解析几何中的定值和定点问题

解析几何中的定值定点问题(一)

一、定点问题

【例1】.已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>

,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直

线0x y -=相切. ⑴求椭圆C 的方程;

⑵设(4,0)P ,M 、N 就是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PN 交椭圆C 于另一点E ,求直线PN 的斜率的取值范围;

⑶在⑵的条件下,证明直线ME 与x 轴相交于定点.

解:

⑴由题意知c e a ==所以2222

22

34c a b e a a -===,即224a b =,

又因为1b ==,所以224,1a b ==,故椭圆C 的方程为C :2

214

x y +=.

⑵由题意知直线PN 的斜率存在,设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22

(4)14

y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得:2222(41)324(161)0k x k x k --+-=, 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<, 又0k =不合题意,

所以直线PN

的斜率的取值范围就是0k <<

或0k <<

⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ,则11(,)M x y -,直线ME 的方程为21

2221

()y y y y x x x x +-=--, 令0y =,得221221()y x x x x y y -=-

+,将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理,得12121224()

8

x x x x x x x -+=+-. ②

由得①2212122232644

,4141k k x x x x k k -+==

++代入②整理,得1x =, 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0).

【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中,点M

到点()1,0F

,)

2

,0F 的距离之与就是4,点M 的轨迹

就是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 与Q . ⑴求轨迹C 的方程;

⑵当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r

时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点. 解:⑴∵点M

到(),0

,

)

,0的距离之与就是4,∴M 的轨迹C 就是长轴为4,焦点在x

轴上焦中为

,其方程为2

214

x y +=.

Q

P

O

y x

⑵将y kx b =+,代入曲线C 的方程,整理得22(14)8240k x kx +++= ,因为直线l 与曲线C 交于不同的两点

P 与Q ,所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①

设()11,P x y ,()22,Q x y ,则1282k x x +=-

,12

2

4

14x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++,显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -,所以()112,AP x y =+u u u r ,()222,AQ x y =+u u u r .由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r

,得1212(2)(2)0x x y y +++=.

将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=.所以(2)(65)0k b k b -⋅-=,即2b k =或6

5b k =.经检验,都符合

条件①,当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点.即直线l 经过点A ,与题意不符.当65b k =时,直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭.

显然,此时直线l 经过定点6,05⎛⎫

- ⎪⎝⎭点,且不过点A .综上,k 与b 的关系就是:65b k =,且直线l 经过定点

6,05⎛⎫

- ⎪⎝⎭

点. 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B,右焦点为F 。设过点T(m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y 。

(1)设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹; (2)设3

1

,221=

=x x ,求点T 的坐标; (3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。

【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力与探究问题的能力。

解:(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。

由42

2=-PB PF ,得2

2

2

2

(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =

。

故所求点P 的轨迹为直线92

x =。 (2)将31,221=

=x x 分别代入椭圆方程,以及0,021<>y y 得:M(2,53)、N(13,209

-) 直线MTA 方程为:03

52303

y x -+=

+-,即113y x =+, 直线NTB 方程为:03

2010393

y x --=

---,即5562y x =-。 联立方程组,解得:7103x y =⎧⎪

⎨=⎪⎩

,

所以点T 的坐标为10

(7,

)3

。 (3)点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为:

03093y x m -+=-+,即(3)12m

y x =+,

直线NTB 方程为:03093y x m --=

--,即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆15922=+y x 联立方程组,同时考虑到123,3x x ≠-≠, 解得:2223(80)40(,)8080m m M m m -++、222

3(20)20(,)2020m m

N m m

--++。 (方法一)当12x x ≠时,直线MN 方程为:22

2

22

2222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =,解得:1x =。此时必过点D(1,0);

当12x x =时,直线MN 方程为:1x =,与x 轴交点为D(1,0)。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1,0)。

(方法二)若12x x =,则由2222

24033608020m m m m --=++及0m >,得210m =,

此时直线MN 的方程为1x =,过点D(1,0)。

若12x x ≠,则210m ≠,直线MD 的斜率222

2

4010802403401

80MD

m

m m k m m

m +==---+,