2.2 复数域数学模型
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自控第2章(1)
例1 试列写如图所示RLC无源网络的微分方程 试列写如图所示RLC RLC无源网络的微分方程
解: (1) 确定电路的输入量和输出量 ＋ (2) 列出原始微分方程式 (3) 消去中间变量，把微分方程 ur(t) 消去中间变量， 整理成标准形式 －
L R i C － ＋ uc(t)
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC + RC + uc ( t ) = ur ( t ) 2 dt dt
Kg =
K1K2 K3 Km
(i + K1K2 K3 KmKt )
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′ = KC KC
(i + K1K2 K3 Km Kt )
2.2 控制系统的复数域数学模型
2.2.1传递函数 2.2.1传递函数 传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变 传递函数：是在零初始条件下， 换与输入量的拉氏变换之比。 换与输入量的拉氏变换之比。 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统， 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在 t≥0时才作用于系统 t=0时 系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； r(t)以及其各阶导数均为零 t=0时，系统输入量r(t)以及其各阶导数均为零； 二是指输入量加于系统之前， 二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0 c(t)及其各阶导数在t=0时的 工作状态，即输出量c(t)及其各阶导数在t=0时的 值也为零。 值也为零。
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自动控制理论
制作人：范 娟 制作人：
课堂练习
如图a和 所示均为自动调压系统 设空载时， 所示均为自动调压系统。 与图b 如图 和b所示均为自动调压系统。设空载时，图a与图 与图 发电机端电压均为110V。试问 带上负载后，图a与图 所示系 带上负载后， 与图b所示系 发电机端电压均为 。 与图 统哪个能保持110V电压不变？哪个系统的电压会稍低于 电压不变？ 统哪个能保持 电压不变 哪个系统的电压会稍低于110V？ ？ 为什么？ 为什么？
复数域数学模型传递函数结构图
1 ejt e jt estdt 0 2j
1 1
1
2j
s
j
s
j
s2
2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
(t)
函数的表达式为
O
t
(t)
0
t0 t0
且
(t)dt 1
1 e stdt 1 e st
0
s
0
1 [0 s
1]
1 s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.单位斜坡函数
f(t)
数学表达式为
t t ≥0
f
(t
)
t
1(t
)
0
其拉氏变换为
t0
O
斜 率 =1
t
F (s) [L f (t )] f (t )estdt t estdt
此时，
d ƒs
dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
3.积分定理
设F(s)=L
[f(t)]
，则有
L
f
(1) (t )
1 F(s) s
1 s
f (1) (0)
当 f (n)(0) L f (1)(0) 时的积分法则：
L
f
(n) (t )
1 sn
F(s)
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
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控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
2.2 复数域数学模型
m1
m2
G(s)
K s
( js 1) ( k 2s2 2 k k s 1)
j 1
k 1
n1
n2
(Tis 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
i 1
l 1
22
2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响
传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统 自由运动的模态。
G(s) C(s) 6(s 3) , R(s) (s 1)(s 2)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
若uc(0)=0
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
或
G(s) Uc(s) 1 1
Ur (s) RCs 1 Ts 1
式中 T=RC
4
1、定义
零初始条件下，输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)]
控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯性环节 、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。
25
1. 比例环节（放大环节） 微分方程：C(t) Kr(t) 传递函数：G(s) K(增益、放大系数）
方框图： R(s) K C(s)
特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、 放大器、分压器、齿轮、减速器等等，在一定条件下都可以 认为是比例环节。Leabharlann 26+ E
-
u(t)
+
(t) •
(s)
U (s)
K
电位器
G(s) U(s) K
高中数学北师大版选修22512复数的有关概念课件17张[可修改版ppt]
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是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）复数的一个y几何意义 （形）
建立了平面直角
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
例2:用复平面内点表示复数(每个小方格的 边长是1)：3-2i, 3i, -3, 0.
高中数学北师大版 选修22512复数的 有关概念课件17张
数系的①分扩数充分过数程 .
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
与y.
2x 1 y 1 3 y
x2,y2
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1 时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）复数的一个y几何意义 （形）
建立了平面直角
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
例2:用复平面内点表示复数(每个小方格的 边长是1)：3-2i, 3i, -3, 0.
高中数学北师大版 选修22512复数的 有关概念课件17张
数系的①分扩数充分过数程 .
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
与y.
2x 1 y 1 3 y
x2,y2
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
复数域
x j ≥0
x j ≥0
∑ xj + i∑ yj ≥
x j ≥0
x j ≥0
∑ xj ≥
1 1 > . 4 6
• 1.3.复数的单位根
2kπ 2kπ + i sin (k = 0,1,⋯ , n − 1)称为 的n 1 n n 次单位根.由棣莫弗定理, 全部n次单位根可表示为 , ε 1 , ε 12 ,⋯ , ε 1n −1.并有如下性质 : 1 方程x n − 1 = 0( n ≥ 2)的n个根ε k = cos
复数域
1.复数知识
• 1.1.复数的表示形式与运算
代数形式z = x + iy, x, y ∈ R, i 2 = −1, x称为z的实部, 记x = Re( z ); y为虚部, 记y = Im( z ).
三角形式z = r (cos θ + i sin θ )(r ≥ 0, θ ∈ R ), r称为z的模, θ为辐角, 记辐角主值θ = arg z.
1 + ε 1 + ε 12 + ⋯ + ε 1n −1 = 0(n ≥ 2)
任意两单位根之积仍为一个n次单位根, 且ε i ⋅ ε j = ε i + j (当i + j ≥ n时, ε i + j = ε k , 其中k为i + j除以n的余数).
设m为整数, n ≠ 1, 则 + ε + ε + ⋯ + ε 1
3 2
(2 x + 2) + (2 x + 2) + (5 − 4 x) 2 5 − 4 x = (2 + 2 x) 2 (5 − 4 x) ≤ [ ] = 3 3.当且仅 3 1 3 1 当z = ± i时, 取最大值3 3 当2 x + 2 = 5 − 4 x,即x = 时, 等号成立.此时 . 2 2 2 当z = −1时, 取最小值0
x j ≥0
∑ xj + i∑ yj ≥
x j ≥0
x j ≥0
∑ xj ≥
1 1 > . 4 6
• 1.3.复数的单位根
2kπ 2kπ + i sin (k = 0,1,⋯ , n − 1)称为 的n 1 n n 次单位根.由棣莫弗定理, 全部n次单位根可表示为 , ε 1 , ε 12 ,⋯ , ε 1n −1.并有如下性质 : 1 方程x n − 1 = 0( n ≥ 2)的n个根ε k = cos
复数域
1.复数知识
• 1.1.复数的表示形式与运算
代数形式z = x + iy, x, y ∈ R, i 2 = −1, x称为z的实部, 记x = Re( z ); y为虚部, 记y = Im( z ).
三角形式z = r (cos θ + i sin θ )(r ≥ 0, θ ∈ R ), r称为z的模, θ为辐角, 记辐角主值θ = arg z.
1 + ε 1 + ε 12 + ⋯ + ε 1n −1 = 0(n ≥ 2)
任意两单位根之积仍为一个n次单位根, 且ε i ⋅ ε j = ε i + j (当i + j ≥ n时, ε i + j = ε k , 其中k为i + j除以n的余数).
设m为整数, n ≠ 1, 则 + ε + ε + ⋯ + ε 1
3 2
(2 x + 2) + (2 x + 2) + (5 − 4 x) 2 5 − 4 x = (2 + 2 x) 2 (5 − 4 x) ≤ [ ] = 3 3.当且仅 3 1 3 1 当z = ± i时, 取最大值3 3 当2 x + 2 = 5 − 4 x,即x = 时, 等号成立.此时 . 2 2 2 当z = −1时, 取最小值0
自动控制原理总复习资料解答题
开环控制系统系统的输入和输出之间不存在反馈回路，输出量对系统的控制作用没有影响,这样的系统称为开环控制系统。开环控制又分为无扰动补偿和有扰动补偿两种。
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路,即输出量对控制作用有直接影响的系统,叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨பைடு நூலகம்的主要是闭环负反馈控制系统。
1。3对自动控制系统的基本要求
1什么是自动控制：所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置（控制器)，使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控变量)自动地按照预定规律运行。
2自动控制系统是指由控制装置与被控对象结合起来的，能够对被控对象的一些物理量进行自动控制的一个有机整体
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量,也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号.
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
输入
类型
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
第四章：知识点
1、根轨迹中，开环传递函数G（s)H(s)的标准形式是
2、根轨迹方程是
．
相角条件：绘制根轨迹的充要条件
幅值条件:
3、根轨迹法的绘制规则。
4、能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指标之间的关系.能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。
闭环控制系统凡是系统输出端与输入端存在反馈回路,即输出量对控制作用有直接影响的系统,叫作闭环控制系统。
自动控制原理课程中所讨பைடு நூலகம்的主要是闭环负反馈控制系统。
1。3对自动控制系统的基本要求
1什么是自动控制：所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置（控制器)，使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控变量)自动地按照预定规律运行。
2自动控制系统是指由控制装置与被控对象结合起来的，能够对被控对象的一些物理量进行自动控制的一个有机整体
控制量作为被控制量的控制指令而加给系统的输入星．也称控制输入。
扰动量干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量,也称扰动输入或干扰掐入。
反馈通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端，与输入信号相比较。反送到输入端的信号称为反馈信号.
负反馈反馈信号与输人信号相减，其差为偏差信号。
负反馈控制原理检测偏差用以消除偏差。将系统的输出信号引回插入端，与输入信号相减，形成偏差信号。然后根据偏差信号产生相应的控制作用，力图消除或减少偏差的过程。
∞
K
0
Ⅱ型
∞
∞
K
输入
类型
0型
∞
∞
Ⅰ型
0
∞
Ⅱ型
0
0
第四章：知识点
1、根轨迹中，开环传递函数G（s)H(s)的标准形式是
2、根轨迹方程是
．
相角条件：绘制根轨迹的充要条件
幅值条件:
3、根轨迹法的绘制规则。
4、能用根轨迹法分析系统的主要性能，掌握闭环主导极点与动态性能指标之间的关系.能定性分析闭环主导极点以外的零、极点对动态性能的影响。
2-2 复数域数学模型-传递函数
(6)时间比例尺(相似)定理
t L[ f ( )] aF (as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟，则其象函数应乘以 e 。
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
ci lim[ F (s )(s pi )]
s pi
1 例4 求F ( s) 的原函数。 ( s 1)( s 2)( s 3)
解：设F ( s) c c c 1 1 2 3 ( s 1)( s 2)( s 3) s 1 s 2 s 3
1 1 1 1 1 1 所以： F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 所以： f (t ) et e2t e3t 6 15 10
(2)D(s)=0包含r重根
F (s) N (s) ( s p1 ) r ( s pr 1 ) ( s pn ) c cr cr 1 c c [ 1 ] r 1 n ( s p1 ) r ( s p1 ) r 1 s p1 s pr 1 s pn
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？
如何求解得到的微分方程式？
对于高阶线性微分方程如何求解？
使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪 些优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运 算变换成代数运算或查表) ，容易求出系统 对输入的响应。 引入传递函数的概念(复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法) 分析和设计系统成为可能。
液位控制系统原理图
t 0
s
lim f (t) lim s F(s)
t
s0
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.0 引言 2.1 控制系统的数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 系统的结构图与信号流图
6
本章要求:
1、了解建立系统微分方程的一般方法； 2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； 3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； 4、明确传递函数与微分方程之间的关系； 5、能熟练地进行结构图等效变换； 6、明确结构图与信号流图之间的关系； 7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数； 8、掌握系统的开环、闭环传递函数，对参考输入和干扰
3
0.1e0.5t cos0.866t 3 e0.5t sin 0.866t 10
11.15e0.5t sin( 0.866t 120)
0.2e0.5t sin( 0.866t 30)
28
利用拉氏变换的初值定理，u0 (t) 的初值为
u0
(0)
lim
t0
u0
9
3.建模方法
分析法 通过系统本身机理（物理、化学规律）的分析， 确定模型的结构和参数从理论上推导出系统的数学模型 实验法 根据对系统的观察，通过测量所得的大量输入 输出数据推断出被研究系统的数学模型
4.常用数学模型
数学模型
时域模型 微分、差分方程
频域模型 传函、频率特性
方框图和信号流图
19
直流电动机
齿轮系
Tm
dm
dt
m
Kmua
Kc M c
设齿轮系的转速比为i，则电动机转速m经齿轮系减 速后变为，故有
测速发电机
2.2-6传递函数
d d d a0 n c(t) +a1 n1 c(t) ++an1 c(t) +anc(t) dt dt dt m m1 d d d =b0 m r(t) +b m1 r(t) ++bm1 r(t) +bmr(t) 1 dt dt dt
n
n1
y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入， y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零 为系统的输出 为系统输入 初始条件下，对上式两边取拉氏变换， 初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到 系统传递函数为： 系统传递函数为：
一、传递函数的定义和概念
以上一节RLC电路的微分方程为例： 以上一节RLC电路的微分方程为例： RLC电路的微分方程为例
d 2 u C (t ) du C ( t ) LC + RC + u C (t ) = u r (t ) 2 dt dt
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到： 设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
K(2s + 1) G(s) = s(Ts + 1)(τ 2s2 + 2ξτ s + 1)
四、控制系统的传递函数
电气网络传递函数的求取 图中z 例： 图中 1和z2为复数阻 抗，由图
I= Ur (s) Uc (s) = Z1 + Z2 Z2
图2-18 具有传递滞后的装置
即
U c ( s) Z2 = G ( s) = U r (s) Z1 + Z 2
1）R-L-C电路的传递函数 ） 电路的传递函数
U c (s ) 1 = U r (s ) LCs 2 + RCs + 1
2）弹簧 质量 阻尼器系统的传递函数 ）弹簧-质量 质量-阻尼器系统的传递函数
2.2 复数域数学模型
D传递函数与微分方程的关系
（1）传递函数由零初始条件微分方程经LapLace变换而得。 （2）如果将微分方程中的导数运算符用复变量s代换，可得 dk sk dt k
r (t ) c(t )
R(s) C ( s)
d n c(t ) d n1c(t ) d mc(t ) d m1c(t ) a0 a1 an b0 b1 bm n n 1 m m 1 dt dt dt dt
R(S)
G(S)
C(S)
说明:传递函数的极点就是特 征方程的根.决定了系统自由
运动的模态,在强迫运动(零初
始条件响应)也包含这些模态.
r2 )] s+ 5
c(t ) = 9r1 - r2e - 5t + (3r1 - 12r2 )e - 1t + (3r1 - 2r2 )e - 2t
B、 零点影响各模态在响应中所占的比重
c1(t ) = 1 + 2e- t - 3e- 2t
说明:传递函数的极点不影响系统自由 运动的模态,但影响各模态响应中占的 比重,因而影响曲线的形状.
c2(t ) = 1 - 0.5e- t - 0.5e- 2t
零初始条件的两个含义： （1）指系统处于“稳态”，输出量及其各阶导数在T=0时为零。
（2）指系统处于“静态”，输入量及其各阶导数在T<=0时为零。
[关于传递函数的几点说明] • 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微 分方程一一对应，且与系统的动态特性一一对应。 • 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物 理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传 递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传 递函数的各种系统。 • 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。 只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 • 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有 多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外， 其它的输入量一概视为零。 • 传递函数忽略了初始条件的影响。 • 传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的 阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。
第二章 自动控制原理(傅里叶变换到拉普拉斯变换)
第二章 控制系统的数学模型
主要内容：
1）控制系统的时域数学模型的建立； 2）复习傅里叶变换拉普拉斯变换； 3）控制系统的传递函数，典型元部件的传递函数； 4）控制系统的结构图及等效变换； 5）信号流图（梅逊公式）及控制系统的传递函数。
基本要求：
1）掌握系统微分方程建立的方法； 2）熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性； 3）熟悉常用元部件（典型环节）的传递函数及常用的传递函数形式； 4）学会由系统微分方程建立系统结构图，熟练掌握用拉氏变换方法求 解线性常微分方程的方法； 5）熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。
工程控制中常用的数学模型形式： 时域描述——微分方程、差分方程、状态方程 复域描述——传递函数、方块图（结构图）、信号流程图 频域描述——频率特性 模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动
态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构 情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比 较合理。
dn
1 T
T2
T 2 fT(t) cosnt isinnt
dt 1 T
T2 T 2
f
(t)Teintdtcn
n1,2, (cn cn) .
合 并 为 ： c n T 1 T T 2 2 fT ( t) e in td tn 0 , 1 , 2 ,
级 数 化 为 (指 数 形 式 )：
数学基础：傅里叶变换与拉普拉斯变换 .
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
.
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t
（时域）
L
1
主要内容：
1）控制系统的时域数学模型的建立； 2）复习傅里叶变换拉普拉斯变换； 3）控制系统的传递函数，典型元部件的传递函数； 4）控制系统的结构图及等效变换； 5）信号流图（梅逊公式）及控制系统的传递函数。
基本要求：
1）掌握系统微分方程建立的方法； 2）熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性； 3）熟悉常用元部件（典型环节）的传递函数及常用的传递函数形式； 4）学会由系统微分方程建立系统结构图，熟练掌握用拉氏变换方法求 解线性常微分方程的方法； 5）熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。
工程控制中常用的数学模型形式： 时域描述——微分方程、差分方程、状态方程 复域描述——传递函数、方块图（结构图）、信号流程图 频域描述——频率特性 模型各有特点，使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动
态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构 情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比 较合理。
dn
1 T
T2
T 2 fT(t) cosnt isinnt
dt 1 T
T2 T 2
f
(t)Teintdtcn
n1,2, (cn cn) .
合 并 为 ： c n T 1 T T 2 2 fT ( t) e in td tn 0 , 1 , 2 ,
级 数 化 为 (指 数 形 式 )：
数学基础：傅里叶变换与拉普拉斯变换 .
数学模型的形式
➢时间域： 微分方程 差分方程 状态方程
➢复数域： 传递函数 结构图
➢频率域： 频率特性
.
“三域”模型及其相互关系
微分方程 t
（时域）
L
1
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传递函数：
R(s)
1 T 2 s 2 2 Ts 1
C ( s)
式中：——阻尼比，
T——振荡环节的时间常数。
频率特性：
G( j )
C ( j ) 1 R( j ) (1 T 2 2 ) j 2 T
R
L
+
i (t )
例1：RLC电路
di(t) 1 r(t) L ri(t) i(t)dt dt C 解： 1 c(t) i(t)dt C
2-2 复数域数学模型
引言
一、传递函数的定义和性质
二、传递函数的几种表达式 三、传递函数极点、零点对输出的影响 四、典型元部件的传递函数
引言
传递函数的由来
对初始条件为零的微分方程进行LapLace变换而来 利用元部件的L表达式直接写出系统传递函数
使用传递函数的优点
使时域微分方程变成频域代数方程，减小问题的复杂度。 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析 综合
可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求 --整个经典控制理论建立在传递函数基础上。 积累着前人的丰富经验。
传递函数的局限性
只适合线性时不变系统，全零初始条件 只适用于解析计算，但不适用于数值计算
一、传递函数的定义和性质
A 定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与 C ( s ) G ( s ) R( s ) 输入量的拉氏变换之比。
1 B J B s 1
R(s)
1 L s 1 R
C (s)
F (s)
V (s)
T (s)
( s )
5、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个
储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。 R( s ) C (s) 1 T 2 s 2 2 Ts 1
运动方程：
2 d c(t) dc(t) 2 T 2ζT c(t) Kr(t) 2 dt dt
i1 (t )
R1
+
R3
K
c (t )
r (t )
R(s)
1 R1Cs
C (s)
运动方程： 传递函数： （T=R1C） 频率特性：
c(t)
1 1 1 i (t)dt r(t)dt r(t)dt c C R1C T
C(s) 1 K G(s) R(s) Ts s
K
例 2：输入：n1(t)——转速 输出：n2(t)——转速
Z1——主动轮的齿数 Z2——从动轮的齿数
N1 s
z1 z2
N2 s
Z1
n1 (t )
n2 ( t )
Z2
运动方程：
n 2 (t)
z1 n1 (t) z2
传递函数：
N 2 (s) z1 G(s) K N1 (s) z 2
D传递函数与微分方程的关系
（1）传递函数由零初始条件微分方程经LapLace变换而得。 （2）如果将微分方程中的导数运算符用复变量s代换，可得 dk k s dt k
r (t ) c(t )
R(s) C ( s)
d n c(t ) d n1c(t ) d mc(t ) d m1c(t ) a0 a1 an b0 b1 bm n n 1 m m 1 dt dt dt dt
其他运算后的得到的传递函数通常都写成有理式。
（2）分子分母多项式以降幂的形式排列，各项系数多是实数。
（3）该形式在观察初值，终值时特别直观。 （4 ）该形式在观察稳态误差时也特别直观。
拉氏变换终值定理 的应用
B 传递函数的零极点增益形式
b0 ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) k* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
+
r(t)
_
C
c(t)
_ _
d 2c(t) dc(t) LC RC c(t) r(t) 2 消去中间变量i(t)得到运动方程： dt dt
传递函数： 频率特性：
1 G(s) LC s2 RC s 1
n n 1 m m 1 a s a s a C ( s ) b s b s bm 1 n 1 0 0 R(s )
C (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) n n 1 R(s) a0 s a1s an1s an
二、传递函数的几种表达式
A 一般形式表达式： “有理分式”型
C (s) b0 s b1s bm1s bm G( s) R(s) a0 s n a1s n1 an1s an
m
m 1
【说明】
（1）由微分方程Laplace变换，结构图，信号流图综合及
c(t ) = l - 1[C (s )]
运动的模态,在强迫运动(零初 r2 )] s + 5 始条件响应)也包含这些模态.
c(t ) = 9r1 - r2e - 5t + (3r1 - 12r2 )e - 1t + (3r1 - 2r2 )e - 2t
B、 零点影响各模态在响应中所占的比重
4s + 2 (s + 1)(s + 2) 1.5s + 2 G 2 (S ) = (s + 1)(s + 2) G 1 (S ) =
【说明】
（1）分子分母均分解成“标准因子”乘积 （2）各因子中，系数都是实数，且具有鲜明的物理概念。 （3）该形式适合绘制对数幅频曲线（Bode）。（第五章，频率域法） （4）该形式适于观察低频增益
D 传递函数的“部分分式”形式
rj w j fh gi ( s i ) G( s ) 2 2 2 2 s p ( s ) w ( s ) w h 1 n 1 j 1 h i i j j
R(s)
1 Ts 1
C (s)
运动方程： 传递函数：
dc(t) T c(t) Kr(t) dt
G(s) K Ts 1
频率特性：
K G(jω ) jTω 1
其他一些惯性环节例子
L r(t)
R
B
c(t)
f (t )
M
v (t )
T (t )
J
(t )
B
1 B J B s 1
2、微分环节
特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
R(s)
S
C (s)
运动方程：
dr(t) C(t) K dt
G(s) C(s) KS R(s)
传递函数：
频率特性：
C(jω ) G(jω ) jKω R(jω )
i (t )
C
例1
RC电路
u r (t )
R
u c (t )
频率特性：
G(jω )
N2 (jω ) N1 (jω )
z1 K z2
其它一些比例环节
+ Ec
R
ic (t )
R2 R1
r (t )
r1
+
R3
K
c (t )
r2
r (t ) c (t )
ib (t )
R(s)
r2 r1 r2
C s
R(s)
R2 R1
C s
Ib (s)
Ic (s)
1 4s 2 C1 ( s) s ( s 1)(s 2) 1 1.5s 2 C2 ( s ) s ( s 1)(s 2)
c1 (t ) = 1 + 2e - t - 3e - 2t c2 (t ) = 1 - 0.5e - t - 0.5e - 2t
说明:传递函数的极点不影响系统自由 运动的模态,但影响各模态响应中占的 比重,因而影响曲线的形状.
四、典型环节及其数学模型 1.比例环节（又叫放大环节）
特 点： 输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。 运动方程: c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。 传递函数： G(s)
C (s) K R(s)
R( s)
C ( s)
频率特性： G(j ) C(j ) K R(j )
（Tc=RC）
U c (s) G(s) Tcs 当Tc<<1时，又可表示成： U r (s)
频率特性：G（j）=jTc——此时可近似为纯微分环节。
其他微分环节举例
i (t )
C
Hale Waihona Puke i (t )Cu c (t )
i (t )
u (t )
L
e L (t )
R
Cs
U c (s)
I (s)
Cs
U (s)
1
R
+ +
I (s)
I (s)
Ls
EL (s)
3、积分环节
特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。
R(s)
1 s
C (s)
运动方程：
传递函数： 频率特性：
dc(t) Kr(t) dt
G(s) K s
G(jω )
K jω
ic (t )
C
例：如右电路
输入为r(t)，输出为c(t)
i c (t) i1 (t) r(t) R1
A、 极点决定了固有响应的模态 R(S) G(S) C(S)
当输入r (t ) = r1 + r2e
对应R (S ) =
C (s ) 6(s + 3) G (S ) = = R (S )- 5t (s + 1)(s + 2)