复数域数学模型传递函数结构图
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复数域数学模型传递函数结构图
1 ejt e jt estdt 0 2j
1 1
1
2j
s
j
s
j
s2
2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
(t)
函数的表达式为
O
t
(t)
0
t0 t0
且
(t)dt 1
1 e stdt 1 e st
0
s
0
1 [0 s
1]
1 s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.单位斜坡函数
f(t)
数学表达式为
t t ≥0
f
(t
)
t
1(t
)
0
其拉氏变换为
t0
O
斜 率 =1
t
F (s) [L f (t )] f (t )estdt t estdt
此时，
d ƒs
dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
3.积分定理
设F(s)=L
[f(t)]
，则有
L
f
(1) (t )
1 F(s) s
1 s
f (1) (0)
当 f (n)(0) L f (1)(0) 时的积分法则：
L
f
(n) (t )
1 sn
F(s)
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
传递函数及方块图剖析
则G(s) = Uo s = RCS
(RC = T
K 1
Ui s RCS + 1
K = 1)
Gs k
4 积分环节
s
时间域方程
xo t k xi t dt
X o s
k
X i s
s
X o s X i s
k s
例9
i2(t)
i1(t) ui(t)
R
A
B
C
_
K0 +
uo(t)
ui (t) = -C duo (t)
传递函数及 典型环节的传递函数
一、传递函数定义：
在初始条件为零时，线性
定常系统输出象函数 Xo s与输 入象函数 Xi s 之比。
Gs
X o s Xi s
Xi s Gs Xo s
设线性定常系统的微分方程为：
a
0
xon
t
a1
x
n1
o
t
a
n1
x
o
t
a
n
x
o
t
b0
x
m
i
t
b1
x
m
i
1
t
bm 1
x i
t
则G(s) = Uo s =
1
Ui s RCS + 1
(RC = T)
例4
弹簧-阻尼系统
K
xi
t
xo
t
D
dxo
dt
t
KXi s KXo s DsXo s
Gs
Xo s Xi s
K Ds
K
D
1 s 1
K
Gs Ks
2-2 传递函数及方块图
2－2
传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：
19
2－3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数： 假设N(s)＝0，则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)
传递函数
传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变
换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：
L[c(t)] C(s) G(s) L[r(t)] R(s)
式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换：
19
2－3
方块图
4、误差传递函数 a) 在控制量作用下系统的误差传递函数： 假设N(s)＝0，则
E ( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) C ( s) H ( s) 1 R(s) R( s ) R( s )
G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 1 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 (s)G2 ( s) H ( s)
C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传变换方式 A +
原方块图 + B C + B + C A BC
等效方块图
A
+ + C
+ _
A BC
1
比较点交换
X1 (s) X 2 (s) C(s)
所以
G(s)
C(s) X 1 (s) X 2 (s) X 1 (s) X 2 (s) R(s) R(s) R(s) R(s)
G 1 (s) G 2 (s)
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统的复数域数学模型
4）传递函数的拉氏反变 换就是系统的脉冲响应
5）令传递函数分子为零可求得系统的零点； , 令传递函数分母为零可求得系统的极点； ,
传递函数与结构图(P45)
R(s)
Φ(s)
C(s) (s ) R (s )
C(s)
1 Y(s) X(s) Ts 1
X(s)
1 Ts 1
Y(s)
R(s)•Φ(s)=C(s)
Y(s)
R(s)
Φ(s)
C(s)
Ts+1
X(s)
这样可以吗？
几个典型元件的传递函数(P51) 电机
d m ( t ) Tm m ( t ) K 1ua ( t ) K 2 M c ( t ) dt d m ( t ) Tm m ( t ) K m ua ( t ) K c M c ( t ) dt
封 面
制作人南京航空航天大学王凤如
xwfr01@
2-3目录
1、传递函数的定义和性质 2、传递函数的零点和极点 3、零点和极点对输出的影响 4、典型元部件的传递函数
传递函数的定义和性质(P45) 线性定常系统的传递函 数定义为：零初始条件 下， 系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之 比。
பைடு நூலகம்
电机控制的双容器液流系统(补充)
I(s) 输入信号
电机 阀门
Q1
Q2 Q3 输出信号
I(s) 输入信号
1 s5
Q1
1 Q2 s2
1 s3
Q3 输出信号
LC d 2 uo ( t ) dt 2 RC duo ( t ) uo ( t ) ui ( t ) dt
uo ( t ) 1 i ( t )dt C
自动控制原理课件第4次课 传递函数、结构图
• 一阶微分环节: G ( s ) s 1 • 振荡环节 : • 延迟环节
2 n 1 G( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2n s n 2
G ( s ) e s
哈尔滨工程大学自动化学院
20
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
注意： 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理 装置或元件。 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同 组成。
哈尔滨工程大学自动化学院
12
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-2 传递函数的零点和极点
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm an 1s an M (s) N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm
系统(或环节) 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X r ( s)
X c ( s) X r ( s)G( s)
X c (s)
哈尔滨工程大学自动化学院
7
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
系统传递函数的一般形式 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：
d d d a0 n c(t ) a1 n1 c(t ) an1 c(t ) an c(t ) dt dt dt m m 1 d d d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
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6
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
Part 2-4-1 传递函数的定义和性质
定义：在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于
传递函数
R ＋ i (t ) u r (t ) C u c (t ) L ＋
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。
复数域数学模型-传递函数
s
b 1
(s
c 1) 2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1,b 1, c 1
F (s) 1 1 1 s s 1 (s 1)2
f (t) L1[F (s)] 1 et tet
留数法
numerator
F(s)
N(s) D(s)
b0sm a0sn
1
的原函数。
(s 1)(s 2)(s 3)
解：设F (s)
1
c1 c2 c3
(s 1)(s 2)(s 3) s 1 s 2 s 3
其中：
c1
lim[ s1 (s
1)( s
1
2)(s
3)
(s
1)]
1 6
c2
lim[ s2 (s
1)( s
1 2)(s
3)
(s
2)]
1 15
c3
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 氏反变换。记为 L1[F(s)] 。由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
1
2
1
2
(2)积分性质
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f 1(0)
s
s
(3)微分性质
L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
§3-3 传递函数
d m (t ) 1 (t ) K u (t 1 K M (t ) ) m 1 a L dt L [G1 ( s )U a ( s )] L [G2 2 ( s)M c ( s )]
（2）令
L [G1 ( s )U a ( s ) G2 ( s ) M c ( s )]
因此，这种方法有很大的局限性。显然， 仅用微分方程这一数学模型来进行系统分析设计 ，显得十分不便。
§3-3 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来 的概念。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复 数域的数学模型－传递函数，是常用的一种数学模型。 用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间 接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以 根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性 能，找出改善系统品质的方法。 传递函数是经典控制理论的基础，是一个非常重要的基 本概念。 教学目的：掌握传递函数的概念及求法。 ☆ 主要内容 教学重点：求电路系统传递函数。 教学难点：求高阶系统响应。 一、传递函数 二、典型环节及其传递函数
三、常用的典型元部件的传递函数
一、传递函数 1.定义 对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 三要素: • 线性定常系统 • 零初始条件 • 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
L[c( t )] C ( s ) G( s) L[ r ( t )] R( s )
d s dt
（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
设Hale Waihona Puke r (t ) (t )
C (s) G(s) C (s) R( s )
R( s ) 1
（2）令
L [G1 ( s )U a ( s ) G2 ( s ) M c ( s )]
因此，这种方法有很大的局限性。显然， 仅用微分方程这一数学模型来进行系统分析设计 ，显得十分不便。
§3-3 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来 的概念。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复 数域的数学模型－传递函数，是常用的一种数学模型。 用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间 接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以 根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性 能，找出改善系统品质的方法。 传递函数是经典控制理论的基础，是一个非常重要的基 本概念。 教学目的：掌握传递函数的概念及求法。 ☆ 主要内容 教学重点：求电路系统传递函数。 教学难点：求高阶系统响应。 一、传递函数 二、典型环节及其传递函数
三、常用的典型元部件的传递函数
一、传递函数 1.定义 对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 三要素: • 线性定常系统 • 零初始条件 • 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
L[c( t )] C ( s ) G( s) L[ r ( t )] R( s )
d s dt
（5）传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
设Hale Waihona Puke r (t ) (t )
C (s) G(s) C (s) R( s )
R( s ) 1
2.3 控制系统的复数域数学模型 型
G (s) Y (s) X (s) k Ts 1
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
2.3传递函数及方块图
5 二阶振荡环节
对应时域方程： 拉氏变换：
1 G s = 2 2 T s + 2ζTs + 1
其中 0 < ζ < 1
T 2 xo t 2 Txo t xo t xi t T s X o s 2 TsX o s X o s X i s
1
G3
2
+
G2
A S
-
G1
+ H
Xo(s)
Xi(S)
-
A S
G1
G3 +
+ G2
Xo(s)
H
Xi(S)
1
G3 G1
2
+
G2
+ H
Xo(s)
步骤1） 比较点2 前移
G3/G1 Xi(S)
1
-
2 +
+
G1
H
G2
Xo(s)
步骤2） 比较点1、2交换位置
G3/G1
2
Xi(S)
+
1
+ -
G1 H
G2
Xo(s)
a n 1 s a n X o s
则系统传递函数为：
m m 1 Xo s b0 s b1 s bm 1 s bm G s n n 1 X i s a 0 s a 1 s a n 1 s a n
X i s
× G1 s × G2 s × G3 s 2 1
G7 s
-
G4 s
X o s
G6 s
X i s
控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
第三节 传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统
2-3 复数域数学模型-传递函数
传递函数的三大表达形式： 传递函数的三大表达形式：
b 0 s m + b 1 s m − 1 + L L b m -1 s + b m G (s) = a 0 s n + a 1 s n − 1 + L L a n -1 s + a n = b 0 ( s − z 1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) = K* a 0 ( s − p 1 )( s − p 2 ) L ( s − p n )
u
∏
sν
m
i =1 n −ν
(s -z i ) (s -p i )
∏
i= 1
=
Κ ∏ ( τ a i s + 1 ) ∏ ( τ b2i s 2 + 2 ς b iτ b i s + 1 )
i =1
η
sν
∏
i= 1
ρ
i =1
(T c i s + 1 ) ∏ (T d2i s 2 + 2 ς d i T d i s + 1 )
∏ (s-z )
s
ν
i =1 n −ν i
m
b0 K = 为根轨迹增益 a0
*
∏ (s-p )
i i=1
零极点形式
根轨迹增益形式 首1形式
传递函数的第三种表达形式
各项提取b 各项提取 m
b 0s m + b1s m −1 + LL b m-1s + b m 因式分解 G(s) = a 0s n + a1s n −1 + LL a n-1s + a n
本节课的学习思路：从多个方 本节课的学习思路： 位来观察我们将要研究的对象—传 位来观察我们将要研究的对象 传 递函数， 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章 做准备。 第四章和第五章)做准备 第四章和第五章 做准备。
第三节传递函数优秀课件
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
例 ：设系统处于静止状态，当输入 单位阶 跃函数时其输出响应为
y(t)1e2t et
t>0 试求该系统的传递函数。
解 由题意可知：系统的初始条件为零， r(t)=1(t)于是R(s)= L[1（t）]=1/s。对上述 响应表达式的两边取拉氏变换，则有
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函 输 输 数入 出信 信号 号的 的拉 拉 零初 氏 氏 始条 变 变C R 件((换 换 ss))
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
性质2
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s)
G(s)
C(s)
图2-6
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何 该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相 同的传递函数。
性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
模态
是结构的固有振动特性，每一个模态具有 特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这 些模态参数可以由计算或试验分析取得， 这样一个计算或试验分析过程称为模态分 析。这个分析过程如果是由有限元计算的 方法取得的，则称为计算模态分析；如果 通过试验将采集的系统输入与输出信号经 过参数识别获得模态参数，称为试验模态 分析。
例 ：设系统处于静止状态，当输入 单位阶 跃函数时其输出响应为
y(t)1e2t et
t>0 试求该系统的传递函数。
解 由题意可知：系统的初始条件为零， r(t)=1(t)于是R(s)= L[1（t）]=1/s。对上述 响应表达式的两边取拉氏变换，则有
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函 输 输 数入 出信 信号 号的 的拉 拉 零初 氏 氏 始条 变 变C R 件((换 换 ss))
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
性质2
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s)
G(s)
C(s)
图2-6
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何 该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相 同的传递函数。
性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小
如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
模态
是结构的固有振动特性，每一个模态具有 特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这 些模态参数可以由计算或试验分析取得， 这样一个计算或试验分析过程称为模态分 析。这个分析过程如果是由有限元计算的 方法取得的，则称为计算模态分析；如果 通过试验将采集的系统输入与输出信号经 过参数识别获得模态参数，称为试验模态 分析。
传递函数
1 ( I1 ( s ) I 2 ( s )) U1 ( s ) C1s 1 1 I 2 ( s) R2 I 2 ( s) ( I1 ( s) I 2 ( s )) C2 s C1s 1 I 2 ( s) U 2 ( s) C2 s
1 1
I 3.在零初始条件下，进行laplace变换： (s) R
2.4 传递函数的概念
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型
X o ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 传递函数： ( s) G ( n m) n n 1 X i ( s ) an s an 1s a1s a0
传递函数的零极点模型： G ( s) K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm )
4.消除中间变量，并整理：
G( s)Байду номын сангаас
1 R1C1 R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型
例2-7：求图示系统的传递函数。 1.确定系统的输入与输出： 输入为u1，输出为u2 1 2.列写原始微分方程：i1R1 C (i1 i2 )dt u1 1
i2 R2 1 i2 dt u2 C2
1 1 i2 dt (i1 i2 )dt C2 C1
在零初始条件下，分别对方程两边进行laplace变换，有：
(an s n an1s n1 a1s a0 ) X o ( s) (bm s m bm1s m1 b1s b0 ) X i ( s)
则
X o ( s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 ( n m) n n 1 X i ( s ) an s an 1s a1s a0
1 1
I 3.在零初始条件下，进行laplace变换： (s) R
2.4 传递函数的概念
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型
X o ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 传递函数： ( s) G ( n m) n n 1 X i ( s ) an s an 1s a1s a0
传递函数的零极点模型： G ( s) K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm )
4.消除中间变量，并整理：
G( s)Байду номын сангаас
1 R1C1 R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
传递函数：复数域中描述系统特性的数学模型
例2-7：求图示系统的传递函数。 1.确定系统的输入与输出： 输入为u1，输出为u2 1 2.列写原始微分方程：i1R1 C (i1 i2 )dt u1 1
i2 R2 1 i2 dt u2 C2
1 1 i2 dt (i1 i2 )dt C2 C1
在零初始条件下，分别对方程两边进行laplace变换，有：
(an s n an1s n1 a1s a0 ) X o ( s) (bm s m bm1s m1 b1s b0 ) X i ( s)
则
X o ( s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 ( n m) n n 1 X i ( s ) an s an 1s a1s a0
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t f (t ) t 1(t ) 0
其拉氏变换为
t ≥0 t0
st
斜 率 =1
O
t
0
F ( s) [ L f ( t )] 1 st te s 1 2 s
0 0
f ( t )e dt
st 0
t e st dt
1 1 e dt 0 0 s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f(t)
3.等加速函数
数学表达式为
1 2 t f (t ) 2 0 t≥0 t0
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )] 1 1 2 st t e s 2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉式变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4.1 控制系统的结构图 2-4.2 控制系统的信号流图
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关 系的数学表达式 静态数学模型 ：在静态条件下 / 平衡条件下（即 变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系 的数学模型。
0 0
O
t
f ( t )e dt
st
0
1 2 st t e dt 2
0
t e st dt
1 1 1 0 0 2 3 s s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
4.指数函数e-at 数学表达式为
e f (t ) 0
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理化学定律列写运动 方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并 用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
•常见的数学模型
时域数学模型：微（差）分方程、状态方程； 复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图； 频域数学模型：频率特性。
其拉氏变换为
F ( s ) L [ f ( t )]
st 0
t ≥0 t0
st
O
t
0
f ( t )e dt
0
1 st 1 e dt e s
1 1 [0 1] s s
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
f ( t)
2.单位斜坡函数 数学表达式为
L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2.微分定理
设F(s)=L [ f (t)]，则有 一阶微分： L f (t ) sF ( s) f (0) 二阶微分： L f (t ) s2 F ( s) sf (0) f (0)
0
f (t )e dt
F ( s)
st
( s j为复变量)
存在，则由此积分所确定的函数可写为
0
f (t )e dt
- st
自动控制原理Biblioteka 第二章 控制系统的数学模型
称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作
F ( s) L[ L f (t )]
F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函
3 2 L f ( t ) s F ( s ) s f (0) sf (0) f (0) 三阶微分：
其中f(0), f(0), …为f(t)及其各阶导数在 t=0处的值。 n L f (t ) ?
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
当 f (0) f (0) f (0) L f ( n1) (0) 0 时的微分法则：
数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换， 记作 1
f (t ) L [F ( s)]
f (t )
2 j
1
j
j
F ( s )e ds
st
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
二、几种典型函数的拉氏变换
1.单位阶跃函数1(t)
数学表达式为
f ( t) 1
1 f (t ) 1( t ) 0
0
1 j t j t st e e e dt 2j
1 1 1 2 2j s j s j s 2
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
6. 单位脉冲函数(函数)
( t)
函数的表达式为
t 0 (t ) 0 t 0
其拉氏变换为
O
且 (t )dt 1
t
F ( s) [ L ( t )] ( t )e dt 1
st 0
拉氏变换的积分下限
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
三、拉氏变换定理
1.线性性质
设F1(s)=L [ f1(t)]，F2(s)=L [ f2(t)]，a和b为常 数，则有
L[ f ( n ) (t )] s n F ( s)
此时，
d ƒ s dt
即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复 数域中乘以s的运算。
其中结构图、信号流图是图形化的数学模型。
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
2-1 拉氏变换
t域 s域
微分方程 初始条件
拉氏变换
代数方程
方程的解
拉氏反变换
方程的解
用拉氏变换解微分方程示意图
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
一、 拉氏变换的定义 1. 定义
设函数f(t)在t≥0时有定义，如果线性积分
其拉氏变换为
at
t ≥ 0(a为实数) t0
at at st
F ( s) L e
e e d t 0 1 ( s a )t e dt 0 sa
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
5.正弦函数sint 正弦函数定义为
sin t t ≥ 0 sin t t0 0 其拉氏变换为 F ( s ) L [sin t ] sin te st dt 0