经济数学-经济学中常用的函数
经济数学中的供需函数
经济数学中的供需函数在经济学中，消费者（购买者）对商品的需求这一概念的涵义是购买者既有购买商品的愿望，又有购买商品的能力。
供给不仅与生产中投入的成本及技术状况有关，而且与生产者对其他商品和劳务价格的预测等因素有关。
市场上的商品价格将围绕平衡价格p0摆动。
因此，企业需根据供求情况及时加以调节，以使价格逐渐趋于平衡价格。
标签：需求函数供给函数供需平衡1 需求函数在经济学中，消费者（购买者）对商品的需求这一概念的涵义是购买者既有购买商品的愿望，又有购买商品的能力。
也就是说，只有购买者同时具备了购买商品的欲望和支付能力两个条件，才称得上需求。
影响需求的因素有很多，如人口、收入、财产、该商品的价格，其他相关商品的价格、以及消费者的偏好等。
在所考虑的时间范围内，如果把除该商品价格以外的上述因素都看作是不变的因素，则可把该商品价格P看作是自变量，需求量Q看作是因变量，即需求量Q 可视为该商品价格P的函数，称为需求函数[1]，记作Q=f（P）由于与供给函数相对应，所以需求函数也可以表示为Qd=fd（P）1.1 最常用的需求函数类型为线性函数：Q=（a>0，b>0）其反函数为P=a-bQ。
当P=0时，Q=表示当价格为零时，购买者对该商品的需求量为，也称为市场对该商品的饱和需求量。
当P=a时，Q=0表示当价格上涨到a时，已经没有人购买该商品。
1.2 若需求函数为Q=-b（a>0，b>0，c>0），其反函数为P=-c。
此时，若P=0，则Q=-b，表示该商品的饱和需求量为-b，当价格上升到P=-c 时，商品的需求量下降为0。
但若免费赠送，并且给购买者以一定的如运输费用等方面的补贴（表现为负价格），鼓励购买，则当P下降接近于-c时，由需求曲线可见，该商品的需求量将无限增大。
习惯上，不少经济分析的著作喜欢把需求函数写成反函数形式，但从经济意义上分析时，仍应将P作为自变量，把Q作为因为量。
[2]需求函数的图形称为需求曲线。
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
《微积分上》的经济数学汇总
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x==+≤≤==+<≤ 例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
1.4 函数关系的建立及经济学中的常用函数
5.利润函数
企业生产经营活动的直接目的是获取利润 .若利润用 L 表示，在不考虑税收的情况下， L =总收益-总成本，即
L R(Q) C (Q).
若考虑国家征税费 T 的情况，则
L R(Q) C (Q) T (Q).
在不考虑税收的情况下，当销售成本 C (Q ) 超过销售 收益 R (Q ) 时，这种经营活动是亏本的； 当销售收益超过销 售成本时，这种经营活动是盈利的； 当 L(Q) 0 时，即 R(Q) C (Q) 时，则不亏不盈.通常将 L(Q) 0 的点 Q0 称为保本点.
但应用问题中的函数的定义域，除函数的解析式
外，还要考虑变量在现实问题中的具体含义.
例1.10 设有一块边长为 a 的正方形薄板，将它的四角
剪去边长相等的小正方形, 制作一只无盖盒子，试将盒子 体积表示成小正方形边长的函数.
解 设剪去的小正方形边长为 x, 盒子的体积为 V , 则
盒子的底面积为 (a 2x)2 , 高为 x, 故所求的函数关系为
C C (Q), 称为成本Fra bibliotek数.C (Q) Q 当产量（或销量）为 时的平均成本为 C (Q) . Q
4.收益函数
收益是指销售一定数量商品所得的收入，它既是销量
Q 的函数，又是价格 P 的函数，若收益用 R 表示，则
R PQ.
由研究目的不同，通过需求函数，既可以将收益函数 表示成价格的函数，也可以表示成销量的函数，即： （1）若需求函数 Q f ( P), 则 R Pf ( P); （2）若需求函数 P f 1 (Q), 则 R Qf 1 (Q).
a V x(a 2 x) , x (0, ). 2
2
年产量为x, 每台售250元， 例1.11 某工厂生产某种产品， 当年产量不超过600台时，可以全部售出；当超过600台时，
经济数学课后习题答案
经济数学课后习题答案经济数学课后习题答案在经济学领域，数学是一种非常重要的工具，它帮助我们分析和解决各种经济问题。
经济数学课后习题是巩固我们对经济数学知识的理解和应用的重要途径。
在本文中，我将为大家提供一些经济数学课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 需求函数和供给函数是经济学中常见的数学模型。
假设某商品的需求函数为Qd=100-2P，供给函数为Qs=2P-20，其中Qd表示需求量，Qs表示供给量，P表示价格。
求市场均衡价格和数量。
解答：市场均衡价格和数量发生在需求量等于供给量的时候。
将需求函数和供给函数相等，得到100-2P=2P-20。
将P项移到一边，常数项移到另一边，得到4P=120。
解方程得到P=30。
将P=30代入需求函数或供给函数中，得到需求量Qd=40，供给量Qs=40。
因此，市场均衡价格为30，市场均衡数量为40。
2. 弹性是衡量需求或供给对价格变化的敏感程度的指标。
需求弹性的计算公式为：需求弹性=（需求量变化的百分比）/（价格变化的百分比）。
假设某商品的需求函数为Qd=100-2P，价格为10时需求量为80。
求价格为10时的需求弹性。
解答：需求量变化的百分比为（80-100）/100=-0.2，价格变化的百分比为（10-10）/10=0。
将这两个数值代入需求弹性的计算公式中，得到需求弹性为-0.2/0=0。
因此，价格为10时的需求弹性为0。
3. 边际收益是指增加一单位生产要素所带来的额外收益。
边际成本是指增加一单位生产要素所带来的额外成本。
假设某企业的生产函数为Q=2L+3K，其中Q表示产出，L表示劳动力，K表示资本。
求边际产出、边际劳动力成本和边际资本成本。
解答：边际产出是指增加一单位劳动力或资本所带来的额外产出。
对生产函数求一阶偏导数，得到边际产出的表达式为dQ/dL=2，dQ/dK=3。
因此，边际产出为2和3。
边际劳动力成本是指增加一单位劳动力所带来的额外成本。
经济数学知识点总结
经济数学知识点总结经济学与数学是密不可分的，因为经济学需要运用各种数学模型来帮助其分析经济现象。
在这篇文章中，我们将探讨一些常见的经济数学知识点，包括微积分、统计学和线性代数。
一、微积分微积分是经济学中最常见的数学工具之一。
它的主要功能是帮助经济学家分析变化，特别是在研究某一经济现象的变化时。
微积分主要包括导数、极限和积分等几个方面。
导数是微积分中最基础的概念，它可以帮助经济学家计算某一函数的斜率，以及该函数的变化率。
在经济学中，导数通常用于研究企业的边际成本与边际收益，或者预测某一产品的需求量。
另一个常见的微积分概念是极限。
极限用于描述当变量趋近于某一值时的行为。
在经济学中，经济学家可以使用极限来分析某一市场的饱和度，或者预测某一商品的价格变化趋势。
积分是微积分中的另一个重要概念。
它可以帮助经济学家计算某一函数在某一区间内的总量。
在经济学中，积分通常被用于计算某一市场的总需求或者总供应量。
二、统计学统计学是经济学中另一个重要的数学工具。
它主要用于分析数量数据，并通过分析数据来得出有关某一经济现象的结论。
在统计学中，最常见的概念是平均数、标准差和相关性等。
平均数是统计学中最基础的概念之一，它可以用来描述数据的中心位置。
在经济学中，平均数通常被用于计算某一市场的平均价格或者企业的平均成本。
标准差是用于衡量数据变异程度的概念。
在经济学中，标准差通常被用于评估某一市场的供需平衡，或者企业生产和销售的波动率。
相关性是用于描述两个变量之间关系的概念。
在经济学中，相关性可以帮助经济学家研究市场中不同商品之间的关系，或者预测某一商品对某一事件的反应。
三、线性代数线性代数是用于研究线性方程组的数学学科。
在经济学中，线性代数主要用于研究包含多个变量的经济模型。
在线性代数中，最常见的概念是矩阵、向量和线性方程组等。
矩阵是用于在线性代数中表示多个变量的数学概念。
在经济学中，矩阵通常被用于表示市场中多种商品的供需情况，或者企业中多个生产要素的投入产出情况。
微积分在经济中的应用分析(最新整理)
一、经济分析中常用的函数【2（一）需求函数和供给函数】1.需求函数。
需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。
我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q（p）（Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。
一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数（如图一）。
右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。
当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。
2.供给函数。
一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S（p），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg。
一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。
（如图二）供给函数特征：横轴S 为供给量，纵轴P 为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。
当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。
（二）、市场均衡在市场中，当一种商品满足Q=S 即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S 时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。
（三）、价格函数、收入函数、利润函数1.价格函数。
一般来说，价格是销售量的函数。
在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多 就可以把价格讲得越低。
例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。
第六节 经济活动中的边际分析与弹性分析,常用经济函数
平均收益是指生产者销售单位产品所获得的收入，即 总收益与销售量之比。公式为
TR AR Q
4. 总成本函数与平均成本函数
产品的总成本（total cost），是指生产一定数量 的产品，所需的全部经济投入的费用总额，短期内 的总成本可以分为固定成本和可变成本两部分. 总成本函数： TC TC(Q) C0 C1 (Q)
该结果说明当价格在 p 5 元水平时， 若提价1%，
供给量将增加2%.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数，记作MC，
即
MC TC (Q)
它的经济含义是：当产量为Q时，再生产一个单位
产品所增加的成本，即边际成本是第Q+1个产品的成本。
例1 已知某商品的总成本函数为
TC(Q) 2000 45Q 0.02Q
2
Q [0,1000 ]
求：（1）当产量为100吨时的总成本； （2）当产量为100吨时的平均成本； （3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平 均变化率； （4）分别求当产量为100吨和200吨时的边际成本. 解 （1）当产量为100吨时，总成本
p p0
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
例4 已知某种商品的供给价格函数为 Qs 2 0.8 p
试求 p 5 元时的供给价格弹性.
解 因为 所以
Qs 0.8
Es
p 5
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
5 0.8 2 2 0.8 5
ML(Q) TR(Q) TC (Q) MR MC
它的经济含义是：当产销量达到 Q 时，再增加一个 单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相关变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.
《经济数学.微积分》朱来义.第一章.1.7 简单函数关系的建立
当商场订购1000台时，厂家可获利润
（元） L 30 1000 (1000 100)2 0.01 21900
2.需求函数与供给函数
产品的市场需求量与市场供给量是与产品的价 格直接相关的量.
一产品的市场需求量 Qd 与该商品的价格 P 的 关系是：降价使需求量增加，涨价使需求量减少.
x
2a
圆柱的体积 y 为
4a x x π x (4a 2 x 2 ), 0 x 2a y π 2 4
2 2 2
这就是圆柱体积 y 与高 x 之间的关系.
例2 一房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金 定为 每月180 元时，公寓会全部租出 去．当租金每月增加
总收入 R( x ) 是销售量 x 与销售单价 P 乘积， 即 R( x ) Px； 总利润 L( x ) 等于总收入减去总成本 ， 即 L( x ) R( x ) C ( x ).
例3
某种产品每台售价 90 元, 成本为 60 元，厂家
为鼓励销售商大量采购 ，决定凡是订购量超过 100 台以上的，多出的产品 实行降价，其中降价比 例为 每多出 100 台每台降价 1 元（例如某商场订购 300 台， 订购量比 100 台多 200 台，于是多出的这 200 台每台 就降价 0.01 200 2 元，商场可以按 88 元 台的价格 购进这多出的 200 台），但最低价为 75 元 台. (1) 试将每台的实际售价 P 表示为订购量 x的函数； ( 2) 把利润 L 表示为订购量 x 的函数； ( 3) 当一商场订购 1000台时，厂家可获利润多 少？
解 (1) 由题设，
当 x 100 时， 实际售价 P 90 元 台, 当 x 100 时， 由于产品最低价为 75 元 台，
经济数学1.5函数的连续性
经济学意义
连续性假设在均衡价格形成过程中体现了市场的稳定性和 可预测性，为经济分析和政策制定提供了重要的理论支持。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
函数连续性的定义
连续统模型
连续统模型是经济学中研究无限多个经济主体行为的模型，其中函数的连续性也是不可或缺的。例如，在一般均衡理 论、博弈论等领域中，需要研究连续统模型下的均衡问题。
连续性与经济现象解释
函数的连续性在经济现象解释中也具有重要作用。例如，在需求与供给分析中，连续性假设可以帮助我 们理解市场均衡的存在性和稳定性；在经济增长理论中，连续性假设可以帮助我们分析经济增长的路径 和收敛性问题。
实例二
考虑函数$g(x) = sin(frac{1}{x})$在$x = 0$处的连续性。观察函数在$x = 0$处的左右极限，发现左右极限都不 存在且不为无穷大，因此$x = 0$为振荡间断点。对于这类间断点，无法通过补充定义使函数在该点连续。但可 以通过泰勒级数展开等手段来研究函数在该点的性质。
第三步
比较函数在该点的函数值与左 右极限值是否相等。
第四步
根据以上步骤，判断函数在该 点是否连续。
03
多元函数连续性判定方法
多元函数极限存在定理及应用
多元函数极限存在定理
若多元函数在某点的邻域内有定义，且当自变量以任意方式 趋近于该点时，函数值都趋近于一个确定的常数，则称该函 数在该点存在极限。
04
不连续点处理技巧及实例分析
第一类间断点处理技巧
识别间断点类型
通过观察函数在间断点处的左 右极限是否存在以及是否相等 ，可以判断间断点的类型。
经济数学经济学中常用的函数
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
第五节
经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
经济数学中的函数都有哪些分类
经济数学中的函数都有哪些分类一、在经济学中的几个常用函数（一）需求函数与供给函数需求函数是指消费者在一定的价格水平上对某种商品有支付能力的需要：人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如价格、收入、替代品、偏好等.一般研究中，需求量Qd是价格p的函数，此函数称为需求函数，记为Qd=f（p）.供给函数是生产者或销售者在一定价格水平上提供市场的商品量.一般而言，供给量Qs是价格p的函数，记为Qs=g（p）.（二）总成本函数成本是指生产制造产品所投入的原材料、人的劳动力与技术等生产资料的货币表现.它是产量的函数，记为C（x），其中x为产量.总成本函数由固定成本和可变成本两部分组成.固定成本与产品的产量（或销售量）x无关.可变函数是x的函数，因此总成本是x的函数，记为C（x）=C0+V（x）其中C0是固定成本，x是产量（或销售量），V（x）是可变成本.（三）总收益函数和总利润函数总收益函数是指一定量的产品出售后所得到的全部收入，若产品的销售单价为p，销售量为x，则总收益函数为R（x）=P（x）.平均收益函数为R（x）=R（x）x=xP（x）x=P（x）.若产品的销售量即是生产量，则生产x单位产品的总利润函数等于总收益函数与成本函数之差，即L（x）=R（x）-C（x）.（四）边际函数与弹性函数设函数y=f（x）可导，则导函数f′（x）在经济学中又称为边际函数.设函数y=f（x）在点x0处可导，函数的相对改变量Δyy0=f（x0+Δx）-f （x0）f（x0）与自变量的相对该变量Δxx0之比，当Δx→0limΔx→0Δy/y0Δx/x0存在，则称此极限为f（x）在x=x0处弹性，记为EyEx|x=x0.若f（x）在任意x处可导，则称EyEx=xy·f′（x）为f（x）在x处的弹性函数.二、极限在经济方面的应用极限概念是微积分中最基本的概念.微积分中很多概念都是用极限概念来表达的.如导数和定积分在定义时都是建立在极限概念的基础之上.而在经济学中同样有很多概念也是通过极限概念来定义的.所以掌握极限的概念及其思想方法对于掌握经济学中重要概念有很大的帮助.下面就通过一个例子——复利与连续复利问题，来说明极限在经济学中应用.例1有本金10000元，存款一年，年利率为12%，求到期本利之和为：（1）如果一年计息1期；（2）按连续复利计息.三、经济中的最值问题在生产销售中，到处可见“最大、最小”这类问题.生产者追求最低成本，销售者要得到最大利润等等.这些实际问题的解决办法就要借助高等数学中的求解最大值与最小值的方法.例2某专门卖宠物用品连锁店的市场推销部门研究他们销售的金鱼缸泵价格需求曲线近似为p=120-20lnx（0<x<=""p=""style="user-select:initial!important;"></x 其中x为每周销售这种泵的数量，p是每个泵的价格（以元为单位）.若每个泵的成本为30元，试求每周取得利润的最大值以及相应的每周泵的销售量.解由已知可求得收益函数R（x）为R（x）=px=（120-20lnx）x=120x-20xlnx.其成本函数为C（x）=30x，因此利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=120x-20xlnx-30x=90x-20xlnx，则L′（x）=90-20lnx-20=70-20lnx.令L′（x）=0，求得L（x）的驻点为x=e72≈32.又因为L″（x）=-20x<0，所以L（x）在x=32处取得极大值.而在0<x<=""p=""style="user-select:initial!important;"></xL（32）=90×32-20×32ln32=640（元）.此时相应每个泵的价格为p=120-20ln32≈50（元）.四、定积分在经济学中的应用学了一元函数积分学后就知道在经济学中的成本函数，总收入函数，利润函数分别是边际成本函数，边际收入函数，边际利润函数的原函数.那么再根据定积分定义及其计算方法，便可求得相应的函数.例3已知某商品的边际收益为R′（x）=200-12x（元/单位），其中x表示该商品的产量.求该商品的总收益函数，并求当商品的产量达到100单位时总收益.解函数为R（x）=∫x0（200-12t）dt=[200t-t24]x0=200x-x24，则平均收益函数为R（x）=R（x）x=200-x4.当生产100单位时，总收益为R（100）=200×100-10024=17500（元），平均收益为R（100）=200-1004=175（元）.。
经济数学1.6经济学中常用的函数
经济数学 1.需求函数与供给函数 • 例1 当鸡蛋收购价为每千克4.5元时，某收购站 每月能收购5000kg.若收购价每千克提高0.1元， 则收购量可增加400kg，求鸡蛋的线性供给函数. 解： 设鸡蛋的线性供给函数为 由题意得
5 0 0 0 c 4 .5 d 5 4 0 0 c 4 .6 d
经济数学
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资本4元，单位售价8元。 • 求
(1) 总成本函数;
练习
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数. 解
C ( x ) 4 x 1000
1000 x
C (x)
4
R ( x )
8 x
L( x ) R ( x ) C ( x ) 4 x 1000
经济数学 3. 价格函数、收入函数、利润函数 (3) 利润函数
总利润 L ( q ) 等于总收入 R ( q ) 与总成本 C ( q ) 的差，所以总利润函数为 ：
L (q ) R (q ) C (q )
：
q
个单位产品时的平均利润为：
L (q ) q R (q ) C (q ) q
L
Q Q ( p)
常见的需求函数有以下几种类型：
线性需求函数 二次需求函数
Q a bp (a 0, b 0)
2
Q a bp cp
(a 0, b 0, c 0)
指数需求函数
Q Ae
bp
( A 0, b 0)
经济数学 1.需求函数与供应函数 (2) 供应函数
Q c dp
Q a bp cp
经济数学基础12
经济数学基础12一、微积分微积分是经济数学中最常用的工具之一，它涉及到函数、导数、微积分积分、微分方程等方面的知识。
首先，函数是经济学中的基本概念，因为大多数经济现象都可以使用数学函数来描述，例如需求函数、供应函数、收益函数等。
导数是微积分的核心，它表示函数在某一点的变化率。
对于一个经济问题而言，在坐标平面上构建函数之后，利用导数可以很容易地求出函数在某一点的切线斜率，该切线斜率可以帮助我们解决许多经济问题，例如最大化收益、利润以及最小化成本等。
其次，微积分积分是微积分的另一个重要方面，它可以帮助我们计算从一个特定值到另一个特定值之间函数的面积、体积、距离等。
例如，在经济学中，我们可以通过积分计算某种商品的总收益，以及某个企业的总成本。
最后，微分方程是经济学家经常使用的工具之一，它用于解决经济模型中的动态问题。
例如，在宏观经济学中，经济学家使用微分方程来解释经济体系变化的长期趋势，例如通货膨胀、失业率等。
二、统计学统计学是经济数学中另一个重要方面，它涉及概率、假设检验、回归分析等方面的知识。
首先，统计学中的概率概念对经济学研究有着广泛的应用，随机性和不确定性是经济学的重要特征。
而概率理论可以帮助我们分析和评估不确定性带来的风险和机遇。
其次，假设检验是经济统计学中常用的工具，用于检验一个假设的正确性。
例如，在经济学中，我们可以使用假设检验来检验两种经济政策的效果，或者检验两种商品价格的差异是否具有统计学意义。
除此之外，回归分析是一种统计学工具，用于确定某个变量对另一个变量的影响。
例如，在经济学中，我们可以通过回归分析来确定利率对货币供应量的影响程度，以及失业率对经济增长的影响程度。
三、优化理论优化理论是经济学中的另一个重要方面，它涉及线性规划、非线性规划等方面的知识。
在经济学中，我们经常需要解决最优化问题，例如最大化利润、最小化成本等。
这时，线性规划和非线性规划就可以成为我们的好帮手了。
总之，经济数学在经济学研究中起着重要的作用，它可以帮助我们更好地理解和解释经济现象，提供数学工具和方法，支持经济决策。
经济数学基础——定积分在经济学中的应用
河北省高等教育自学考试定积分在经济学中的应用——定积分在经济学中的应用地市：沧州市专业：投资管理姓名：郭梦帆准考证号：1 身份证号：联系电话：内容摘要经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则，根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑，以知识介绍为重点，详略得当；叙述上力求简明、通俗，又不失科学性。
关键词：定积分微分经济学边际函数投资经济数学基础知识点1.一元函数极值设函数f（x）在X0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于X0的X恒有:f(x)<f(x0)，则称f(X0)为函数的极大值，称X0为函数的极大值点.f(X)>f(X0)，则f(X0)称为函数的极小值，称X0为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点。
极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个。
2.二元函数极值设函数Z=f(x, y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点，如果都有f(x, y)<f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数Z=f（x, y）的极大值；如果都有f(x, y)>f(x0,y0)，则称f(x, y)为函数Z=f(x, y)的极小值；极大值和极小值统称为二元函数Z=(x, y)的极值；使二元函数Z=（x, y）取得极大值的点或者极小值的点f(x0,y0)，称为极大值点或者极小值点；极大值点和极小值点统称为极值点．求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决．及一元函数类似，可以利用函数的极大值、极小值求解函数的最大值、最小值，但是由于自变量个数的增加，应特别注意概念中的一些变化和计算．对于二元以上的函数极值问题可类似的加以解决，如可以将二元函数极值问题的理论推广到多元函数的情形，以及利用泰勒公式推导出判断多元函数极值存在的充分条件、极值不存在的必要条件等。
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=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
A
指数函数：Q aebP , 其中 A 0 , b 0
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供 给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需平衡点，
g ( x ) cx a 由于 g ( 2 x ) 2 a cx a 2 a g ( x )
规模报酬不变； 可见，当a 1 时， 如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时， 加不到一倍，即规模报酬递减；
如果投入增加一倍，产出增 当 a 1 时，
加不止一倍，即规模报酬递增 .
四、成本函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到 的全部收入. 用 Q 表示出售的产品数量，R 表 示总收益, R 表示平均收益，则
R(Q ) R R(Q ) , R Q
如果产品价格 P 保持不变，则
R(Q) PQ , R P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100,求总收 益和平均收益．
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
第五节Βιβλιοθήκη 经济学中的常用函数一、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P的函数。记作
Q f (P)
则 f 称为需求函数.
常见的需求函数：
线性需求函数： Q a bP,
a, b 0
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润．
解 由题意知 P 20 （ 万元） ,
总收益为 R(Q) P Q 20Q 所以L(Q) R(Q) C (Q)
20Q (20 2Q 0.5Q2 ) 20 18Q 0.5Q 2 L(10) ( 20 18 10 0.5 102 ) 110(万元).
七、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求
量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然
一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，
Q T 每次进货批量为 q ，进货周期为 t . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
解 P 0 时 Q b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量；
b b Q 0 时 P , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素，
可以认为 Q 是 P 的函数。记作
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
Q2 例 3 已知某种产品的总成本函数为C (Q ) 1000 . 8
求当生产 100 个该产品时的总成本和平均成本．
解 由题意，求产量为100时的总成本
100 C (100) 1000 2250 , 8
2
2250 平均成本为 AC (100) 22.5 100
五、收益函数
4.(1)C ( X ) 150 10X (元)(0 X 100); 150 C (X ) 10(0 X 100); X ( 2) R( X ) 14X (元 （ ) 0 X 100 ） ; ( 3) L( X ) 150 4 X (元)(0 X 100)；
5.某产品之需求函数为 Qd =20-3P,供给函数为
Qs =5P-1,求该商品的静态均衡价格。
6.某工厂生产某产品年产量为 x 台，每台售 价为 250 元，当年产量在 600 台以内时，可 以全部售出，当年产量超过 600 台时，经广 告宣传后又可多出售 200 台，每台平均广告 费为 20 元，生产再多，本年就售不出去了。 试建立本年的销售总收入 R 与年产量 x 的关 系。
250x ,0 x 600 5. R 250 600 ( 250 20)( x 600),600 x 800 250 600 230 200, x 800 21 6. Pe ; 8
2
二次曲线需求函数： Q a bP cP
指数需求函数： Q Ae bp
( 其中 a,b,c,A > 0 )
幂函数：Q kP A , 其中 A 0 , k 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q aP b (a , b 0)
讨论 P 0 时的需求量和Q 0 时的价格 .