精品课件-数学建模简明教程-第3章
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16
图 3-2
17
血管结构如图3-2所示.设血液从粗血管A点经过一次分支 向细血管中的B和B′点供血.C是血管的分岔点，B和B′关于 AC对称.又设H为B、C两点间的垂直距离；L为A、B两点的水平 距离；r为分岔前的血管半径；r1为分岔后的血管半径；f为 分岔前单位时间的血流量； 为分岔后单f 位时间的血流量；l 为A、C两点间的距离，l1为B、C两点间的2 距离.
t
2
0
1 2 C1Rt
.于是，在时间t内，总的
平均费用为
C(t)
C3 t
kR
1 2 C1Rt
.这样，问题就变
成t取何值时，费用C(t)最小，即存贮模型为
min C(t)
C3 t
kR
1 2 C1Rt
34
这是一个简单的无条件极值问题，很容易求得它的最优 解为：
t*
2C3
RC1
即每个t*时间订货一次，可使平均订货费用C(t)最小.每次批
为常数. (4)每次订货量不变，订货费不变. (5)单位存贮费不变.
32
假定每隔时间t补充一次存货，货物单价为k，订货费为
C3，单位存储费为C1，需求速度为R.由于不允许缺货，所以订
货费为Rt，从而成本费为kRt，总的订货费为C3＋kRt，平均
订货费为
C3 .kR t
33
又因为t时间内的平均存货量为 1 t R d 1 Rt
28
2.模型结果分析
式(3.3.2)中参数a可理解为产品免费供应时的需求量，
称为“绝对需求量”，b d x
为价格上涨一个单位时，
dp
销售量下降的幅度，同时也是价格下跌一个单位时销售量上
升的幅度，它反映市场需求对价格的敏感程度.实际工作中a
，b可由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定
.式(3.3.2)还表明最优价格包括两部分：一部分为成本的一
2
１.问题分析 森林救火问题的总费用主要包括两个方面，即损失费和 救援费.森林损失费一般与森林烧毁的面积成正比，而烧毁的 面积又与失火、灭火、扑火的时间有关，灭火时间又取决于 消防队员的数目，队员越多，灭火越快.因此救援费用不仅与 消防队员人数有关，而且与灭火的时间长短有关.
3
设失火时刻为t＝0，开始救火时刻为t＝t1，火被扑灭的
25
1.模型的建立与求解
设某种商品每件成本为q元，售价为p元，销售量为x，则
总收入与总支出为I＝px和C＝qx.在市场竞争的情况下，销售
量依赖于价格，故设x＝f(p)，f称为需求函数.一般来说f是p
的减函数(但在市场不健全或假货充斥的时候，可能会出现不
符合常识的现象).易知收入和支出都是价格的函数.利润为
由上面三个表达式可求得：
r
1
4a 4,
r1
4
r cos 2
r1
22
这也是在能量消耗最小原则下血管分岔处几何形状的结 果.由这个结果得：
a4
cos 2a 4
若取a＝1和a＝2可得 r 和θ的大致范围约为： r1
r
1.26
1.32
r1
37
49
23
3.模型检验
记动物大动脉和最细的毛细血管半径分别为rmax和rmin；
6
(4)设每个消防队员单位时间的费用为C2，于是每个队员 的救火总费用为C2(t2－t1)，每个队员的一次性支出为C3.
附注：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形
蔓延，所以蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B(t)
与r2成正比，故B(t)与t2成正比，从而
d B(t) 与t成正比. dt
30
衡量一个存贮策略优劣的直接标准是该策略所消耗的平 均费用的多寡.这里的费用通常主要包括：存贮费、订货费( 订购费和成本费)、缺货损失费和生产费(指货物为本单位生 产，若是外购，则无此费用).由此可知，存贮问题的一般模 型为： min［订货费(或生产费) 下面我们讨论几个重要的存贮模型.
31
3.4.1 不允许缺货的订货销售模型 为了使问题简化，我们作如下假设： (1)由于不允许缺货，所以规定缺货损失费为无穷大. (2)当库存量为零时，可立即得到补充. (3)需求是连续均匀的，且需求速度(单位时间的需求量)
1 2
C1bt1
C1b2
2(x )
C2bx
x
C3x
这样问题归结为求x，使C(x)达到最小.令d C
可得派出队员数为：
dx
0，
x
C1 b2 2C2 b 2C3 2
附注：由于队员人数应为整数，故还需将x取整或四舍
五入.
11
4.模型结果评注 根据最后表达式可得以下结论： (1)派出队员人数由两部分组成.其中一部分βλ是为了 把火扑灭所必需的最低限度.因为β是火势蔓延速度，而λ是 每个队员的平均灭火速度，所以此结果是合理的.
19
2.模型建立及求解 根据以上分析，血液从A点流到B和B′点，用于克服阻力 及为管壁提供营养所消耗的总能量为：
C
(3.2.1)
kf 2 r4
bra l
k( f 2)2 r14
br1a 2l1
设分叉角度为θ，根据图3-2有：
lLH tg
l1
H sin
20
代入式(3.2.1)则有：
C(r, r1, )
半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格
的敏感系数成反比.
29
3.4 存贮模型
为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业总 需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量库存不但积压了 资金，而且会使仓库保管的费用增加.因此，寻求合理的库存 量乃是现代企业管理的一个重要课题.
需要注意的是，存贮问题的原型可以是真正的仓库存货 ，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是 大脑的存贮问题.
血管有n次分岔时血管总条数为2n条，所以估计狗应约有
225~230条血管，即3×107~3×109条血管.
24
3.3 最优价格模型 在市场经济下，商品和服务的价格是商家和服务部门的 敏感问题.为了获得最大的利润，经营者总希望商品能卖好价 钱，但定价太高又会影响到销量，从而影响利润，为此，就 需在两者之间寻求一个平衡点，这就是最优价格的问题.
由假设(3)，根据流体力学定律：粘性物质在刚性管道内 流动所受到的阻力与流量的平方成正比，与管道半径的四次 方成反比.于是血液在粗、细两段血管内所受到的阻力
分别为 和kf 2 r4
k ( f，)其2 中k为比例常数. 2 r14
18
由假设(4)，在单位长度的血管内，血液为管道壁提供营 养所消耗的能量为bra，其中b为比例常数，1≤a≤2.
13
(3)在实际应用中，C1、C2、C3是已知常数，β、λ由森 林类型、消防队员素质等因素决定，可以制成表格以备专用. 较难掌握的是开始救火时的火势b，它可以由失火到救火的时 间t1，按b＝βt1算出，或据现场情况估计.
(4)本模型假设条件只符合无风的情况，在有风的情况下 ，应考虑另外的假设.此外，此模型并不否认真正发生森林火 灾时，全民全力以赴扑灭大火的情况.
(
kf 2 r4
bra )(L
H) tg
(
kf 2 4r14
br1a
)
2H sin
要使总能量C(r，r1，θ)消耗最小，应有：
C0 r
C 0
r1
C0
21
即
4kf 2 r5
abr a 1
0
4kf 2 r15
abr1a 1
0
( kf 2 r4
br a ) 2( kf 2 4r14
br1a ) cos
0
0பைடு நூலகம்
1
.又
B(t2 ) 2 bt2
t2满足：
8
图 3-1
9
于是有：
b
t2 t1
x
B(t2 )
1 2
bt1
b2 2( x
)
根据假设条件(1)和(4)，森林损失费为C1B(t2)，救援 费为C2x(t2－t1)＋C3x，于是可得救火总费用为：
10
C(x) C1B(t2 ) C2x(t2 t1) C3x
火能力足够强，火势会越来越小，即
且当t＝t2时， dB(t)
.
0
dt
dB(t) dt
应减少，并
4
救援费用包括两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防 队员的工资，这一项费用与队员的人数和所用时间有关，另 一部分是运送队员和器材的费用，只与队员人数有关.
5
2.模型假设 (1)由于损失费与森林烧毁面积B(t2)成正比，设比例系 数为C1(C1为烧毁单位面积的损失费，显然C1>0). (2)从火灾发生到开始救火期间，即0≤t≤t1，火势蔓延 速度 d B(t) 与时间t成正比，设比例系数为β(β称为火势 蔓延的速d度t ). (3)设派出消防队员x名，开始救火以后，即t≥t1，火势 蔓延速度变为β－λx，其中λ可称为每个队员的平均灭火速 度，显然应有β<λx.
7
3.模型建立和求解
根据假设条件(2)和(3)，火势蔓延程度 d B(t) 在0<t<t1 dt
期间线性增加，而在t1<t<t2期间线性地减小. d B(t) 随t的变 dt
化图像如图3-1所示.
记t＝t1时，d B(t) b dt
t2 d B(t)
B(t2 )=
dt dt
3-1中三角形的面积，显然有
U(p)＝I(p)－C(p).
使利润达到最大的最优价格p*可以由 dU 得到.此时
0
，
dp p p*
dI d p p p*
dC d p p p*
26
(3.3.1)
称 为d边I际收入， 为边际支d出C，前者指的是当价格改变一
dp
dp
个单位时收入的改变量，后者指的是当价格改变一个单位时
支出的改变量.式(3.3.1)表明最大利润在边际收入等于边际
15
1.基本假设 (1)在血液循环过程中能量的消耗主要用于克服血液在血 管中流动时所受到的阻力和为血管壁提供营养. (2)几何假设：较粗的血管在分支点只分成两条较细的血 管，它们在同一平面内且分布对称，否则会增加血管总长度 ，使总能量消耗增加. (3)力学假设：血管近似为刚性(实际上血管有弹性，这 种近似对结果影响不大)，血液的流动视为粘性流体在刚性管 道内流动. (4)生理假设：血管壁所需的营养随管壁内表面厚度增加 ，管壁厚度与管壁半径成正比，或为常数.
时刻为t＝t2，设t时刻森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的
森林烧毁面积为B(t2)；单位时间烧毁的面积为dB(t) (这 dt
也表示了火势蔓延的程度).在消防队员到达之前，即
0≤t≤t1期间，火势越来越大，从而 dB(t) 随t的增加 dt
而增加；开始救火之后，即t1≤t≤t2期间，如果消防队员救
设从大动脉到最细的毛细血管共有n次分岔，将
r
1
4a 4
反复利用n次可得： rmax
n
4a 4
.
r1
从 的实rma际x 数值可r以min测出分岔次数n.例如，对狗而言有
rmax ≈rmi1n 000≈45.由 rmax
n
4a 4
可知：n≈5(a＋4)，因为
1≤a≤rm2in，故按此模型，狗rm的in 血管应有25~30次分岔.又因为当
支出时达到，这也是经济学中的一条定律.
为了得到进一步的结果，需假设需求函数的具体形式.如
果设它为线性函数，即
f(p)＝a－bp (其中a，b>0)
27
且每件产品的成本与产量无关，则利润为: U(p)＝(p－q)(a－bp)
用微分法可求出使U(p)最大的最优价格p*为
p* p a 2 2b
(3.3.2)
14
3.2 血管分支模型
高级动物的血管遍布全身，不同类型的动物其血管系统 自然会有差异.这里不去讨论整个血管系统的几何形状，而只 研究动物血管分支处血管粗细与分岔的规律.考虑的基本依据 是：动物在长期的进化过程中，其血管结构可达到最优，即 心脏在完成血液循环过程中所消耗的能量最少.血管的分布， 应使血液循环过程中所消耗的能量最少，同时又能满足生理 需要.
第三章 简单优化模型
➢3.1 森林救火模型 ➢3.2 血管分支模型 ➢3.3 最优价格模型 ➢3.4 存贮模型 ➢3.5 生猪的出售时机模型
1
3.1 森林救火模型
由于受全球气候变暖的影响，我国北方持续干旱少雨， 森林火灾时常见诸报端.那么森林失火以后，如何去救火才能 最大限度地减少损失，这是森林防火部门面临的一个现实问 题.当然在接到报警后消防部门派出队员越多，灭火速度越快 ，森林损失越小，但同时救援开支会增大.所以需要综合考虑 森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用 最小来确定派出队员的数目.
12
(2)派出队员的另一部分是在最低限度以上的人数，与问 题的各个参数有关.当队员灭火速度λ和救援费用系数C3增大 时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，队员数增加，这些结果与实际是吻 合的.此外，当救援费用系数C2变大时队员数也增大，这一结 果的合理性我们可以这样考虑：救援费用系数C2变大时，总 费用中灭火时间引起的费用增加，以至于以较少人数花费较 长时间灭火变得不合算，通过增加人数而缩短时间更为合算 ，因此，C2变大时队员人数增加也是合理的.
图 3-2
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血管结构如图3-2所示.设血液从粗血管A点经过一次分支 向细血管中的B和B′点供血.C是血管的分岔点，B和B′关于 AC对称.又设H为B、C两点间的垂直距离；L为A、B两点的水平 距离；r为分岔前的血管半径；r1为分岔后的血管半径；f为 分岔前单位时间的血流量； 为分岔后单f 位时间的血流量；l 为A、C两点间的距离，l1为B、C两点间的2 距离.
t
2
0
1 2 C1Rt
.于是，在时间t内，总的
平均费用为
C(t)
C3 t
kR
1 2 C1Rt
.这样，问题就变
成t取何值时，费用C(t)最小，即存贮模型为
min C(t)
C3 t
kR
1 2 C1Rt
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这是一个简单的无条件极值问题，很容易求得它的最优 解为：
t*
2C3
RC1
即每个t*时间订货一次，可使平均订货费用C(t)最小.每次批
为常数. (4)每次订货量不变，订货费不变. (5)单位存贮费不变.
32
假定每隔时间t补充一次存货，货物单价为k，订货费为
C3，单位存储费为C1，需求速度为R.由于不允许缺货，所以订
货费为Rt，从而成本费为kRt，总的订货费为C3＋kRt，平均
订货费为
C3 .kR t
33
又因为t时间内的平均存货量为 1 t R d 1 Rt
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2.模型结果分析
式(3.3.2)中参数a可理解为产品免费供应时的需求量，
称为“绝对需求量”，b d x
为价格上涨一个单位时，
dp
销售量下降的幅度，同时也是价格下跌一个单位时销售量上
升的幅度，它反映市场需求对价格的敏感程度.实际工作中a
，b可由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定
.式(3.3.2)还表明最优价格包括两部分：一部分为成本的一
2
１.问题分析 森林救火问题的总费用主要包括两个方面，即损失费和 救援费.森林损失费一般与森林烧毁的面积成正比，而烧毁的 面积又与失火、灭火、扑火的时间有关，灭火时间又取决于 消防队员的数目，队员越多，灭火越快.因此救援费用不仅与 消防队员人数有关，而且与灭火的时间长短有关.
3
设失火时刻为t＝0，开始救火时刻为t＝t1，火被扑灭的
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1.模型的建立与求解
设某种商品每件成本为q元，售价为p元，销售量为x，则
总收入与总支出为I＝px和C＝qx.在市场竞争的情况下，销售
量依赖于价格，故设x＝f(p)，f称为需求函数.一般来说f是p
的减函数(但在市场不健全或假货充斥的时候，可能会出现不
符合常识的现象).易知收入和支出都是价格的函数.利润为
由上面三个表达式可求得：
r
1
4a 4,
r1
4
r cos 2
r1
22
这也是在能量消耗最小原则下血管分岔处几何形状的结 果.由这个结果得：
a4
cos 2a 4
若取a＝1和a＝2可得 r 和θ的大致范围约为： r1
r
1.26
1.32
r1
37
49
23
3.模型检验
记动物大动脉和最细的毛细血管半径分别为rmax和rmin；
6
(4)设每个消防队员单位时间的费用为C2，于是每个队员 的救火总费用为C2(t2－t1)，每个队员的一次性支出为C3.
附注：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形
蔓延，所以蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B(t)
与r2成正比，故B(t)与t2成正比，从而
d B(t) 与t成正比. dt
30
衡量一个存贮策略优劣的直接标准是该策略所消耗的平 均费用的多寡.这里的费用通常主要包括：存贮费、订货费( 订购费和成本费)、缺货损失费和生产费(指货物为本单位生 产，若是外购，则无此费用).由此可知，存贮问题的一般模 型为： min［订货费(或生产费) 下面我们讨论几个重要的存贮模型.
31
3.4.1 不允许缺货的订货销售模型 为了使问题简化，我们作如下假设： (1)由于不允许缺货，所以规定缺货损失费为无穷大. (2)当库存量为零时，可立即得到补充. (3)需求是连续均匀的，且需求速度(单位时间的需求量)
1 2
C1bt1
C1b2
2(x )
C2bx
x
C3x
这样问题归结为求x，使C(x)达到最小.令d C
可得派出队员数为：
dx
0，
x
C1 b2 2C2 b 2C3 2
附注：由于队员人数应为整数，故还需将x取整或四舍
五入.
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4.模型结果评注 根据最后表达式可得以下结论： (1)派出队员人数由两部分组成.其中一部分βλ是为了 把火扑灭所必需的最低限度.因为β是火势蔓延速度，而λ是 每个队员的平均灭火速度，所以此结果是合理的.
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2.模型建立及求解 根据以上分析，血液从A点流到B和B′点，用于克服阻力 及为管壁提供营养所消耗的总能量为：
C
(3.2.1)
kf 2 r4
bra l
k( f 2)2 r14
br1a 2l1
设分叉角度为θ，根据图3-2有：
lLH tg
l1
H sin
20
代入式(3.2.1)则有：
C(r, r1, )
半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格
的敏感系数成反比.
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3.4 存贮模型
为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业总 需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量库存不但积压了 资金，而且会使仓库保管的费用增加.因此，寻求合理的库存 量乃是现代企业管理的一个重要课题.
需要注意的是，存贮问题的原型可以是真正的仓库存货 ，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是 大脑的存贮问题.
血管有n次分岔时血管总条数为2n条，所以估计狗应约有
225~230条血管，即3×107~3×109条血管.
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3.3 最优价格模型 在市场经济下，商品和服务的价格是商家和服务部门的 敏感问题.为了获得最大的利润，经营者总希望商品能卖好价 钱，但定价太高又会影响到销量，从而影响利润，为此，就 需在两者之间寻求一个平衡点，这就是最优价格的问题.
由假设(3)，根据流体力学定律：粘性物质在刚性管道内 流动所受到的阻力与流量的平方成正比，与管道半径的四次 方成反比.于是血液在粗、细两段血管内所受到的阻力
分别为 和kf 2 r4
k ( f，)其2 中k为比例常数. 2 r14
18
由假设(4)，在单位长度的血管内，血液为管道壁提供营 养所消耗的能量为bra，其中b为比例常数，1≤a≤2.
13
(3)在实际应用中，C1、C2、C3是已知常数，β、λ由森 林类型、消防队员素质等因素决定，可以制成表格以备专用. 较难掌握的是开始救火时的火势b，它可以由失火到救火的时 间t1，按b＝βt1算出，或据现场情况估计.
(4)本模型假设条件只符合无风的情况，在有风的情况下 ，应考虑另外的假设.此外，此模型并不否认真正发生森林火 灾时，全民全力以赴扑灭大火的情况.
(
kf 2 r4
bra )(L
H) tg
(
kf 2 4r14
br1a
)
2H sin
要使总能量C(r，r1，θ)消耗最小，应有：
C0 r
C 0
r1
C0
21
即
4kf 2 r5
abr a 1
0
4kf 2 r15
abr1a 1
0
( kf 2 r4
br a ) 2( kf 2 4r14
br1a ) cos
0
0பைடு நூலகம்
1
.又
B(t2 ) 2 bt2
t2满足：
8
图 3-1
9
于是有：
b
t2 t1
x
B(t2 )
1 2
bt1
b2 2( x
)
根据假设条件(1)和(4)，森林损失费为C1B(t2)，救援 费为C2x(t2－t1)＋C3x，于是可得救火总费用为：
10
C(x) C1B(t2 ) C2x(t2 t1) C3x
火能力足够强，火势会越来越小，即
且当t＝t2时， dB(t)
.
0
dt
dB(t) dt
应减少，并
4
救援费用包括两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防 队员的工资，这一项费用与队员的人数和所用时间有关，另 一部分是运送队员和器材的费用，只与队员人数有关.
5
2.模型假设 (1)由于损失费与森林烧毁面积B(t2)成正比，设比例系 数为C1(C1为烧毁单位面积的损失费，显然C1>0). (2)从火灾发生到开始救火期间，即0≤t≤t1，火势蔓延 速度 d B(t) 与时间t成正比，设比例系数为β(β称为火势 蔓延的速d度t ). (3)设派出消防队员x名，开始救火以后，即t≥t1，火势 蔓延速度变为β－λx，其中λ可称为每个队员的平均灭火速 度，显然应有β<λx.
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3.模型建立和求解
根据假设条件(2)和(3)，火势蔓延程度 d B(t) 在0<t<t1 dt
期间线性增加，而在t1<t<t2期间线性地减小. d B(t) 随t的变 dt
化图像如图3-1所示.
记t＝t1时，d B(t) b dt
t2 d B(t)
B(t2 )=
dt dt
3-1中三角形的面积，显然有
U(p)＝I(p)－C(p).
使利润达到最大的最优价格p*可以由 dU 得到.此时
0
，
dp p p*
dI d p p p*
dC d p p p*
26
(3.3.1)
称 为d边I际收入， 为边际支d出C，前者指的是当价格改变一
dp
dp
个单位时收入的改变量，后者指的是当价格改变一个单位时
支出的改变量.式(3.3.1)表明最大利润在边际收入等于边际
15
1.基本假设 (1)在血液循环过程中能量的消耗主要用于克服血液在血 管中流动时所受到的阻力和为血管壁提供营养. (2)几何假设：较粗的血管在分支点只分成两条较细的血 管，它们在同一平面内且分布对称，否则会增加血管总长度 ，使总能量消耗增加. (3)力学假设：血管近似为刚性(实际上血管有弹性，这 种近似对结果影响不大)，血液的流动视为粘性流体在刚性管 道内流动. (4)生理假设：血管壁所需的营养随管壁内表面厚度增加 ，管壁厚度与管壁半径成正比，或为常数.
时刻为t＝t2，设t时刻森林烧毁面积为B(t)，则造成损失的
森林烧毁面积为B(t2)；单位时间烧毁的面积为dB(t) (这 dt
也表示了火势蔓延的程度).在消防队员到达之前，即
0≤t≤t1期间，火势越来越大，从而 dB(t) 随t的增加 dt
而增加；开始救火之后，即t1≤t≤t2期间，如果消防队员救
设从大动脉到最细的毛细血管共有n次分岔，将
r
1
4a 4
反复利用n次可得： rmax
n
4a 4
.
r1
从 的实rma际x 数值可r以min测出分岔次数n.例如，对狗而言有
rmax ≈rmi1n 000≈45.由 rmax
n
4a 4
可知：n≈5(a＋4)，因为
1≤a≤rm2in，故按此模型，狗rm的in 血管应有25~30次分岔.又因为当
支出时达到，这也是经济学中的一条定律.
为了得到进一步的结果，需假设需求函数的具体形式.如
果设它为线性函数，即
f(p)＝a－bp (其中a，b>0)
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且每件产品的成本与产量无关，则利润为: U(p)＝(p－q)(a－bp)
用微分法可求出使U(p)最大的最优价格p*为
p* p a 2 2b
(3.3.2)
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3.2 血管分支模型
高级动物的血管遍布全身，不同类型的动物其血管系统 自然会有差异.这里不去讨论整个血管系统的几何形状，而只 研究动物血管分支处血管粗细与分岔的规律.考虑的基本依据 是：动物在长期的进化过程中，其血管结构可达到最优，即 心脏在完成血液循环过程中所消耗的能量最少.血管的分布， 应使血液循环过程中所消耗的能量最少，同时又能满足生理 需要.
第三章 简单优化模型
➢3.1 森林救火模型 ➢3.2 血管分支模型 ➢3.3 最优价格模型 ➢3.4 存贮模型 ➢3.5 生猪的出售时机模型
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3.1 森林救火模型
由于受全球气候变暖的影响，我国北方持续干旱少雨， 森林火灾时常见诸报端.那么森林失火以后，如何去救火才能 最大限度地减少损失，这是森林防火部门面临的一个现实问 题.当然在接到报警后消防部门派出队员越多，灭火速度越快 ，森林损失越小，但同时救援开支会增大.所以需要综合考虑 森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用 最小来确定派出队员的数目.
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(2)派出队员的另一部分是在最低限度以上的人数，与问 题的各个参数有关.当队员灭火速度λ和救援费用系数C3增大 时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，队员数增加，这些结果与实际是吻 合的.此外，当救援费用系数C2变大时队员数也增大，这一结 果的合理性我们可以这样考虑：救援费用系数C2变大时，总 费用中灭火时间引起的费用增加，以至于以较少人数花费较 长时间灭火变得不合算，通过增加人数而缩短时间更为合算 ，因此，C2变大时队员人数增加也是合理的.