由遍历序列构造二叉树的非递归算法实现

ｆｒ ＝ ； ｎ ｍ； ＋ ０（ ０ｉ ｕ ｉ ） ｉ ＜ ＋
ｓａｆ” ” ｎ ｉ ； ｃｎ（％ｃ， Ｄ［ ） ＆Ｉ ］
￣ｕｈｓ ｉ） ｓ （ ｄｎ； ｔ
ｐｉｔ ” 输Ｘ－ Ｙ 树后 序序 列＼”： ｒ ｆ请 ｎ（ － ． ｆ） １
ｆｒ ＝ ； ｎ ｍ； ＋ ｏ（ ０ｉ ｕ ｉ ） ｉ ＜ ＋
｝
｝ ３ 结论
在 以上算 法 中基本 操作 应 为 ｗｈｌ ｉ ｅ循环 嵌套 ，内层 第一 个 ｗ ｉ ｈｌ 环每 循环 一 次 ，ｉ的值 减 １ 内层 ｅ循 ．
的第 二个 ｗｈｌ 环 每循 环一 次 ，ｊ的值 减 １ ｉ ｅ循 ．外层 的 ｗｈｌ 环 和 内层 的两个 ｗｈｌ ｉ ｅ循 ｉ ｅ循环 的循 环次 数之 和为 ２ ．因而 算法 的 时间复 杂度 为 ２ ，是 ０ ｎ （ 性 阶） ．注意 到每 个解 决该 问题 的算 法 都必须 读 中 ｎ ｎ （） 线 的 序遍 历和 后序遍 历 的 结点序 列至 少各 一遍 ，才 能 构造 出二 叉树 ，因而 时 间复杂度 至 少为 ２ ，所 以本 算法 ｎ
｛ Ｐ （ ｉｒｅｍａｌｃｓ ｅ ｆ ｉ Ｎ ｄ ） Ｂ Ｔ ｅ） ｌ （ｉ ｏ（ Ｔ ｏ ｅ） ｏ ｚ Ｂ ； Ｐ＞ ａａ Ｐ Ｄ［ ； 一ｄ ｔ＝ ｏ ｉ ］ ｑ＞ｃ ｉ ＝ ；／ －ｌｈｌ ｐ ／ｑ的左 孩子 为 Ｐ Ｄ［ ｄ ｏ ｉ ］ ｝
ｅ ｓ － ｃ ｌ＝ＮＵＬＬ； ｌｅｑ ＞ｌｈｉ ｄ
收 稿 日期 ：２ ０ ． － １ ０ ９０ １ ４ 作 者简 介 ：刘璐 （９ ２） 女 ， 北饶 阳县 人， １７ 一， 河 衡水 学院 数 学与计 算机 学 院副 教授 ， 工学硕 士
衡 水 学 院学 报
第 １ 卷 １
借助 的工具包 括两个 一维字 符数 组 ＩＤ 和 Ｐ Ｄ 和 一个栈 Ｓａｋ ｎ ｏ ｔ ，方法 是将 中序遍 历序 列和后 序遍 历序列 ｃ 分别存放 在一 维字符 数组 ＩＤ 和 Ｐ Ｄ 中，利用 栈 Ｓａ ｋ所 具有 的 “ 进先 出 ”的运 算特 点构 造 出二又树 ｎ ｏ ｔｃ 后 的二叉 链表 ．算法 思想 如下 ： 由后序序 列 的定义 可 知 ，后 序序 列 的最后 一个 结 点必定 为根 结点 ，据此 首 先确 定该二 叉树 的根 结点 为 Ｆ ，由中序 序列 的定 义可 知 ，中序遍 历序 列 中的最 后一个 结 点必 定是该 二又
求算法 的时空效率 ，必须 将递归算 法转化 为非递化 算法 ，问题 才能得到有 效解 决，本文设计 了一个非递 归算法 ，输入一
棵－ － －４树 的 中序遍 历和后序 遍历的结点序列 ，构造 出该二 叉树 ，该算法对于一棵有 ｎ 个结点的二叉树 ，具有 Ｏ（１ － ｎ时间复
杂度 ，是解 决该 问题 的最优 算法．
就给 用户编 制程 序和 调试程 序 带来 了很大 的方便 ，而 且用 递 归算法 使
程 序 结构 清 晰 ，程 序 的 易读 性 较 好 ，其 正 确 性 也 容 易得 到 证 明 ．但 是 ，递 归过程 的运行 效率 比较低 ，相 对于 非递 归过程 来说 ，递 归过程
更 耗时 ，空 间上 的需 求也 更大 ．如果 在程序 中用 等效 的非 递 归过程 来
ｗｈｌ（ ＝ ｉ ｊ ０＆＆ ＩＤ［ Ｓａｋｔｐ－ｄ ｔ、 ｅ＞ ｎ ｊ ＝ ｔｃ ［ ］ ａ ］ ｏ ＞ ａ ｑ＞ ｃ ｉ ＝ ＵＬ ；ｑ的左孩 子 为空 ｌ ｌ Ｎ Ｌ／ ｈｄ ／ ｑ Ｓａｋｔｐ； ｐ －－ ＝ ｔ ［ ］ｏ －．一 ｃ ｏ ｔ ｊ； ｝
ｉ ｉ＝ ｊ＝ ） ｆ ＞ ０ｌ ＞ ０ 『
第 １ 卷 第 ４期 １ ２０ ０ ９年 ８月
衡 水 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｓ ｕ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｇ ｈ ｉ ｏ Ｈｅ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｙ
Ｖ ｏ ．１１ Ｎ Ｏ． １ ． ４ Ａｕｇ． ０９ ２０
由遍历序 列构造 二叉树 的非递 归算法 实现
和 后 序遍 历 的结 点序 列 ，可 以构 造 出这 棵 二叉 树 ．但 多数 相 关文 献 中介 绍 的构造 方 法 都是 递 归过程 ．本 文 中设计 了一个 非递 归算 法 ，该 算 法通 过 巧妙 地控 制 输入 的结 点序列 和 利用 栈 ，使 该算 法 的 时间复 杂度
为０ ｎ ．可 以证 明该算 法是解 决 以上 问题 的最 优 算法 ． （）
／ ／ 约定 二叉树 中 结点 的数 据类 型为字 符型
．
ｓ ｕｔ ｉＮｏ ｅ ｃ ｉ ， ｃ ｉ ；／ 右孩子 指针 ｔ ｃ Ｂ Ｔ ｄ ｌｈｌ ｒｈｌ ／ ｒ ｄ ｄ 左 ｖ ｉ ｉ（ ｏｄ ｎ） ｍａ
｛
ｃ ａ Ｄ［ ｘ Ｔｅ＿ ｉｅ； ｈｒ ｎ Ｍａ ＿ ｒｅ Ｓｚ］ Ｉ ／ ／ 存放 中序遍 历 结点序 列 的数 组
结 点 Ｉ不是 其双 亲 结点 ，说 明其 有左 孩 子 ，左孩 子 为后序 序 列 中扫 描 到 的下一 个 结点 Ｈ，重 复 以上过 程 ，直 至所有 结点链 接完 为止 ． 以下用 Ｃ语言给 出该算法 ：
＃ ｅ ｎ ｘ Ｔｅ ｉｅ１０ ／ 设二 叉树 结点数 不超过 １ ０ ｄｆ ｅ ｉ Ｍａ ｒｅ Ｓｚ ０ ０／ 假 ００
／ｏ ｉ］ ／ Ｄ［ １的右 孩子 为 Ｐ Ｄ［ Ｐ 一 ｏ ｉ ］
Ｓａｋｔｐ －ｒｈｌ＝ Ｌ ； ／Ｐ Ｄ［ 的右孩 子 为 空 ｔｃ ［ ］ ｃ ｉ ＮＵ Ｌ ／ ｏ ｉ ｏ ＞ ｄ ］
ｉ Ｊ － 一； ； ‘ －
ｑ Ｓａｋｔ ］ｏ 一 ＝ ｔｃ ［ ｐ ； ｐ ； ｏ ｔ
｛
／ 栈 ／ 退
右子 树 的右 子树 的根 结 点，… 并且相 邻 结点之 间满 足后进 栈 的结 点是先 进栈 的结点 的右孩 子这 一特 点 ，
按这 一特 点将 扫描 到 的结 点沿右孩 子 指针域链 接完 成 ，直至找 到 Ｊ时 ，置其 右孩 子指 针域 为空 ；而左孩 子 的确定 则要判 定其 在 中序 序 列 中的前一 个结 点是 否是其 双 亲结 点 ，若是 ，说 明其无 左孩 子 ，否则 ，说 明其有左 孩 子 ，左孩 子应 是后序序 列 中扫描 到 的下 一个 结点 ，对 Ｊ而 言 ， 由于其 在 中序序列 中的前一个
ｆｕｈｓ ｉ） ｌｓ（ ｄｎ； ｔ
￣ｕｈｓ ｉ） ｓ （ ｄｎ； ｔ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
／ ／ 存放 ’’ 栈底 ≠ ≠
ｐｉｔ ” ｒ ｆ 请输入 二叉 树结 点数＼”； ｎ（ ｎ） ／ 空输入 缓冲 区 ／ 清
ｓａ ｆ ％ｄ ， ｕＩ； ｃｎ（ ． ” ． ＆ｎ Ｉ） １
ｐｉ ｆ 请输入 二叉树 中序 序列＼”： ｒ ｔ” ｎ（ Ｉ） ｌ
序列 ，它们 亦 分别 是左 、右 子树 的后 序序 列 ；
４ 对 左 、右 子 树 的 中序 序 列 和 后 序 序 列 递 归 地 实 施 同样 的 方 ） 法 ，直至左 、右子树 为空 时终止 ． 显然这 是一个 递 归过程 ，不难 编 写其递 归算法 ．使 用递 归算 法编
程 时，不需 要用 户来 管理递 归工作 栈 ，而 是 由系统 自动 来 管理 的 ，这
刘
（ 水学院 衡
璐
衡水 ０３０ ） ５００
数 学 与 计 算 机 学 院 ，河 北
摘 要 ：二叉树的构造有多种方法，给出一棵二叉树的中序序列和后序序列，可以构造 出这棵二又树，但一般采用递归
算法．尽 管递归算法具有 结构 简炼 、清晰 、可读 性强等优点 ，但递 归算法在执行 过程会耗 费太多的 时间和空间 ，为 了追
代 替递 归调用 ，就可 以减 少程序 的运 行 时间和对 空 间的需 求 ，从而提
图 １ 二 叉 树
高程序 的运行效率 ． ２ 非递 归构 造算 法 以 图 １所 示二 叉树 为例 ，其 中序 遍历序 列 为 Ａ Ｂ ＧＦ Ｊ ＤＥ Ｃ ＨＩ，后序遍 历 序列 为 ＡＤ Ｂ Ｉ Ｊ ；算法 Ｃ ＧＥＨ Ｆ
／ ｔｃ ／ ａｋ是栈 Ｓ
／ ／ 所构造 二叉树 的根 指针 Ｔ是
ｐ （ Ｔ ｅ） ｌ ｃｓ ｅｆ ｉＮｏ ｅ） ／申请新 的结 点空 间 ＝Ｂｉｒｅｍａｌ （ ｚｏ（ Ｔ ｄ ） ／ ｏ ｉ Ｂ ；
ｐ＞ ａ ＝ ； －ｄ ｔ ’’ ａ
≠是不会 出现 在二叉 树 中的符 号 ｝ ’
ｔｐ ０Ｓａｋｔｐ＝ ； ｏ＝ ；ｔｃ［ ］ｐ ｏ
刘 由 历 列构 叉 的 递 算 实 璐 遍 序 造二 树 非 归 法 现
ｌ Ｉ Ｔ指 向根结 点
３ ９
ｗｈｌ ｉ＝ ｊ ＝ ） ｉ （ ０ｌ＞ ０ ｅ＞ ｌ ｔｐ ＋ Ｓａｋｔ ］ｐ ／Ｐ Ｄ［ 进栈 ｏ ＋ ； ｔｃ ［ ｐ＝ ； ／ ｏ ｉ ｏ ］ ｗｈｌ（ｏ ｉ＝ ｎ ｊ） ｉ Ｐ Ｄ［ ！ＩＤ［ ｅ ］ ］
树 中最右下 的结 点，在存 放 中序 序列 的数组 ＩＤ 中找 到最后 一个 结点 Ｊ ｎ ，可知 其为 当前二 叉树 中最右下 的结 点 ，沿 二又树 的后序 序列 自后 向前依次 扫描 ，查找 与 Ｊ相 同的结点 ，将 扫 描到 的结 点依次存 入栈式
结构 Ｓａｋ ｔｃ ，则 Ｆ 、Ｊ依次进 栈 ，这 些结 点分 别是二 叉树 的根 结点 ，根结 点的右 子树 的根结 点 ，根结点 的
ｃ ａ ｏ ［ ｘ Ｔｅ— ｉｅ； ｈｒ Ｄ Ｍａ— ｒｅ Ｓｚ］ Ｐ
Ｎ 存放 后序 遍历 结点序 列 的数组
ＢＴ ｄ ＳａｋＭａ— ｒｅＳｚ］ ｉＮｏｅ ｔｃ［ ｘ Ｔｅ— ｉ ； ｅ
ｉｔ， ｕ ｔｐ ｎ ， ｍ， ； ｉｎ ｊ ｏ
Ｂ Ｔ ｄ ｐ ， ； ｉＮｏ ｅ ， ｑＴ
｛
ｉ－ －；
ｐ （ ｉｒｅｍａ ｏ （ｉ ｏ（ ｉＮｏ ｅ） ＝Ｂ Ｔ ｅ） ｌ ｃｓ ｅ ｆ Ｔ ｄ）； ｌ ｚ Ｂ
ｐ＞ ａａ Ｐ Ｄ［； －ｄ ｔ＝ ｏ ｉ ］
Ｓａｋｔｐ一ｒｈｌ＝ ； ｔｃ ［ ］ ｃ ｉ ｐ ｏ ＞ ｄ ｔｐ ＋ Ｓａｋｔｐ＝ ； ｏ ＋ ； ｔｃ ［ ］ｐ ｏ ｝
ｓａ ｆ ％ｃ， ｏ ｉ ； ｃｎ（ ” ” ＆Ｐ Ｄ［） ］
ｉｎ ｍ一； Ｉ ｍ一； ＝ ｕ １ ＝ｌ １ ｊ ｕ
ｐ （ Ｔｅ） ｌ ｃｓ ｅｆ ｉＮｏｅ） ＝Ｂｉｒｅｍａｌ （ｚｏ（ Ｔ ｄ） ｏ ｉ Ｂ ；
Ｐ＞ ａ ＝ ｏ ［ ； 一 ｄｔ Ｐ Ｄ ｉ ａ ］
塑
Ｔｐ ＝； ｛
关键 词 ： 中 序遍历；后序遍历；二叉树
中 图分类 号 ：Ｔ １ Ｐ ０． ３ ６
文献 标识 码 ：Ａ
文章 编号 ：１７．０５ ０９ ４ ０７０ ６３ ６（ ０ ） — ３． ２ ２ ００ ４
二叉 树 （ ｎ ｒ ｒｅ 结构 是 一种 有 规律 的典型 的 非线 性 结构 ，也是 算 法设 计 中提 到 的一种 非 常重 要 Ｂｉａ Ｔ ｅ） ｙ 的数据 结 构 ，有着 广 泛 的实 际应 用 ．在 数据 结 构 的教 学 中 ，常常 遇 到这 样 的 问题 ：给 出一棵 二 叉树 的 中 序 遍 历和 后序 遍历 的 结点序 列 ，用 人工 构造 出这棵 二叉 树 ，Ｋ ｕｈ ｎ ｔ 证 明 了：给 出一 棵 二叉树 的中序遍 历
１ 递 归构 造方 法
由中序序 列和 后 序序 列 的定 义可 知 ，后序 序列 的最后 一 个 结点 必定 为 根结 点 ，而 在 中序序 列 中根 结
点恰 是左 、右 子树 的分 界 点， 因此 ，可 按 以下方 法构 造二 叉树 ：
１ 用后 序序 列 的最 后一个 结点作 为根 结 点 ； ） ２ 在 中序 序列 中查 找根 结点 的位 置 ， 并 以此 为界 将 中序序 列 划 分为 左 、右 两个 子序 列 ，它 们分 别 是 ） 左 、右 子树 的中序序 列 ； ３ 根 据左 、右 子 树 的 中序 序 列 中 的结 点个 数 ，将 后序 序 列 去掉根 结 点 后 的序列 划 分为 左 、右两 个 子 ）
＃ ｎ ｌ ｅ＜ｓｄ ｏ－＞ ｉ ｃｕｄ ｔｉ ｈ ≠ｎ ｌ ｅ ｔ ｉ ｈ ≠ ｃｕｄ ＜ｓｄｉ ＞ ｉ ｂ．
ｔｐ ｄｆ ｔ ｃ Ｂ Ｔ ｄ ｛ ／ ｙ ｅ ｅ ｓ ｕｔ ｉＮｏ ｅ ／ ｒ 二叉 树 的二叉链 表存储 表示 ｃ ａ ａ ； ｈｒ ｔ ｄａ
｝ ｉＮｏ ｅ Ｂ Ｔｅ ； ＢＴ ｄ ， ｉｒｅ