复数域数学模型传递函数结构图

t f (t ) t 1(t ) 0
其拉氏变换为
t ≥0 t0
st
斜 率 =1
O

t
0
F ( s) [ L f ( t )] 1 st te s 1 2 s
0 0
f ( t )e dt
st 0
t e st dt
1 1 e dt 0 0 s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉式变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4.1 控制系统的结构图 2-4.2 控制系统的信号流图
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型 ：在静态条件下 / 平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
0 0
O
t
f ( t )e dt
st

0
1 2 st t e dt 2


0
t e st dt
1 1 1 0 0 2 3 s s s
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第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f (t ) 0
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理化学定律列写运动 方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并 用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
•常见的数学模型
时域数学模型：微（差）分方程、状态方程； 复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图； 频域数学模型：频率特性。
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )]
st 0
t ≥0 t0
st
O
t
0
f ( t )e dt
0
1 st 1 e dt e s
1 1 [0 1] s s
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第二章 控制系统的数学模型
f ( t)
2.单位斜坡函数 数学表达式为
L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
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第二章 控制系统的数学模型
2.微分定理
设F(s)=L [ f (t)]，则有 一阶微分： L f (t ) sF ( s) f (0) 二阶微分： L f (t ) s2 F ( s) sf (0) f (0)


0
f (t )e dt
F ( s)

st
( s j为复变量)
存在，则由此积分所确定的函数可写为
0
f (t )e dt
- st
自动控制原理Biblioteka 第二章 控制系统的数学模型
称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作
F ( s) L[ L f (t )]
F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函
3 2 L f ( t ) s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 三阶微分：
其中f(0), f(0), …为f(t)及其各阶导数在 t=0处的值。 n L f (t ) ?
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第二章 控制系统的数学模型
当 f (0) f (0) f (0) L f ( n1) (0) 0 时的微分法则：
数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换， 记作 1
f (t ) L [F ( s)]
f (t )
2 j
1
j
j
F ( s )e ds
st
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第二章 控制系统的数学模型
二、几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数1(t)
数学表达式为
f ( t) 1
1 f (t ) 1( t ) 0

0
1 j t j t st e e e dt 2j
1 1 1 2 2j s j s j s 2
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第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
( t)
函数的表达式为
t 0 (t ) 0 t 0
其拉氏变换为
O
且 (t )dt 1


t
F ( s) [ L ( t )] ( t )e dt 1
st 0

拉氏变换的积分下限
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第二章 控制系统的数学模型
三、拉氏变换定理
1.线性性质
设F1(s)=L [ f1(t)]，F2(s)=L [ f2(t)]，a和b为常 数，则有
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s)
此时，
d ƒ s dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
其中结构图、信号流图是图形化的数学模型。
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第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉氏变换
t域 s域
微分方程 初始条件
拉氏变换
代数方程
方程的解
拉氏反变换
方程的解
用拉氏变换解微分方程示意图
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第二章 控制系统的数学模型
一、 拉氏变换的定义 1. 定义
设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分
其拉氏变换为
at
t ≥ 0(a为实数) t0
at at st
F ( s) L e
e e d t 0 1 ( s a )t e dt 0 sa
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第二章 控制系统的数学模型
5.正弦函数sint 正弦函数定义为
sin t t ≥ 0 sin t t0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L [sin t ] sin te st dt 0