经济数学-经济学中常用的函数
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由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益, R 表示平均收益，则
R(Q ) R R(Q ) , R Q
如果产品价格 P 保持不变，则
R(Q) PQ , R P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100,求总收 益和平均收益．
若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润．
解 由题意知 P 20 （ 万元） ,
总收益为 R(Q) P Q 20Q 所以L(Q) R(Q) C (Q)
20Q (20 2Q 0.5Q2 ) 20 18Q 0.5Q 2 L(10) ( 20 18 10 0.5 102 ) 110(万元).
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
wenku.baidu.com
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
解 P 0 时 Q b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b Q 0 时 P , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P 的函数。记作
第五节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
a, b 0
250x ,0 x 600 5. R 250 600 ( 250 20)( x 600),600 x 800 250 600 230 200, x 800 21 6. Pe ; 8
Q2 例 3 已知某种产品的总成本函数为C (Q ) 1000 . 8
求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
100 C (100) 1000 2250 , 8
2
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
五、收益函数
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
5.某产品之需求函数为 Qd =20-3P,供给函数为
Qs =5P-1,求该商品的静态均衡价格。
6.某工厂生产某产品年产量为 x 台，每台售 价为 250 元，当年产量在 600 台以内时，可 以全部售出，当年产量超过 600 台时，经广 告宣传后又可多出售 200 台，每台平均广告 费为 20 元，生产再多，本年就售不出去了。 试建立本年的销售总收入 R 与年产量 x 的关 系。
g ( x ) cx a 由于 g ( 2 x ) 2 a cx a 2 a g ( x )
规模报酬不变； 可见，当a 1 时， 如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时， 加不到一倍，即规模报酬递减；
如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时，
加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、成本函数
1 .4 PQ 2.某工厂对棉花的需求函数由
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
4.(1)C ( X ) 150 10X (元)(0 X 100); 150 C (X ) 10(0 X 100); X ( 2) R( X ) 14X (元 （ ) 0 X 100 ） ; ( 3) L( X ) 150 4 X (元)(0 X 100)；
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
七、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求
量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然
一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，
Q T 每次进货批量为 q ，进货周期为 t . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
2
二次曲线需求函数： Q a bP cP
指数需求函数： Q Ae bp
( 其中 a,b,c,A > 0 )
幂函数：Q kP A , 其中 A 0 , k 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论 P 0 时的需求量和Q 0 时的价格 .
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益, R 表示平均收益，则
R(Q ) R R(Q ) , R Q
如果产品价格 P 保持不变，则
R(Q) PQ , R P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100,求总收 益和平均收益．
若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润．
解 由题意知 P 20 （ 万元） ,
总收益为 R(Q) P Q 20Q 所以L(Q) R(Q) C (Q)
20Q (20 2Q 0.5Q2 ) 20 18Q 0.5Q 2 L(10) ( 20 18 10 0.5 102 ) 110(万元).
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
wenku.baidu.com
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
解 P 0 时 Q b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b Q 0 时 P , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P 的函数。记作
第五节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
a, b 0
250x ,0 x 600 5. R 250 600 ( 250 20)( x 600),600 x 800 250 600 230 200, x 800 21 6. Pe ; 8
Q2 例 3 已知某种产品的总成本函数为C (Q ) 1000 . 8
求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
100 C (100) 1000 2250 , 8
2
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
五、收益函数
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
5.某产品之需求函数为 Qd =20-3P,供给函数为
Qs =5P-1,求该商品的静态均衡价格。
6.某工厂生产某产品年产量为 x 台，每台售 价为 250 元，当年产量在 600 台以内时，可 以全部售出，当年产量超过 600 台时，经广 告宣传后又可多出售 200 台，每台平均广告 费为 20 元，生产再多，本年就售不出去了。 试建立本年的销售总收入 R 与年产量 x 的关 系。
g ( x ) cx a 由于 g ( 2 x ) 2 a cx a 2 a g ( x )
规模报酬不变； 可见，当a 1 时， 如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时， 加不到一倍，即规模报酬递减；
如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时，
加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、成本函数
1 .4 PQ 2.某工厂对棉花的需求函数由
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
4.(1)C ( X ) 150 10X (元)(0 X 100); 150 C (X ) 10(0 X 100); X ( 2) R( X ) 14X (元 （ ) 0 X 100 ） ; ( 3) L( X ) 150 4 X (元)(0 X 100)；
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
七、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求
量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然
一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，
Q T 每次进货批量为 q ，进货周期为 t . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
2
二次曲线需求函数： Q a bP cP
指数需求函数： Q Ae bp
( 其中 a,b,c,A > 0 )
幂函数：Q kP A , 其中 A 0 , k 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论 P 0 时的需求量和Q 0 时的价格 .