥BC，则△ABC的形状是() A.等边三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 12.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D，设∠BAC＝∠α，则∠D等于() °-2∠α°-∠α°-∠α°-2∠α 13.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 14.如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°，则∠BDC的度数等于() °°° D.无法确定 15.如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于() 八年级数学上册 三角形内角和定理(第一课时) 一、教学内容分析 1．教学主要内容 《三角形内角和定理》共两个课时,它分为三角形内角和定理以及三角形外角.三角形内角和定理在小学阶段学生已经学习过,七年级又通过活动再次验证了这一结论,本节课的主要内容则要严格地证明这一结论,进行简单的问题解决,并为下一课时利用这一结论推导有关三角形外角的定理做好铺垫. 2．教材编写特点 三角形内角和定理学生已经探究过,教材先引导学生回顾原来的探究与验证过程,力图从探究与验证活动中获取证明的思路.三角形内角和定理的证明思路都是将角“凑”到一起,而在七年级验证过程中,学生已经有了将三个角“凑”到一起的经验.因此,这样的回顾是十分有必要的. 3．我的思考 本节课的内容是学生已经非常熟悉的,而本节课的重点是让学生在原有基础上,利用添加辅助线的方式对定理进行严格的证明,这就要求学生有严谨的思维、清晰的表达能力以及灵活的思维.而教师在课堂中要充分发挥自己的引导启发能力,让学生从不同的角度、用不同的方式去思考问题,体会“条条大路通罗马”,从而训练学生的数学思维. 二、学生分析 1．学生已有知识基础 学生在小学、七年级已经学习并探索过三角形内角和定理,本节课由回顾原来探索方式的基础上展开,是一个很自然的过渡,应该不会有很大障碍. 2．学生学习该内容可能的困难 (1)一些学生可能在如何添加有效辅助线上产生困难. (2) 一些学生可能在写证明过程时思路不太清晰. (3) 一些学生可能在应用过程中产生困难,找不到问题之间的联系. 3．我的思考： 在教学过程中,对学生的引导要到位、有效,教学生如何进行严谨证明,规范书写格式,对学生出现的问题、困难及时发现、解决,所学知识及时强化. 三、学习目标 1.知识与技能: （1）理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程； （2）能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明； 1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2 、 L 3、L 4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何 者正确（） A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360° 4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B 的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（） A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10° 9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60° 10、如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（） A、50° B、40° C、70° D、35° 11、如图，将等边三角形ABC剪去一个角后，则∠1+∠2的大小为（） A、120° B、180° C、200° D、240° 12、在三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（） A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 13、如图在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（） A、100 B、110 C、115 D、120 14、以下说法中，正确的个数有（） 《三角形的内角和》典型例题 例1 三角形一个角是第二个角的 2 3倍，第三个角比这两个角的和大30°，求这个三角形的三个角． 例2 根据条件，判断ABC ?的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形） （1）?=∠?=∠89,76B A （2）C B A ∠=∠+∠ （3）C B A ∠=∠?=∠2,30 例3 在ABC ?中，5:4:3::=∠∠∠C B A ，求ABC ?各内角的度数． 参考答案 例1 分析：如果设第二个角是?x ，则有第一个角是?)2 3(x ，第三个角是?++)302 3(x x ，由三角形内角和等于180°可以列出方程，从而求出各个角． 解：设第二个角是?x ，则第一个角是?)2 3(x ，第三个角是?++)3023(x x ，根据三角形三个内角和是180°，得?=++++180)302 3(23x x x x 解这个方程，得30=x 所以105302 3,4523=++=x x x ． 答：这个三角形第一个角是45°，第二个角是30°，第三个角是105°． 说明：一般在三角形求内角问题时，我们首先应考虑应用三角形三个内角间的关系． 例2 分析：三角形中如果有一个内角是钝角（或直角）那么这个三角形一定是钝角三角形（或直角三角形），但是如果有一个内角是锐角，那么它未必是锐角三角形，因为锐角三角形必须是三个内角均为锐角．可以根据三角形内角和定理确定各内角的度数，进而确定三角形的形状． 解：（1）?=?-?-?=∠158976180C ， ∴ABC ?是锐角三角形． （2）∵在ABC ?中，?=∠+∠+∠180C B A 又C B A ∠=∠+∠ ，∴?=∠1802C ，?=∠90C ∴ABC ?是直角三角形． （3）?=?-?=∠+∠15030180C B ，又C B ∠=∠2 ，∴?=∠1503C ，∴?=∠50C ，∴?=?-?=∠10050150B ∴ABC ?是钝角三角形． 例3 分析：告诉各内角之间的比例关系，求各内角，可以根据比例关系设未知量，比如本题可以设三个内角分别为3x ，4x ，5x ，这样只要求出x 的值，就可以得知三个内角的度数．要求x 的值可以根据三角形内角和定理列方程． 解：设x A 3=∠，则x C x B 5,4=∠=∠ ∴?=++180543x x x （三角形内角和定理） ∴?=15x ，∴?=∠?=∠?=∠75,60,45C B A 七年级数学下册第九章《三角形》素材： 三角形的内角和问题 利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明『三角形三内角之和为180o定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下： 第一卷命题32 在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。 设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB，ABC的和且三角形的三个内角 ABC.BCA.CAB的和等于二直角。 事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞ 这样，由于AB平行于CD，且AC和它们同时相交，其错角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞ 又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD 与角ABC相等。﹝I. 29﹞ 但是已经证明了角ACE也等于角BAC； 故整体角ACD等于两内对角BAC.ABC的和。 给以上各角加上ACB。 于是角ACD.ACB的和等于三个角ABC.BCA.CAB的和。 但角ACD.ACB的和等于二直角。﹝I. 13﹞ 所以，角ABC.BCA.CAB的和也等于二直角。 证完 ﹝取材自蓝纪正，朱恩宽﹝1992﹞。《欧几里得?几何原本》，页27。台北：九章出版社﹞ 但若不用这条公理，又何以证明呢？ 法国著名数学家勒让德﹝1752─1833﹞为此作出研究，并于1794年出版了被世界各国广泛采用为初等几何教材的《几何原理》。书中他重新排列欧几里得的几何命题，把定理与一般命题分列，简化证明之余，仍保持逻辑上的严密性。书中亦提及『三角形三内角和不大于180°』这著名的命题，其证明步骤如下：于直线上取 AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC≌△CB1C1≌...≌△ Cn-2Bn-1Cn-1，连BB1，B1B2，...，Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1≌△B1C1B2≌... ≌△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB≌△BCB1﹝此时认为B0，B，B1，...，Bn-1在一条直线上并无根据的﹞。 若△ABC的三内角和大于180°，必使角α大于角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，并一切自然数n都合符上式，这与阿基米德公理﹝对于任意二个正实数a与b，必存在正整数n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三内角和不大于180°。 三角形的角和练习 【例题分析】 例1. 在△ABC 中，已知∠A ＝ 21∠B ＝3 1 ∠C ，请你判断三角形的形状。 分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度数，按角来确定形状，由于在该题中∠C 是最大的角，因此只需求出∠C 的度数即可判断三角形的形状。 例2. 如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数。 例3. 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。 例4. 已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于O ，求∠BOC 的度数。 〖拓展与延伸〗 （1）已知△AB 中C ，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 B C D B D C 2 4 3 1 A B C A B C A （2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 （3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系。 由前面的探索同学们可以发现三角形三个角 （或外角）的平分线所夹的角与第三个角之间存在着一定的数量关系。 例5. 已知多边形的每一个角都等于135°，求这个多边形的边数。 例6. 一个零件的形状如图，按规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC ＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。 分析：验证的关键是求出∠A 的度数，即把∠A 用已知的角∠B 、∠C 、∠BDC 联系起来，利用三角形关于角的性质就可以发现它们之间的关系 E B C E A B D E C 三角形内角和练习姓名________学号_____ 一．填空题 1.等腰三角形的一个内角是94°，那么它的另外两个内角是（）和（）。 2.三角形的两个内角之和是85°，第三个角是（）°，这个三角形是（）三角形。 3.一个直角三角形的一个锐角是45°，另一个内角是（），按边分这是（）三角形。 4.三角形最多（）个直角，最多（）个钝角，最少（）个锐角。 5.已知等腰三角形的一个内角是80°，另外两个内角分别是（）、（）或（）、（）。 6.一个三角形有两个角都是45°，它按角分是（），按边分是（）。 二、选择题 1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（） A.95°，20° B.45°，80° C.55°，60° 2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）。 A.100° B. 40° C.55° 3、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（）度，底角（）度。 A. 36° B.72° C.45° D.90° 4、一个三角形的最小的一个角大于45°，这个三角形一定是（）。 A.锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 5、下面说法错误的是（）。 A.一个三角形中最多有一个钝角。 B.一个三角形中最多有两个锐角。 C.两个完全一样的直角三角形能拼成一个大三角形，拼成的大三角形内角和是360度。 D.钝角三角形的两个锐角和一定小于90°。 二、下列各组角能组成三角形吗？如果能，请说明是什么三角形；如果不能，请说明理由。 1、80°，95°，5° 2、60°，70°，90° 3、30°，40°，50° 4、50°，50°，80° 5、60°，60°，60° 三、解决问题 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块 形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。为什么？ 2.已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？ 3.小刚要切一块下面这样形状的玻璃，求∠1和∠2的度数。 ③ ② ① 11.2.1三角形的内角和 基础知识 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 答案：C 2.(20** 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点、分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，与重合，若A o ∠=75，则∠1+∠2=（ ） （A ）150o （B ）210o （C ）105o （D ） 答案：A 3. (20** 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372 ∶∶，则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D 4. (20** 云南省昆明市) 如图，在ABC △中， 6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）． （A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55° 答案：A 5. (20** 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（） （A）45o（B）60o（C）75o（D）90o 答案：C 6. (20** 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A．225? B．235? C．270? D．与虚线的位置有关 答案：C 7. (20** 广西来宾市) 如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是（） A．40°B．60°C．120°D．140° 答案：D 8. (20** 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）（A）75°（B）90°（C）105°（D）120° 答案：C 9.如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度． A．180 B．270 C．360 D．540 1 2 《三角形的内角和》教案 设计思路：教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力、感受数学思想的过程。因此，本次课遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。让学生体验数学学习的快乐。学生分析： 四年级的学生已经掌握了锐角、直角、钝角、平角的概念；知道直角或平角的度数、会用量角器度量角的度数。认识了三角形，知道了三角形根据角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。并且知道了等腰三角形和等边三角形。在量角时，已经对三角形内角和是180°进行了渗透。不少学生都已经知道了结论，但是很可能都知其然不知其所以然。教材分析： 三角形的内角和是三角形的一个重要特征。从教材的安排来看，是在学习了三角形的特性及分类之后，同时三角形的内角和又是学生以后学习多边形的内角和及解决实际问题的基础。在呈现教学内容时，我们要重视知识的形成过程，给学生提供动手操作的学具，留给学生充分进行自主探索和交流的空间，让学生通过量和拼的活动，在探索、实验、发现、讨论交流中，推理归纳出三角形的内角和是180°。 教学目标： 1.让同学亲自动手，通过量和拼的活动发现、证实三角形内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。 2.让同学在动手获取知识的过程中，培养同学的创新意识、探索精神和实践能力。并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向同学渗透“转化”数学思想。 3.使同学体验胜利的喜悦，激发同学主动学习数学的兴趣。 教学准备：多媒体课件、三角形、量角尺等 教学过程 一、激趣引入 （一）认识三角形内角 师：老师今天带了几个三角形来，请看屏幕，如果把它按照角来分类的话，有哪几种三角形？生1：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 师：无论是哪种三角形都有几个角？ 生：三个角。 师：我们把它的三个角叫做三角形的内角。 师：请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)。 师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角和的弧线），我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。（这里，有必要向同学直观介绍“内角”。） 师：今天我们就一起来研究三角形的内角和三个内角的和（板书：三角形的内角和）（二）研究一般三角形内角和 1.猜一猜。 师：猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？同桌互相说说自身的看法。 生1：180°。 7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程 三角形角和解答题专项练习60题（有答案） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADC的度数？ 2．如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数． 3．如图，已知∠CBE=96°，∠A=27°，∠C=30°，试求∠ADE的度数． 4．如图，△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，求证：∠D=90°+∠A． 5．如图，在△ABC中，∠A=3x°，∠ABC=4x°，∠ACB=5x°，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数． 6．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠ABC=40°，∠BAC=80°．求： （1）∠C的度数； （2）如果AD是△ABC的BC边上的角平分线，求∠ADC的度数． 7．如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=60°．求∠A的度数． 8．如图，∠A=50°∠ABC=60°． （1）若BD为∠ABC平分线，求∠BDC． （2）若CE为∠ACB平分线且交BD于E，求∠BEC． 9．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于O点． （1）若∠A=60°，求∠BOC的度数．（只需写出结果） （2）若∠A=α，求∠BOC的度数． 10．如图，已知∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠F， （1）试判断EC与DF是否平行，并说明理由； （2）若∠ACF=110°，求∠A的度数． 11．在三角形中，每两条边所组成的角叫三角形的角，如图1，在三角形ABC中，∠B，∠BAC和∠C是它的三个角．其实，在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法去证明“三角形的角的和等于180°”．请在以下给出的证明过程中填空或填写理由． 证明：如图2，延长BA，过点A作AE∥BC． ∵AE∥BC（已作） ∴∠1=∠（_________ ），（_________ ） 规律方法指导 1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件； 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角. 3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据． 外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系. 4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一：三角形内角和定理的应用 1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．120° 举一反三： 【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二：利用三角形外角性质证明角不等 2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。求证：∠BAC ＞∠B。 举一反三： 【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三： 【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四：与角平分线相关的综合问题 4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________； （2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________； （3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________； （4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________； 《三角形的内角和》案例分析 德清县乾元镇清溪小学沈琦琦 【案例】 教学目标： 1.知识与技能：通过小组合作，运用直观操作的方法，探究并发现三角形内 角和等于180度。能应用三角形内角和的性质解决一些简单问题。 2.过程与方法：经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用“量 一量”“拼一拼”“折一折”“推算”进行验证的数学思想方法。 3.情感态度价值观：使孩子们在数学活动中获得成功的体验，增强自信心。 培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，在学生亲自动手实践和归纳中，感受理性的美。 教学重点：让学生探究发现并验证三角形内角和等于180度。 教学难点：帮助学生建立空间观念。 教学准备：教学课件、不同类型的三角形纸片、正方形和长方形纸片 , 教学过程： 一、创设情境 1.认识内角，引出课题 （把三种三角形贴在黑板上）你们认识它们吗一起来叫叫他们的名字。 它们有哪些共同特征呢（它们都有三条边和三个角） 这三个角称为三角形的内角，我们为了更好的区分这三个内角，可以为每个内角标上序号。（给角标上序号）那你们知道什么是三角形的内角和吗也就是三角形三个内角的度数总和，对吗今天我们就来研究三角形的内角和（板书课题） 2.情境引入 猜想： 你们认为三角形的内角和会是多少度呢你是怎么知道的啊 师：同学们认为三角形的内角和是180度（板书：三角形的内角和是180度) ~ 那三角形的内角和真的是180度吗（在“180度”后面打上“”）想不想自己来验证一下呢 二、小组合作探究三角形的内角和 验证： 老师给大家准备了一些材料（展示材料时教师逐一举一举），请大家选择其中的一些材料想方法来验证。比一比哪个小组同学想到的方法又多又好。 1.学生操作教师巡视 预设： 生1：量出三角形的三个内角和度数，加起来是否是180度。 生2：把三角形的三个内角剪下来拼一拼是否能拼成一个平角。 生3：折一折 生4：用长方形或正方形的内角和度数推算出三角形的内角度数。 ` …… 2．学生汇报 （1）量一量，算一算 师：哪个小组先来汇报一下，你用了什么方法（板书：量一量）那你量的是什么三角形另两种三角形你量了吗（请学生自己汇报自己的测量结果）看了这些测量的结果，你有什么发现（三角形的内角和有些是180度，有些不是） 师：你们发现三角形的内角和有些等于180度，有些接近180度，所以认为通过测量我们只能说三角形的内角和大约是180度，是吗（板书：大约，并把问号改成句号） 师反问：为什么会出现这样的情况 师：你们的意思是在量的过程中会产生误差。所以得到的三角形的内角和只能大约是180度。 师：那除了量一量的方法，还有用其他的方法来验证的吗 （2）剪一剪，拼一拼 ， 生：我们组是用剪拼的方法（板书:剪一剪） 师：你们验证的是什么三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）师：请上来给大家展示下好吗 生：先把三个内角剪下来，然后拼起来了就是一个平角了，就是180度了。 9.1.2三角形的内角和及外角的性质 丁河三中张玲 一、学习目标： 1、理解三角形内角和定理并会证明 2、理解并掌握三角形的外角的性质 3．会利用三角形内角和与外角性质进行有关计 算过程与方法： 培养学生探索、分析、解决问题的能力. 。 情感态度 通过探索三角形内角和与外角性质，提高学生逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度。 二、教学重点： 掌握三角形外角的性质 三、教学难点： 在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。 四、教学方法 三疑三探教学法 五、教学过程： （一）导入新课 同学们，在前面的学习中，我们已经初步认识了三角形的相关知识，知道三角形 的分类、内角、外角及三线（提问回答） 那么三角形的外角和又是多少呢，与内角之间有什么关系呢这就是我们今天要学习 的内容《三角形的内角和及外角的性质》，看到这个课题，你认为本节课我们要掌握 哪些知识呢？ ( 二) 、讲授新课： 同学们提的问题都很有价值，也是本节的重点，请大家按照自探提示自学课本有 关内容就能得到答案。 自探提示： 请同学们思考我们今天的自探提示一： 1、猜想 三角形内角和多少度？尝试用说理的方法给予证明。 2、证明 已知△ ABC，分别用∠ 1、∠ 2、∠3 表示△ ABC的三个内角，证明∠ 1+∠2+∠3=180 结论：三角形内角和等于 180 度 自探提示二： 1、看一看：一个外角与它相邻的内角有什么关系？ 提示：位置关系、数量关系 2 、拼一拼：在一张白纸上任意画一个三角形ABC，把∠ A、∠ B 剪下拼在一起， 放到∠ ACD上，你发现了什么？ 3、想一想：∠ A+∠B+∠1＝ 180°，∠ ACD+∠ 1=180°，你能由这两个等式推出刚才的结论吗？ 4、你能用平行线的知识得到同样的结论吗？ 解疑合探 我的学案 学员姓名：年级：四年级学校：南联课程名称：四年级数学春季班第13-14 课时教材版本：北师大版 课题名称：“三角形的内角和”复习教师姓名： 授课时间：2012 年 3 月10 日主管签名： 教学目标1、经历测量、撕拼、折叠的过程，探索并发现三角形的内角和等于180°，渗透归纳思想。 2、应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题，并培养应用意识， 重点难点重点：三角形的内角和等于180°。 难点：撕拼、折叠时三个内角顶点重合。 学员 上课 情况 反馈 家长 意见 家长签名： 归纳重点知识 1、三角形内角的认识。 每个三角形都有三个内角。 2、三角形的内角和等于180°。 三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，三角形的内角和永远都是180°。 误区警示： 误区：把一个三角形缩小到原来的21，它的内角和也缩小到原来的21 。 错解分析：此题错在没有完全理解三角形内角和的特点。 正确解答：把一个三角形缩小到原来的21 ，它的内角和不变。 温馨提示： 三角形的内角和不会随着三角形的大小发生变化，三角形的内角和永远都是180°。 练一练 一、填空题 1、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝ ． 2、在一个直角三角形中，已知一个锐角是30°，另一个锐角是（ ）。 3、等边三角形的一个内角是（ ）。 4、等腰直角三角形的一个锐角是（ ）。 5、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（ ）。 6、在一个三角形ABC 中，∠A ＝∠B ＝45°，则△ABC 是（ ）三角形。 7、△ABC 中，若∠A ＝350,∠B ＝650,则∠C ＝（ ）；若∠A ＝1200,∠B ＝2∠C ，则∠C ＝（ ）。 8、三角形三个内角中, 最多有（ ）个直角,最多有（ ）个钝角,最多有（ ）个锐角,至少有（ ）个锐角。 9、三角形按角的不同分类，可分为（ ）三角形，（ ）三角形和（ ）三角形。 10、∠2+55°的和是一个平角，∠2=（ ）。 一、填空题。 1. 三角形按角分类分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。 2. 锐角三角形的三个角都是（）角；直角三角形中必定有一个是（）角；钝角三角形中也必定有一个角是（）角。 3. 在三角形中，已知∠1＝55°，∠2＝48°，∠3＝（）。 4. 等腰三角的顶角是60°，它的一个底角是（），它又叫（）三角形。如果底角是70°，顶角是（）；如果底角是45°，它的顶角是（），它又叫（）三角形。 5. 任何一个三角形都具有（）特性，都有（）条高。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 等边三角形一定是锐角三角形。（） 2. 等腰三角形一定是锐角三角形。（） 3. 钝角三角形只有一条高。（） 4. 三角形的三个内角的和的大小与三角形的大小无关，都是180°。（） 5. 任何一个三角形至少有两个锐角。（） 三、根据要求做题。 1. 画出下面每个三角形指定底边上的高。 2. 根据条件画三角形。 ①两条边分别是2厘米和5厘米，它们的夹角是60°。 ②两条边都是3厘米，它们的夹角是90°。 四、∠1、∠2、∠3分别是三角形中的三个内角。 ①∠1＝140°，∠2＝25°，求∠3。 ②∠2＝65°，∠3＝73°，求∠1。 ③∠1＝72°，∠2＝90°，求∠3。 拓展创新 一、求出下面各三角形中未知角的度数。 二、按要求完成下列各题。 ①如下图三角形ABC的周长是86厘米，∠B＝∠C，BC＝16厘米，求AB的长是多少厘米。 ②根据下图求出∠2和∠3各是多少度。（∠1＝60°，∠4＝125°） ③算出下图中∠1、∠2、∠3的度数，并求这三个角的度数和。 一、 填空（每空2分） 1、一个三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是（ ）三角形；一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是（ ）三角形。 2、一个三角形两个内角的度数分别为35°，67°，另一个内角的度数是（ ）°，这是一个（ ）三角形。 3、等腰三角形的底角是75°，顶角是（ ），等边三角形的每个内角都是（ ）。 4、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是（ ）。 5、一个等腰三角形的一条腰长5厘米，底边长4厘米，围成这个等腰至少需要（ ）厘米长的绳子。 6、下面的图形是三个大小不同的等边三角形组成的。 AB 长( )厘米;从A 点经C 点到B 点的长度是( )厘米;从A 点经D 点,经F C A B 60 30 F D E(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解
三角形的内角和习题课
三角形的内角和(陈琴)
(苏教版)四年级下册数学“三角形内角和”练习题
三角形内角和定理练习题
三角形的内角和
三角形的内角和与外角的性质祥解
七年级数学下册《三角形的内角和》典型例题(含答案)
七年级数学下册第九章《三角形》9.2三角形的内角和外角三角形的内角和问题素材(新版)冀教版
三角形内角和练习题
三角形内角和练习题
初中数学专题 三角形的内角和 练习含答案#精选.
四年级下册数学教案-4.1.3 三角形的内角和｜冀教版 (1)
三角形的内角和教案
三角形内角和解答题专项练习60题(有答案)
三角形内角和外角练习题
三角形的内角和案例分析
三角形内角和与外角性质..doc
(完整版)三角形内角和知识点和习题
三角形内角和练习题、