粘弹性方程-文献翻译

学校代码：11517

学号：200911002104

HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING

文献翻译

题目一类非线性粘弹性方程解的整体存在性

学生姓名樊辰光

专业班级信息与计算科学0941班

学号 200911002104

系（部）理学院

指导教师(职称) 李文清（讲师）

完成时间 2013年 5月20日

统一衰减解一类边界消耗的非线性粘弹性波动方程

吴舜堂

1. 介绍

在本文中，我们所关心的是下面的粘弹性能量衰减率问题. LEM 具有非线性边界耗散:

其中，00>k 和Ω是一个有界域)1(>N R N 具有光滑边界.这里，0Γ和1Γ是关闭和不相交的，而且v 是单元外向法线的Γ。松弛函数g 是一个积极的和均匀衰减的功能，h 和a 是满足一定条件的给定的(A2)和(A3)，具体来说+→ΩR b : 是一个函数,而且u u

u f p 2

)(-=和

通常这种类型的方程中出现的粘弹性的理论。 这是众所周知的，粘弹性材料具有记忆效应，这是由于由材料本身的历史的影响的力学响应。由于这些材料具有广泛的应用在自然科学，他们的动力是有趣的和非常重要的。 从数学的角度来看，他们的记忆效果是模拟的积分方程。 因此，有关的行为的PDE 系统的解决方案的问题已经引起了相当的关注，在最近几年。例如，卡瓦尔康蒂等。 [1]考虑了以下的问题：

其中Ω是有界域N R （N> 1）用光滑的边界，Y> 0，和一个：Ώ→R +是一个函数，

它是非零。作者建立了一个指数衰减估计的条件下，当 a(x) > ao>0 时，且满足一些几何条件和

Berrimi和Messaoudi[2]改善的结果[1]通过引入一个新的功能。他们证明了一个较弱的条件下a和g指数衰减结果。事实上，他们允许函数消失关于Ώ任何部分，并且，因此，边界的一部分上的几何形状所施加的条件，不再需要。随后，同一作者的[3]和Messaoudi[4]一种情况，即一个源项与粘弹性耗散竞争结果延长。在[5]卡瓦尔康蒂和奥肯多考虑以下因素：

在一定条件下的松弛函数g，他们改进的结果为[1]。事实上，他们证明了该解决方案（1.5）呈指数衰减到零，当g是呈指数衰减并且h是线性的，并将该溶液多项式衰减到零，当g衰减多项式和h是非线性的。在考虑的边界稳定，卡瓦尔康蒂等人 [6]思考了后续问题：

研究员假设了相当严的阻尼项h和内核函数g的存在性和一致衰减率结果。后来，卡瓦尔康蒂等人认为这样的结果并不加强一个对h的生长条件，而是在g的条件下一个较弱的假设。最近，Messaoudi和穆斯塔法[8]利用凸函数的一些性质[9]和乘数方法来扩展这些结果。他们建立一个明确的和一般的衰变率，结果没有施加任何限制增长的假设上的阻尼项h，大大削弱的假设条件。近年来, 问题(1.1) 一直在被Li等人研究 [10] 用b(x)=0 和函数 f (u)=-1u1rU, r>0. 他们展现出了整体存在性和唯一性的全球问题的解决方案(1.1) 在合适的条件下，并建立了统一的能量的衰减率上的初始数据和松弛函数g。我们阅读参考相关作品[11-16]有处理边界稳定的问题。

由以前的作品的启发。它的解决方案和统一的衰减结果有趣的是，调查的整体存在性问题（1.1）当力源问题长期的和在假设b和条件较弱的粘弹性耗散和非线性边界阻尼竞争时事实上，我们将允许为空函数Ώ（包括Ώ本身的任何部分）和内核函数g不一定衰减的指数或多项式的方式。因此，我们的结果允许更大范围内的类松弛函数，结果提高了在[10，13] 。其中只有对指数和多项式率进行了审议。

本文的其余部分安排如下：在第2节中，我们假设以后将用于提的地方在第

3节的存在resule定理2.1, 我们证明了我们稳定的结果，给出定理3.7.

2. 初步结果

在本节中，我们给出文中用到的的假设和预备知识。首先，我们介绍了以下一组：

和与希尔伯特结构引起的。现有的这个是一个Hilbert空间。为简

单起见，我们记和根据(1.2)，我们有结论：

Sobolev嵌入是最佳常数满足以下不等式：

我们使用的跟踪Sobolev嵌入：在这种情况下，包埋常数由BL表示，即，

接下来，我们声明如下问题（1.1）的假设。

是有界的功能满足

存在非增正可微函数f，

（A2）H：R→R是一个非减函数

A3）a：Ώ→R是一个非负的功能，例如，

对一些积极的恒定的a1

利用Galerkin方法和程序[10，16]类似，我们可以有以下的局部存在性问题（1.1）的结果。

3。整体存在性和能量衰减

在本节中，我们把注意力集中统一的衰减问题（1.1）的弱解。为了这个目的，我们定义

和能量函数

当

采用[10]的证明，我们还有下面的结果。

引理3.1。对于任何我们都有

引理3.2。设a是（1.1）的溶液中，然后，根据假设（A1）的一（（A2）中，E （t）的是一个nonincreas-ing和nction在[0，T）

接下来，我们定义的官能F，这有助于在建立所期望的结果。设置

另外，从（3.1），（3.2），（2.4），和F的定义由式（3.6），我们有

引理3.4。假设（A1）一（（A2）和（1.2）接住。进一步假设

并满足然后，它认为

对于所有的t E [0,T)，有

对于所有的t E [0,T)

证明利用（3.8），并考虑E（T）是一个非增函数，我们得到

下一步，我们将证明，

要建立（3.13），我们认为矛盾。假设（3.13）不成立，则存在t* E（0，T），使得

这与（3.11）。

和

（3.11），这也是一个矛盾。因此，我们证明了不等式（3.13）。

为了证明（3.10），我们注意到例如

因此，我们完成了引理3.4的证明。

参考文献

[1] M. M. Cavalcanti, V N. Domingos Cavalcanti, and J. A. Soriano, "Exponential decay for the solution of semilinear viscoelastic wave equations with localized damping," Electronic Journal of DentialEquations, vol. 44, pp. 1-14, 2002.