2013年全国高考试题分类汇编：几何证明选讲

第十五章几何证明选讲

考点一相似三角形的判定与性质

1.(2013广东,15,5分)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则

ED= .

答案

2.(2013陕西,15B,5分)(几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE= .

答案

3.(2013辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,AB为☉O直径,直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连结AE,BE.证明:

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF2=AD·BC.

证明(1)由直线CD与☉O相切,得∠CEB=∠EAB.

由AB为☉O的直径,得AE⊥EB.从而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.(4分)

(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,

得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.

类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.

又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,所以EF2=AD·BC.(10分)

考点二直线与圆的位置关系

4.(2013天津,13,5分)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.

答案

5.(2013课标全国Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;

(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.

解析(1)连结DE,交BC于点G.

由弦切角定理得∠ABE=∠BCE.

而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.

又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠D CE=90°,

由勾股定理可得DB=DC.

(2)由(1)知∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线,所以BG=.

设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.

6.(2013课标全国Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且

BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.

(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

解析(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠D CB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以

∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CB A=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

(2)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2D B2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.