黎曼猜想：跨世纪难题
科技前沿博学丛书
黎曼猜想：跨世纪难题
叶鹰编著
内容提要
这是一册对著名开放数学难题“黎曼猜想”进行系统阐述的高级科普读物。作者对这一延续近150年的跨世纪难题作了独到诠释，并对7个千禧年数学大奖问题作了介绍。全书风格简明，文笔健朗，将历史故事穿插于数学公式之间，兼顾知识性、趣味性和学术性，既有启发意义，又有研究价值，可供大学生、研究生阅读和数学爱好者参考。
跨世纪难题黎曼猜想一览无余
千禧年大奖七大问题尽在其中
目录
序潘云鹤开篇词
1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想
比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光……
2 理解黎曼猜想
黎曼猜想的表述……
3 壮志难酬英雄何处
一代又一代数学家的努力付之东流……
4 纯粹数学航标
解决黎曼猜想的意义……
5 解决费马猜想的启示
用迂回战术解决黎曼猜想的思路……
6 激励数学进步的猜想
数学猜想小会聚……
7 未来展望
开放难题征解……
深入研究参考文献
结束语
丛书后记
序
科学技术正在以惊人的速度突飞猛进，这一状况导致的后果之一是科学技术前沿离公众能理解和接受的平台越来越远；同时，科学技术也正在以前所未有的深度和广度影响着经济发展和社会生活，这一状况又导致公众对科学技术前沿的关注和了解的热情更加高涨。因此，通过科普著作，拉近公众与科学技术前沿的距离、让公众认识并理解科学技术前沿的精粹，是一项具有重大现实价值和深远意义的工作。科技前沿博学丛书的策划和出版正好能符合这一需求。
科技前沿博学丛书包含的黎曼猜想、统一场论、碳笼化学、基因工程、信息科技、纳米技术等，都是科学技术前沿的著名难点和热点。作者采集大量最新信息，以通俗易懂的视角和语言形式将深奥的科学问题与技术成就简明扼要地展现在读者面前，可以说既是对科学技术前沿的发展综述，也是对现有科学技术成果普及化的再组织。
出版科技前沿博学丛书是一项具有战略眼光的工作，这套丛书兼顾知识趣味性和学术严谨性，将科技前沿的基础知识和最新进展浓缩在不多的篇幅中，适合现代快节奏生活中的人们阅读，并将在启迪青年学生的科学兴趣方面独具特色，进而为科教兴国做出积极贡献。
中国工程院院士
浙江大学校长
2002年7月12日
开篇词
朋友，您读过徐迟先生的《哥德巴赫猜想》吗？
那里说，有一颗“皇冠上的明珠”，至今还无人摘取……
而这里，还有一颗更加明亮的“宝珠”，这就是黎曼猜想…… 也许您将是未来摘取“明珠”和“宝珠”的勇士。
本书将告诉您一些往事，增添你的知识和勇气。
努力吧，朋友！
老师又说，自然科学的皇后是数学。数学的皇冠是数论。
哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。
同学们都惊讶地瞪大了眼睛……
——引自徐迟《哥德巴赫猜想》
1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想
20世纪70年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，唉，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。可是，你知道吗，就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。
当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近150年历史的黎曼猜想(也称黎曼假设)。
让我们从1858年讲起吧。
1858年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。
黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826年9月17日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6个兄弟姐妹中排行老二。
黎曼6岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。14岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859页的大4开本《数论》，并用6天时间读完了它，大约这就是他对数论感兴趣的开始。
1846年春，19岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。1847年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比(C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P.G.L. Dirichilet)等。在大师的指导下，黎曼进步很快，神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。
黎曼先生的论著不多，但却非常深刻。1851年11月，他提交了一篇题为“复变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎曼条件”，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。
1854年6月10日，由“数学王子”高斯(K.F.Gauss,1777-1855)任主考官，黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于1857年升任副教授；1859年接替狄里赫利任教授。
就凭上述3篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。黎曼几何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。而且，至今没有几个人能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。
1862年，才36岁、新婚不到一个月的黎曼竟然得了胸膜炎，真是祸不单行，他还未完全康复又染上了肺结核，于是格廷根大学用政府经费供他到意大利疗养，四年中，黎曼曾往返德、意两次，病情因外感风寒而恶化，不幸于1866年7月14日逝世于意大利的塞那斯加。
黎曼的深邃思想超越了他生活的时代，他在世时并不为数学界所重视。但随着时间的推移，他的思想逐渐辉煌起来，尤其是黎曼几何成为广义相对论的数学表述形式后，影响越来越大，直接左右了19世纪后半叶的数学发展，黎曼也因此名扬世界。
黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又一代杰出数学家。
图1 黎曼：黎曼猜想之出谜人
顺便说一句，黎曼当年学习和任教的德国格廷根大学是1737年创建的一所优秀的世界一流大学。1795年，当18岁的高斯来到格廷根大学的时候，这里除了数学文献多于别的大学外，还没有明显的数学优势。可是，后来经高斯、高斯的学生黎曼、大数学家克莱因(F. Klein, 1849-1925)、希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)、闵可夫斯基(H. Minkowski, 1864-1909)和外尔(H. Weyl, 1885-1955)等名师的合力创造，格廷根大学很快发展成为19-20世纪的世界数学中心，以格廷根学派扬名数学界，世界上不少一流数学成果与格廷根大学有关，不得不让人刮目相看。
2000年5月24日，美国克莱数学会将黎曼猜想作为七个千禧年数学难题之一公开悬赏征解，任何人只要能证明或推翻黎曼猜想，均可在论文公开发表2年并经专家评定认可后获得100万美元奖金，详情请看克莱数学会网站https://www.360docs.net/doc/cc7115725.html,，本书后面也将专门介绍。
黎曼猜想被列入其中第四个千禧年大奖难题，您敢一试身手吗？
真的，如果把数学比作群山，则数论是其中雄伟的一列山脉。黎曼猜想、哥
德巴赫猜想和费马猜想就像位于不同山峰之巅的大大小小的宝珠、明珠，在那里闪闪发光。而今，费马猜想已经被怀尔斯摘走，后面就看谁能摘取黎曼猜想和哥德巴赫猜想了。
呵呵，比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光……
那么，黎曼猜想究竟是说什么呢？请继续阅读下一章。
这正是：
无限风光在险峰，吸引无数攀山人。
这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。
——引自徐迟《哥德巴赫猜想》
2 理解黎曼猜想
相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用数学符号表述。
要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作Zeta 函数)说起。
早在1749年，著名数学家欧拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了实变量形式的ζ函数，他证明当s>1时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立：
∏∑??∞=??=p
s n s p n
11)1( 其中∑叫和号，这里表示从n=1开始、累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有p 求连乘积。p 表示素数，它与整数n>1之间由算术基本定理相联系：
kr r k k p p p n ...2211=，kr≥1，1≤j≤r，
r p p p >>>...21而黎曼1859年的创新是将变量s 看作复变量，并引进记号：
∑∞
=?=1)(n s n s ζ
这就是黎曼ζ函数。其中it s +=σ为复变量，其实部记作σ=s Re 。
当1Re >=σs 时，在形式上等同于欧拉恒等式。因而所有奇妙的事情将出现在1Re ≤=σs 范围。
使)(s ζ=0的点叫做)(s ζ的零点。负偶数-2，-4，-6，…都是)(s ζ的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有1/2+it 形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。
简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0时Re s=1/2，即所有非平凡零点都位于2/1=σ这条直线上。这条直线叫做临界线。
严格地说，黎曼猜想由黎曼在1859年的那篇著名论文中提出的6个猜想构成：
(1) )(s ζ在带状区域10≤≤σ中有无穷多个零点(亦即)(s ζ=0在带状区域10≤≤σ中有无穷多个解)。这种零点叫做非平凡零点。
(2) 以N(T)表示)(s ζ在矩形区域T t ≤≤≤≤0,10σ中的零点个数，则有
πππ2/)2/log()2/()(T T T T N ?≈
(3) 以ρ表示)(s ζ的非平凡零点，∑表示对所有非平凡零点求和，则级数
ρ
∑?ρρ2||收敛，而级数发散。 ∑?ρ
ρ1||(4)A=-log2和B 为常数时，∏?=+ρ
ρρζ/)/1()(s Bs A e s e s 。
(5) )(s ζ的全部非平凡零点的实部都是1/2。
(6)对于函数，有 ∑≤≤?++=Λ=
x n x J x J x J
n n x J 202/))0()0(()(,log /)()()0(log )log )1(()()()(120ζρρ+?+?=∑∫∞
?du u u u x Li x Li x J x
这叫黎曼素数公式，其中叫曼哥特(Mangoldt)函数，是对数积分。 ?
??≥==Λ01,,log )(k p n p n k ∫?=x dx x x Li 01)(log )(以上6个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通常所说的黎曼猜想：
令 ， 则∑∞=?=1)(n s n s ζ2
1Re =
s 其中s 是复变量。
图2是)(s ζ的空间形式图，也许能给读者提供直观想像：
图2 表示成空间形式的黎曼)(s ζ函数图
诸位读者看清了：这个黎曼猜想，连表达起来也确实比费马猜想和哥德巴赫猜想难。难怪是个大难题呢！
要知究竟有多难，请继续阅读下一章。
这正是：
理解不易，求解更难。
一直到死，欧拉也不能证明它。从此，这成了一道难题，吸引了成千上万数学家的注意。两百多年来，多少数学家企图给这个猜想作出证明，都没有成功。
——引自徐迟《哥德巴赫猜想》
3 壮志难酬英雄何处
大概只有大师级的数学家才胆敢挑战黎曼猜想，他们也确实为解决黎曼猜想进行过艰辛努力。
在推进黎曼猜想研究和证明黎曼猜想的大师级人物中，著名数论专家韦伊(A. Weil, 1906-1998)算是最杰出的一个。韦伊是个少年奇才，也是数学界著名的法国布尔巴基学派的中坚人物。他1922年考入巴黎高等师范学校，1925年年仅19岁就以“代数曲线上的算术”论文获得博士学位。韦伊雄心勃勃，曾证明过不少难题，也对黎曼猜想研究作出过贡献，1941年，他单枪匹马证明了函数域上的广义黎曼猜想，极大地推进了黎曼猜想研究，于是他希望在1959年，也就是黎曼猜想提出100周年时完全证明它。可是，尽管他和其他数学家经过艰辛努力，却发现困难重重。于是他无可奈何地摇摇头，说：“就是再过100年，也不见得能解决一般意义下的黎曼猜想。”这位1947年后在芝加哥大学任教授12年、后任普林斯顿高等研究院教授的数学家，于1979年获得沃尔夫奖，但最终还是没能彻底证明黎曼猜想。
图3 韦伊：函数域上广义黎曼猜想的证明者
一次，大数学家希尔伯特(D. Hilbert, 1862-1943)对他的弟子们说到三个著名的数论难题：黎曼猜想、费马猜想和超越数论中的猜想。他说：由于对整函数作了深入研究，黎曼猜想可望在20年内解决；而对代数数论已作了如此之多研究，费马猜想也可能不久将被解决；唯有猜想，可能永远超出数学家的能力。可是，数学的发展却出人意料：猜想在1934年被前苏联数学家盖尔封(А.О.Гельфонд)和德国数学家施奈德(T. Schneider)分别独立地解决了；
βαβαβα
费马猜想也被怀尔斯在1995年证明；唯有黎曼猜想，虽然从多方面进行过探讨，实质上进展不大。难怪后来Hilbert 临终前叹曰：“如果我1000年后复活，我的第一个问题就是：黎曼猜想解决了没有？”
有一个故事足以说明黎曼猜想的难度：英国著名大数学家哈代(G . H. Hardy, 1877-1947)很担心旅行风险，于是，每当他不得不长途旅行时，就事先给他的同事发个电报说：“已经解决黎曼猜想，回来后再给出细节”。哈代的逻辑是：他这样做了的话，上帝就不会让他出事故，否则世界上就要留下第二个像黎曼猜想一样的不解之谜。因此，他从来没有出事故，但回来后也从来没有提供“解决黎曼猜想的细节”。
图4 哈代：把黎曼猜想当作旅行保险的数学家
哈代是20世纪初世界著名的分析数学家、英国分析学派的领袖人物，曾任牛津大学、剑桥大学教授，对堆垒数论、素数分布论等贡献良多，一生著有论文300余篇、著作11部。他对印度数学奇才拉曼努詹(S. Ramanujan, 1887-1920)的无私提携和真心帮助在数学史上留芳千古。他在数学界留下的名言是：“年轻人应该证明定理，而老年人应该去写书。”
哈代对黎曼猜想的最大贡献是于1914年证明了)(s ζ在直线2/1=σ上有无穷多个零点，但仍未彻底解决黎曼猜想。
还有一个编造的故事：魔王听说有个叫黎曼的绝顶聪明的地球人居然研究了一个绝顶聪明的猜想，还提出了黎曼几何等非同小可的创造，就来到黎曼面前对他说：“你这个家伙，跟我到X 星座Y 星系Z 星球去吧，那里都是宇宙中的顶尖智者，你去和他们讨论吧。余下的难题就让它留给地球人好了。”说完不由分说抓起黎曼的灵魂就奔向黑洞……因此，黎曼年仅40岁就离开了人间。
这可真是一个跨世纪难题，一个最难最难的难题呢！
一代又一代数学家的努力付之东流……
黎曼猜想究竟有什么了不起的意义值得如此去努力？请继续阅读下一章。 正好似：
路漫漫其道远兮，谁敢上下去求索？
猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。
——引自徐迟《哥德巴赫猜想》
4 纯粹数学航标
解决黎曼猜想的意义何在？一句话，黎曼猜想就像是纯粹数学航标，可以指引纯粹数学的航向。
从现有数学研究和推论看，黎曼猜想是合理的，因此希望最终能证明它。 或者，设法找出)(s ζ的哪怕只是一个不在1/2线上的非平凡零点，就可以否证黎曼猜想。
与费马猜想有些类似的欧拉(L. Euler, 1707-1783)猜想就是因为发现反例而被否证。欧拉是举世公认的少数几个大数学家之一，对数学做出过极大贡献，数学中以他的名字命名的公式、方程、定理等比比皆是。有人曾问数学大师克莱因：“你认为数学中最伟大的公式是什么？” 克莱因毫不含糊地回答：“欧拉公式。”为什么呢？据说克莱因的解释是：你看欧拉公式
z i z e iz sin cos +=
当z=π时，成为
10?=πi e 它把数学中5个最重要的数联系在一起：0，1，π，i 和e。0和1是我们计数的基础，π使我们认识了圆和球，i 让我们知道了虚数和复数，e 则给我们带来了高等数学。由此，简单之中蕴涵的深刻可见一斑，欧拉的功绩也昭然在目。
而欧拉猜想则是说：当n ≥4时，方程
n n n n w z y x =++无解。
自欧拉猜想提出200多年来，既未能证明它又未能否证它。虽然不少数学家认为欧拉猜想应能成立，但1988年，哈佛大学的埃尔基(N. Elkies)教授却发现了一个反例：
444420615673187960153656392682440=++随后埃尔基还证明4次方情形有无穷多个解。这说明未经证明的猜想是多么不可靠，无论提出它的人多么著名和伟大，猜想必须证明。
黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学中的许多问题联系在一起。下面分三个方面说明：
首先，黎曼ζ函数与狄里赫利(P. G . L. Dirichlet, 1805-1859)L 函数一道构成解析数论的核心。
设q ≥1，χ是模q 的特征，则复变函数
∑∞
=?=1)(),(n s n n s L χχ
上式称为对应于特征χ的狄里赫利L 函数。显然，狄里赫利L 函数是黎曼ζ函
数的推广，相应于狄里赫利L 函数有广义黎曼猜想：L 函数的所有非平凡零点都在临界直线2/1=σ上。
解析数论在很大程度上是围绕黎曼ζ函数和狄里赫利L 函数的零点性质展开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ζ函数和狄里赫利L 函数有关。解析数论的一个最基本、最重要的内容，就是研究黎曼ζ函数和狄里赫利L 函数及其零点性质。
代数数论在很大程度上则是围绕戴德金(J. W. R. Dedelkind, 1831-1916) ζ函数)(s K ζ展开的：
∑∑≥??==1
)()(n s n A s K n a A N s ζ其中A 过代数数域K 的整数环的所有非零理想。)(s K ζ的解析性质包含了数域K 的许多算术和代数信息。)(s K ζ也是黎曼ζ函数的一个推广。
实际上，数论研究的中心问题可以归纳如下：
对于各种数论研究对象X ，可以考虑构造一个复变函数ζ或L ，使得ζ或L 的解析特性(包括零点和极点特性、函数方程等)能反映X 的算术和代数特性。
因此，黎曼ζ函数和狄里赫利L 函数处于数论的中心地位。
其次，以黎曼猜想为基础，可以证明许多有趣的推论，尤其是有些推论后来被无条件地证明了，这样，就加强了人们认为黎曼猜想成立的信心。
例如，如果黎曼猜想成立，则ζ函数在除2/1=σ以外的地方就肯定没有零点，这样，在1=σ上显然也没有零点。于是，法国数学家哈达马(Hadamard)和比利时数学家德万普(de la Vallee Poussin)据此在1896年分别独立证明了素数定理：当∞→x 时， 1log )(→x
x x π 后来，素数定理被许多数论专家用其他方法进一步证明或改进，现已确认无疑。
第三，通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题、关系命题等，可以将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。
黎曼猜想的等价命题如刘维尔(Liouville)函数猜想：对任何ε>0，有
)()(2/1ελ+≤=∑x
O n x n 其中λ(n)是刘维尔函数：
???=?==++r r a r a a a p p n n n ...,)
1(1,1)(111...λ黎曼猜想的强命题如梅顿(Mertens)猜想(1897年由奥地利数学家梅顿提出)： 对于x>1,
2/1|)(|x x M <其中 ∑≤=x
n n x M )()(μ
而μ(n)是梅比乌斯(Mobius)函数。由梅顿猜想可以立即推出黎曼猜想。
但1983年奥丁科(Odlyzko)和里尔(Riele)借助计算机证明了梅顿猜想是错误的，推翻了这个猜想。因此，比黎曼猜想强的猜想似乎很难成立。
黎曼猜想的弱命题如韦伊猜想：对于亏格为g 的曲线C ，有：
n n q g q Nn 2|)1(|≤+?
由韦伊猜想可以推出的所有零点在∏∑??>???==p s a s C Np a N s 101)1()(ζ2
1Re =
s 上。1934年哈斯(H.Hasse)证明它对于椭圆曲线成立；1948年韦伊证明对于一般代数曲线成立；1973年德列(P. Deligne)证明对于一般代数簇成立；使曲线的黎曼猜想得到证明。这样，比黎曼猜想弱的命题似乎不难成立。
既然比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，那么问题的关键就是黎曼猜想本身了。
与之相关的还有贝赫-斯维讷通-戴尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想，是说对于有理数域Q 上的椭圆曲线E ，L(E,s)在s=1上有一零点，其零点阶r 等于E 的蒙德尔-韦伊(Mordell-Weil)群的秩。该猜想已被克莱数学会与黎曼猜想一道列入七个千禧年数学难题之一。
因此，黎曼猜想成为纯粹数学的核心问题之一。解决了黎曼猜想，纯粹数学的许多问题就将迎刃而解。
有没有解决的办法或思路呢？请继续阅读下一章。
这正是：
困难重重，敢问路在何方？
且让我们这样稍稍窥视一下彼岸彼土，那里似有美丽多姿的白鹤在飞翔舞蹈。你看那玉羽雪白，雪白得不沾一点尘土；而鹤顶鲜红，而且鹤眼也是鲜红的。它踯躅徘徊，一飞千里。还有乐园鸟飞翔，有鸾凤和鸣，姣妙、娟丽，变态无穷。在深邃的数学领域里，既散魂而荡目，迷不知其所之。
闵嗣鹤老师却能够品味它，欣赏它，观察它的崇高瑰丽。
——引自徐迟《哥德巴赫猜想》
5解决费马猜想的启示
陈景润当年是不幸的，只能在6平方米的陋室中攻克世界难题；但他又是幸运的，因为有闵嗣鹤这样的老师能欣赏他的成果。但愿我们的后代不再经历如此艰辛的人生。
面对黎曼猜想，没有现成的道路可走，但有一些经验可供借鉴。这里就有怀尔斯证明费马大定理的卓绝思路，可供参考。这条通达费马猜想的小道也许可能提供用迂回战术解决黎曼猜想的思路……
费马猜想是说，对于不定方程：
n
n z
n
x=
+
y
当n≥3时无整数解。
这是一个很容易理解的问题，但要证明它却很难。
据考证，费马(Pierre de Fermat, 1601-1665 )约在1637年前后将这个猜想记在丢番图《算术》一书的页边，但直到他的长子整理成书于1670年正式发表前一直不被世人所知。
贝尔(E. T. Bell)把高斯称为“数学家之王”或“数学王子”，费马则被称做“业余数学家之王”或“业余数学王子”。这位“业余数学王子”总是喜欢恶作剧，他居然在猜想旁边草草写下一个注记：
对此命题，
我有一个十分美妙的证明，
这里空白太小，
写不下。
图5 费马：“业余数学家之王”
这小小的一段文字不要紧，却让后人为此冥思苦想。300多年来，不知有多少绝顶聪明的数学家为找到这个写不下的证明费尽心思，从1670年到1995年被怀尔斯最终解决，共经历了325年时间。的确，怀尔斯的证明长达108页，当年费马就是要写也确实“写不下”。
费马猜想如此引人注目，还得从沃尔夫斯凯尔奖说起。
1908年，德国实业家沃尔夫斯凯尔(Paul Wolfskehl)在他的遗嘱中宣布，把他财产中的一大部分遗赠作为一个大奖，奖金为10万马克，奖给任何能证明费马大定理的人，因为费马大定理在他因失恋绝望准备自杀时，曾奇迹般吸引住他，从而挽救了他的生命。
奖金由格廷根皇家科学协会负责掌管，它在同一年正式宣布了沃尔夫斯凯尔奖的规则：
根据在达姆斯塔物去世的保罗·沃尔夫斯凯尔博士授予我们的权力，我们在此设立10万马克的奖赏，准备授予第一个证明费马大定理的人。
下列规定将予以遵守：
(1)格廷根皇家科学协会拥有绝对的权力决定该奖授予何人。本会拒绝接受任何以参与竞赛获得该奖为惟一目的而写的任何稿件。本会只考虑在定期刊物上以专著形式发表的或在书店中出售的数学专题论著。协会要求作者呈交至少5本已出版的样稿。
(2)凡以评委会挑选的学术专家不能理解的语言发表的著作，不属本竞赛考虑范围。这类著作的作者可以用忠实于原文的翻译本代替原著。
(3)协会没有责任审查未提请它注意的著作，也不对可能由于著作的作者、或部分作者不为协会所知这个事实而造成的差错承担责任。
(4)在有多名人员解答了这个问题，或者该问题的解答是由几名学者共同努力所致的情况下，协会保留决定权，特别是对奖金分配的决定权。
(5)协会举行颁奖不得早于被选中的专著发表后的两年。这段时间供德国和外国的数学家对所发表的解答的正确性提出他们的意见。
(6)此奖的授予由协会确定后，秘书就以协会的名义立即通知获奖者，此结果将在上一年曾宣布过这项奖的各地公布。协会对该奖的指派一经决定，就不再更改。
(7)在颁布后3个月内，将由格廷根大学皇家出纳处向获奖者支付奖金，或者由受奖者自己承担风险在他指定的其他地点支付。
(8)钱款可按协会的意愿以现金或等值的汇票送收。汇票送达即认为已完成奖金的支付，即使在这天结束时汇票的总价值可能不到10万马克。
(9)如果到2007年9月13日尚未颁布此奖，将不再继续接受申请。
格廷根皇家科学协会
1908年6月27日
所有的专业数学杂志都刊登了设立沃尔夫斯凯尔奖的通告。消息迅速传遍德国和欧洲，接着传遍全世界。这则通告虽然对职业数学家来说几乎毫无意义，但它却成功地唤起了公众对纯粹数学的注意和青少年一代的热情。当时，职业数学家大多将证明费马大定理看作是不可能的事。确实没错，能证明它的人近半个世纪后才出生呢。
1953年，怀尔斯来到了这个世界上，他从小就迷上了数学。10岁那年的一天，怀尔斯放学回家，顺道去了一个小图书馆，没想到被其中一本叫做《大问题》
(The Last Problem)的书吸引住了，其中通俗地讲述了看起来如此简单却难倒无数大数学家的费马大定理，怀尔斯一口气读完了它，暗暗下定决心：“我必须解决它。”
怀尔斯的中学和大学时代平淡无奇，但是他知道，他所做的每一件事都是为证明费马猜想做准备的。没有坚实的基础，就不可能摘取这颗夜明珠。
1974年，怀尔斯从剑桥大学莫尔顿学院毕业；1975年，怀尔斯被剑桥大学克莱尔学院录取为研究生，导师是研究椭圆曲线的专家科茨(John Coates)。在科茨的指导下，怀尔斯精心研究了各种椭圆曲线、椭圆方程，为他攻克费马猜想奠定了方法论基础。1977年，怀尔斯获得剑桥大学博士学位。
获得博士学位后，怀尔斯横渡大西洋到美国哈佛大学当了3年助理教授，然后于1981年应聘入美国普林斯顿高等研究院任研究员，次年任普林斯顿大学教授。
经过多年研究，怀尔斯先后解决了岩泽主猜想和特殊BSD 猜想等数学难题，算是完成了总攻费马猜想的所有知识和技能准备。
因此，专家总是告诫年轻人：在当今知识积累如此丰厚的数学领域，要想解决数学难题必须首先进行系统的学习训练，完成博士学业后才算勉强进入专业前沿，接着还要经过多年实际研究才具备攀登数学高峰的基础。靠小聪明碰巧解决数学难题的时代已经一去不复返了。当然，少年立志也很关键。所以，尽管怀尔斯像常人一样生活：读书、工作、恋爱、抚养孩子，但他却一直关注着费马大定理的研究动向，这是他的人生目标和理想寄托之所在。
1986年夏末，怀尔斯得知，伯克利加州大学里比特(Ken Ribet)教授已经在弗莱(Gerhard Frey)的想法基础上、在哈佛大学马休尔(Barry Mazur)教授启发下证明了费马猜想等价于志村-谷山-韦伊猜想，立即意识到总攻费马猜想的时刻来到了。于是，一个专心孜孜的攻坚计划启动了。
怀尔斯坚决地放弃了所有与证明费马猜想无直接关系的工作，也不再参加没完没了的学术会议和报告会，而躲进了他家顶楼的书房，开始了研究证明志村-谷山-韦伊猜想的方法。从开始着手证明的时刻起，怀尔斯就作了一个与当代注重学术交流与合作的科研形式背道而驰的决定：要完全独立和保密地进行研究。因此，除了他的妻子娜达(Nada Wiles)，谁也不知道怀尔斯试图证明费马猜想这个秘密。怀尔斯后来解释说，他决定秘密地工作的部分原因是他希望自己的工作不受干扰；而保密的另一个原因估计是为了避免今后麻烦：通常人们会讥笑那些想证明费马猜想这样的世界难题、最后却不能如愿的“狂人”，如果真的不能完成证明就自己默默承受，能证明时也可以独享证明的荣誉。
从20世纪80年代早期开始，怀尔斯一直在从事某些特殊类型的椭圆方程的重要研究，为了不引起怀疑，怀尔斯还是在一点一点地发表他的研究成果，即每隔6个月左右发表一篇小论文。这些看得见的成果使他的同行们认为他仍然在继续他平常的研究，而未透露出任何证明费马猜想的工作。
怀尔斯雄心勃勃试图解决费马猜想的总体策略是想要通过椭圆曲线中的志村-谷山-韦伊猜想(所有椭圆曲线均为模曲线)来证明费马大定理。
设E 是定义在数域K 上的一条椭圆曲线，则E 在K 上的全体点可以构成有限生成交换群E(K)。构作E 的L 函数
),(32K b a b ax x y ∈++=
∑∞
=?=1)(n s n E n a s L
1967年，韦伊猜想，对于，一定是权2的海克形式。
)(s L E ∑∞
==12)(n ins n e a s f π这与志村-谷山猜想(每一个椭圆方程必定与一个模形式相关联)等价，因而合称志村-谷山-韦伊猜想(Shimura-Taniyama-Weil Conjecture)。怀尔斯最后就是通过对于一类半稳定的椭圆曲线证明了志村-谷山-韦伊猜想，从而证明了费马大定理。
为了证明志村-谷山-韦伊猜想，必须首先证明：无限多个椭圆方程中的每一个可以和一个模形式相配对。具体方法是：可以先证明某一个椭圆方程的全部基因(即E-序列)可以与一个模形式的全部基因(即M-序列)相配对，然后转移到下一个椭圆方程。虽然这是一种完全可以想得到的处理方法，但是由于是面对无限序列，所以当时还没有人找到一种能对无限多个椭圆方程和模形式反复地重复这个过程的方法。
一开始，怀尔斯采用伽罗瓦群实现了第一步：每一个椭圆方程的一小部分解可以用来构成一个群。经过几个月的分析，怀尔斯证明了这个群的每一个E-序列的第一个元素确实可以和一个M-序列的第一个元素配对。为了对付无限性，他需要证明每一个E-序列的第一个基因可以和每一个模形式的第一个基因配对，怀尔斯的处理方式比之传统的处理方式有很大的优点。因为在旧的方法中，一旦证明了某一个E-序列的全部元素与一个M-序列的全部元素可以配对，那么就必然要问：哪一个E-序列和M-序列是接着要进行尝试配对的？这无限多个E-序列和M-序列并没有自然的次序，因而接着选择哪一个来处理有很大的任意性。而在怀尔斯的方法中，极为关键的是E-序列中的基因确实有自然的次序，因而在证明了所有的第一个基因配对(E1=M1)后，下一步就理所当然是证明所有的第二个基因配对(E2=M2)，依此类推。这样，实际上就是应用归纳法。
怀尔斯花了两年的时间完成了这一步，但前程并不明朗。他开始研究一种在剑桥当科茨的研究生时已经学过的分析椭圆方程的一种方法——伊娃沙娃理论(Iwasawa theory)。虽然这个方法本身不足以解决问题，但他希望能够改进它，使它变得足够强。
1991年夏天，怀尔斯发现他改进伊娃沙娃理论的努力已经失败。他必须证明：如果椭圆方程的E-序列中的一个元素与模形式的M-序列中的一个元素相配，那么下一个元素也应如此。他还必须能保证每一个椭圆方程和每一个模形式都是这种情形。伊娃沙娃理论不可能给予他所需要的这种保证。他再一次查遍了所有的文献，仍然找不到一种可替代的方法来帮助他实现他所需要的突破。在普林斯顿“隐居”达5年之后，他认定必须重返学术交流圈以便了解最新的数学成果，于是他北上波士顿去出席一个关于椭圆方程的重要会议，在那里怀尔斯受到来自世界各地的同行们的欢迎，他们很高兴在他这么长时间不参加各种会议之后又见到他。
特别重要而关键的事情发生了，怀尔斯碰见了他以前的导师科茨，科茨对他说：最近俄国的科利瓦金(V.A. Kolyvagin)教授设计了一种新的方法，一个名叫弗拉奇(M. Flach)的研究生正在改进这种方法并用它写一篇精妙的分析椭圆方程的论文。怀尔斯如获至宝，这一方法似乎完全是为他的问题特制的。
回到了普林斯顿后，他将伊娃沙娃理论完全丢在一边，夜以继日地专心于扩展科利瓦金-弗拉奇方法。从理论上说，科利瓦金教授设计的这种数学方法极其强有力，而弗拉奇的进一步改进使得它更具潜力。怀尔斯采用这个新方法后，可
以将论证从椭圆方程的第一项扩展到所有各项，并且有可能对每一个椭圆方程都有效。
不久，对一种特殊的椭圆方程，怀尔斯已经用科利瓦金-弗拉奇方法使归纳证明奏效。但科利瓦金-弗拉奇方法对一种特殊的椭圆方程能行得通，不一定对别的椭圆方程行得通。怀尔斯进一步研究后发现，所有椭圆方程可以分类为不同的族，一旦科利瓦金-弗拉奇方法经修改后对某个椭圆方程奏效，那它就对那一族中所有的别的椭圆方程都有效。于是，怀尔斯的任务就是要改造科利瓦金-弗拉奇方法使得它对每一族都能奏效。尽管有些族比其他族更难对付，怀尔斯却坚信他能用科利瓦金-弗拉奇方法一个接一个地解决它们。
经过3年的艰苦努力，怀尔斯相信胜利已经在望。每个星期他都有进展，证明了更新、更大族的椭圆曲线一定是可模形式化的。看来，好像证明那些尚未解决的椭圆方程只是个时间问题了。在证明的最后阶段，怀尔斯开始意识到，他的整个证明必须以严格的方式进行检验。
大约在1993年1月份的上半月，怀尔斯请在普林斯顿大学数学系任教的凯兹(Nick Katz)教授协助检验，他们商量了一个既保密又稳妥的办法，就是对研究生开设一门名叫“椭圆曲线的计算”的研究生课程。课程一开始就进入专门性的计算，世界上不可能有人能猜到这种计算的真正目的。这种计算既冗长又乏味，选课的研究生们一个接一个溜走了，几个星期后，凯兹教授就成了留在听众席上仅有的一个人。
“椭圆曲线的计算”作为研究生课程无疑是失败了，但它作为辅助检验怀尔斯的证明却成功了。凯兹教授在课程结束时评价说，科利瓦金-弗拉奇方法应该是完全可行的。
于是，怀尔斯就沿着这条证明的道路坚定地走下去了。他成功地将科利瓦金-弗拉奇方法应用于一族又一族的椭圆方程。最后，只剩下一族椭圆方程了。
1993年5月末的一个早晨，娜达带着孩子们一起出去了，怀尔斯坐在书桌旁思考着剩下的一族椭圆方程。他随意地翻看着马休尔教授的一篇论文，恰好其中有一句话引起了他的注意。马休尔教授提到一了个19世纪的构造，怀尔斯突然意识到应该能够使用这个结构来使科利瓦金-弗拉奇方法也适用于最后一族椭圆方程。怀尔斯一阵欣喜，立即投入工作，忘记了下楼吃午饭，直到下午。到了大约三四点钟饮茶休息的时间，他解决了最后剩下的问题，怀尔斯走下楼来。娜达看看表，非常惊奇地望着他，他却平静地对她说：“我已经解决了费马大定理。”全家人立即为他欢呼起来。
从1986年到1993年，经过7年的专心努力，怀尔斯终于完成了对志村-谷山-韦伊猜想的证明，作为一个结果，经历了从10岁到40岁共计30年对它的梦想，他也证明了费马大定理。
恰好1993年6月末在剑桥有一个数论方面的工作报告会要举行，怀尔斯想，这也许是宣布证明费马大定理的好地方——“它是我古老的家乡，我曾经是那里的一个研究生。” 怀尔斯如是说。
怀尔斯为这次会议带去了一个系列演讲，标题为“模形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示”。会议在剑桥大学牛顿研究所举行，会议名称叫做“L函数和算术”，组织者之一是怀尔斯的博士导师科茨。值得一提的是，每一个对促成证明费马大定理的思想方法作出过贡献的人实际上都到了会场，包括马休尔教授、里比特教授、科利瓦金教授以及许许多多数论专家。
怀尔斯到达剑桥后，首先将一份证明复印稿交给了马休尔教授。里比特教授
黎曼假设
黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。 方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。 几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就 没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德 证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数： Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。
数学皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想
数学皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想 哥德巴赫〔Goldbach C.，1690.3.18-1764.11.20〕是德国数学家，出生于格奥尼格斯别尔格〔现名加里宁城〕，曾在英国牛津大学学习、原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族，因此对数学研究产生了兴趣，曾担任中学教师、1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士，1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书，1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职、1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来、 “我的问题是如此的： 随便取某一个奇数，比如77，能够把它写成三个素数之和： 77＝53＋17＋7； 再任取一个奇数，比如461， 461＝449＋7＋5， 也是三个素数之和，461还能够写成257＋199＋5，仍然是三个素数之和、如此，我发明：任何大于5的奇数基本上三个素数之和、 但这怎么样证明呢？尽管做过的每一次试验都得到了上述结果，然而不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验、” 欧拉回信说，那个命题看来是正确的，然而他也给不出严格的证明、同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数基本上两个素数之和、然而那个命题他也没能给予证明、 不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论、事实上，任何一个大于5的奇数都能够写成如下形式： 2N＋1＝3＋2(N－1)，其中2(N－1)≥4. 假设欧拉的命题成立，那么偶数2(N－1)能够写成两个素数之和，因此奇数2N ＋1能够写成三个素数之和，从而，关于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立、然而哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立、因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高、 现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想、 二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决那个猜想付出了艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题、 十九世纪数学家康托〔Ca n torG.F.L.P.,1845.3.3~1918.1.6〕耐心地试验了1000以内所有的偶数，奥培利又试验了1000~2000的全部偶数，他们都确信了在所试验的范围内猜想是正确的、1911年梅利指出，从4到9000000之间绝大多数偶数基本上两个素数之和，仅有14个数情况不明、后来甚至有人一直验算到三亿三千万那个数，都确信了猜想是正确的、 1900年，德国数学家希尔伯特〔HilbertD.,1862.1.23~1943.2.14〕在巴黎国际数学家大会上提出了二十三个最重要的问题供二十世纪的数学家来研究、其中第八问题为素数问题，在提到哥德巴赫猜想时，希尔伯特说这是以往遗留的最重要的问题之一、 1921年，英国数学家哈代〔HardyG.H.,1877.2.7~1947.12.1〕在哥本哈根召开的数学会议上说过，哥德巴赫猜想的困难程度能够和任何没有解决的数学问题相比、 近一百年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上许多闻名的数学家，并在证明上取得了特别大的进展、在对一切偶数的研究方面，苏联人什尼列尔曼(1905~1938)
100年以来对数论重大问题的证明都是错误的
100年以来數論重大問題的“证明”全部都是错误的 王曉明 摘要：100年來，對數論中的重大問題的“證明”全部都是錯誤的，最重要的原因就是數論學家普遍不懂邏輯學。整個數論已經崩潰，本文的目的就是指出這些錯誤。(内容基本上发表在中国科学院智慧火花各个栏目上) 目錄： 1，羅素悖論的是與非。 2，孿生素數猜想的是與非。 3，哥德巴赫猜想的是與非。 4，費馬大定理的是與非。 5，黎曼猜想的是與非。 6，3x+1問題的是與非 7，物理学的m理论用四色定理哥德巴赫猜想费马大定理黎曼猜想联合表示 一，羅素悖論的是與非 摘要：羅素悖論定義的“x不屬於x”有著明顯的錯誤：1，不是按照“種加屬差”的正確方法定義x。2，不是按照“不能採用否定判斷的定義”。3，“x不屬於x”的定義違法了同一律。並且兩次定義“一切”違反了同一律。4，語法錯誤，“x不屬於x”，前面x是主語，後面x是謂語，前面主語x是“誰”“什麼”，後面謂語x“是什麼”，“不是什麼”。 關鍵字：悖論，定義。 （一），前言 英國人勃蘭特.羅素（Betrand Russell1872—1970）是二十世紀西方哲學界大師，年輕時曾經用10年時間完成三卷【數學原理】，後由數學進入哲學，到了孔子說的從心所欲而不逾矩的年齡，寫完【西方哲學史】。作為數學家哲學家的羅素在二戰後為什麼獲得諾貝爾獎文學獎？西方人通常按照地緣政治的角度解釋戰爭，拿破崙打過來脾斯麥打過去，戰爭、聯姻...無休止的幹下去。直到二戰結束，人們經過奧斯維辛集中營、達豪之後，飽受蹂躪的歐洲人忽然明白，正是羅素預言的那樣——潛藏在人性中的邪惡才是災難的起因。羅素在他的著作中早有分析和預言，戰後倖存者讀起來無不心悅誠服。羅素的文筆非常漂亮，文風優美，就連一部【西方哲學史】寫得跟聊天似得，於是斯德哥爾摩的文學老爺們找到了理由。羅素的故事永遠談不完，我們就此停筆。而這個瘋子（實際上是個邏輯學白癡）給數學造成的麻煩形成了100年的恐慌，我們今天揭穿這個數學......。 （二），羅素悖論 羅素1903年構造了一個集合R，設R 為一切不屬於自身元素的集合所組成的集合（作者附言：這是第一次定義“一切”）。 羅素問： R是否屬於R？（【中國大百科全書-數學】19頁）。 實際上羅素提出的是兩個命題： 【1】，R是屬於R。 【2】，R不是屬於R。 根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的
黎曼猜想简介
黎曼猜想简介 数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。 -----K.F.Gauss 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。 当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。 让我们从1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。 14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间
黎曼函数
它亦可以用积分定义： 对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ（2）的表达式一起可以用来证明两 个随机整数互质的概率是6/π2。 \frac{}{}== 函数值==
黎曼函数在s > 1的情况 ζ函数满足如下函数方程： 对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ表示Γ函数。这个公式原来用 来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上 述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是 可能的零点，但s为正偶数时，为不为零的规 则函数（Regular function），只有s为负偶数时，ζ函数才有零点， 称为平凡零点。 当s为正整数 其中B2k是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。（序列A046988/A002432列在OEIS）。 这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。 拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。为正偶数时的函数值 公式已经由欧拉计算出。但当为正奇数时，尚未找到封闭式。 这是调和级数。 （OEIS中的数列A078434）
自旋波物理。 （OEIS中的数列 A013661） 是多少？ （OEIS中的数列A002117） 称为阿培里常数。 （OEIS中的数列 A0013662） 负整数[编辑] 同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有 理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ 函数在负偶整数点的值为零。 复数值[编辑] ，x＞1。 幅角[编辑] ， 函数值表[编辑] ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
黎曼ζ函数
黎曼ζ函数 最小值马克斯 再保险-15年15 即时通讯-15年15 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)
(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)
黎曼猜想被证明
一、什么是黎曼猜想 黎曼猜想——最重要的数学猜想 早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。 欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数 黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。 黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人 黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子： 黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。 “所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。 黎曼猜想还跟幂律分布有关。 我们都知道幂律分布是指 其中x如果只能取1,2,3,...,n的整数，c为归一化常数，满足： 而这里面的
就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。 黎曼猜想真的会被证明吗？ 质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。 黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。 二、黎曼猜想被证明了吗？ 如果这是真的，Atiyah爵士将不仅获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。 然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩…… 黎曼函数和黎曼猜想简介 大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。 首先有无穷级数ζ(s) ： 当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+...，算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于π2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时，它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s'(x',iy')。我们注意到这个级数要求s的实部大于1（x>1），否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。 ζ(s)在复平面上的图像，Re(s)>1，此时图像全部分布在Re(ρ)=1/2线的右侧。图源3blue1brown 黎曼函数是ζ(s)在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。（值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯
黎曼猜想
[编辑]黎曼猜想 维基百科，自由的百科全书 跳转至：导航、搜索 千禧年大奖难题 P/NP问题 霍奇猜想 庞加莱猜想（已证明） 黎曼猜想 杨-米尔斯存在性与质量间隙 纳维-斯托克斯存在性与光滑性 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6???等点的值)的实数部份是?。 黎曼猜想（RH）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。黎曼ζ函数在任何复数s≠ 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = ?2, s = ?4, s = ?6, ...）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。 黎曼猜想提出： 黎曼ζ函数非平凡零点的实数部份是? 即所有的非平凡零点都应该位于直线? + ti（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼ζ函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于ζ函数在临界线上的零点。
素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼（1826--1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。 1901年Helge von Koch指出， 现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。 黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰·恩瑟·李特尔伍德与塞尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。 目录 [隐藏] ? 1 历史 ? 2 黎曼猜想与素数定理 ? 3 黎曼猜想之结果及其等价命题 o 3.1 默比乌斯函数的增长率 o 3.2 积性函数增长率 o 3.3 里斯判准与二项式系数和 o 3.4 韦伊判准、李判准 o 3.5 跟法里数列的关系 o 3.6 跟群论的关系 o 3.7 与埃拉托斯特尼筛法的关系 o 3.8 临界线定理 ? 4 已否证的猜想 ? 5 相对弱的猜想 o 5.1 Lindel?f猜想 o 5.2 大素数间隙猜想 ? 6 证明黎曼猜想的尝试 ?7 黎曼猜想证明的可能的着手方向 ?8 与算子理论的可能联系 ?9 搜寻ζ函数的零点 ?10 参考文献
猜想在数学中的作用
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学方法理论的倡导者Ｇ·波利亚曾说过，在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。数学猜想能缩短解决问题的时间；能获得数学发现的机会；能锻炼数学思维。历史上许多重要的数学发现都是经过合理猜想这一非逻辑手段而得到的，例如，著名的“歌德巴赫猜想”、“四色猜想”等。因此，在小学数学教学中，运用猜想可以营造学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维，培养学生克服困难的坚强意志，自始至终地主动参与数学知识探索的过程。 1．猜想在新课引入中的运用。 在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。如在“圆面积的计算”教学中，先让学生猜一猜圆面积大约在什么范围呢？如图所示，边观察，边猜想。 提问：这个小正方形的面积是多少？（r2）这个大正方形的面积是多少？（4r2）猜一猜圆面积大约在什么范围呢？（圆面积＜4r2）。教师问：比4r2小一点，那到底是多少呢？大家知道吗？现在我们就来探讨解决这个问题。这样通过猜想，使学生初步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态。 2.“猜想”在新知学习中的运用。 在学生学习数学知识过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。如在圆的周长教学中，教师让学生拿出事先准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规。问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法？”学生经过观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量绳子长度行吗？”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不可以围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长度？”显然这是一个很了不起的猜想。教师追问：“为什么你要提出这样的猜想？”学生回答：“用圆规画圆，半径越长，圆就越大，也就是直径越长，圆的周长就越长，所以，用直径求圆的周长，既准确，又省力。”由此可见，通过学生一系列的自主猜想，诱发了跳跃思维，加快了知识形成的进程。 3．“猜想”在新知巩固中的运用。 充分发挥学生的潜在能力是当今素质教育研究的重点。因此，教师要采取多种手段激活学生学习的内驱力，疏通学生潜能涌动的通道，以求迸发出智慧的火花。要想实现这一目标，教师可以充分利用猜想，在有利于发挥学生的潜能的最佳环节之一——知识巩固阶段，调动学生头脑中已有的数学信息（概念、性质），并对之进行移动和重组，开拓新思路，从而获得突破性的结论。如我经常设计一些活泼的情境题、开放题，引导学生猜想，有这样一道题：“学校围墙外面是大片草地，一只羊拴在桩上，绳净长5米，这只羊可在多大面积吃到草？”学生们动手寻找答案，很快学生提出猜想：“要求这只羊可在多大面积吃到草，就是求以绳
希尔伯特23个问题
希尔伯特23个问题及解决情况 1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想： 正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。 希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。” 他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征： 清晰性和易懂性； 虽困难但又给人以希望； 意义深远。 同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。 编号问题推动发展的领域解决的情况 1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。 2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学” 证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。 3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。 4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。 5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。 6 物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由 A.H.Konmoropob等人建立。 7 某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm 和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。
黎曼猜想原始论文中文译注-《论小于某给定值的素数的个数》(1)
论小于某给定值的素数的个数 （黎曼提出黎曼猜想的原始论文） 黎曼（Riemann ）原稿 谢国芳（Roy Xie ）译注 Email:roixie@https://www.360docs.net/doc/cc7115725.html, 承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。 我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点： 11 1 s s p n -=- ∑∏ 其中等式左边的p 取遍所有质数，等式右边的n 取遍所有自然数，我将用()s ζ表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s 的函数。 {注1： 即定义复变函数 1 1 ()1s s s n p ζ-= =-∑ ∏} 上面这两个级数只有当s 的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个（对任意s ）总是有效的函数()s ζ的表达式。 {注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数()s ζ进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。} 利用等式 {注3：()s ∏是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作()s Γ，
()(1)()s s s s ∏=Γ+=Γ，10 ()s x s x e d x ∞ --Γ= ?，令积分号中的哑变量x n x →即可导出上式。} 可得 {注4：11 1 1111 x nx x x x n e e e e e -∞ ---==-==---∑ } 现在考虑积分 {注5：按现代数学记号，该积分应记成 1 () 1s x C x dx e ---? 或（考虑到一般用z 表示复数）1 ()1s z C z dz e ---?， 其中的积分路径C 如下面的图1所示。} 积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的 正向边界进行。 {注6：参见下面的图1。} 图1 易得该积分的值为
2009-11-27 黎曼函数的极限
黎曼函数的极限 黎曼函数是指如下函数： *0,0,1(0,1)()1,(,,)x R x p x p q p q q q =??=?=<∈?? 或者内无理数既约分数, 容易知道R (x )的定义域为[0,1]. 因为(0,1)内任意有理数都可以表示成p /q (既约分数,p 0，使R (x )≥ε的x 只有有限个. (这里的有限个也包括0个. ) 我们只做简单分析，不做严格证明. 当x 不在[0,1]内时R (x )没有意义，从而也谈不上R (x )≥ε. 当x =0,1或者(0,1)内的无理数时，R (x )≥ε显然不成立. 当x 为(0,1)内的有理数时，x 可写成x=p /q (既约分数,p
|r /s-p /q |=|(rq -sp )/sq |≥1/sq ，从而s >1/(q δ). 定理3 黎曼函数在(0,1)内任意一点的极限为0，在x =0处右极限为0，在x =1处左极限为0. 证明 (1)x 0为[0,1]内的无理数. 任给?ε>0. 若(0,1)内不存在有理数使得R (x )≥ε. 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|}. 就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. 若(0,1)内存在有理数使得R (x )≥ε. 根据定理1知道，这样的有理数只可能有有限个，从而也是可列个. 设这些使R (x )≥ε的有理数为x 1,x 2,…,x n . 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|,|x 1-x 0|,|x 2-x 0|,…,|x n -x 0|}>0. 这样就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (2)x 0为(0,1)内的有理数. 设x 0=p /q (既约分数,p
0，取δ=min{ε/q ,|x 0|,|1-x 0|}. 若x 为U o (p /q ;δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r
1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为U o (p /q ;δ)内无理数，则一定有R (x )=0<ε. 综合起来就是对?x ∈U o (p /q ;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (3)x 0=0. 任给?ε>0, 取δ=min{ε,1}. 若x 为(0,δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r 1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为
数学家黎曼
波恩哈德·黎曼 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1]（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。 生平 他出生于汉诺威王国（今德国下萨克森）的小镇布列 斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎 曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。 1842年祖母去世后，他搬到吕讷堡的约翰纽姆 （Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入 哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些 数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到 父亲的允许后，他改学数学。 1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅可比、狄利克 雷和斯坦纳门下。两年后他回到哥廷根。 1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设” 的演讲，开创了黎曼几何学，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。 1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。 1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。 贡献 他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。 他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。 黎曼猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s 不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是?。
黎曼猜想的重要意义
黎曼猜想的重要意义 在数学界，有很多非常重要的数学难题至今没有被攻克和证明，黎曼猜想就是其中的一个。提起“黎曼猜想”，大家可能仅仅是听说过，或者仅仅知道这个难题的名称而已，至于它究竟是什么问题，为什么如此重要，大多数人可能是一无所知。 德国数学家、物理学家黎曼 黎曼猜想的内容：它究竟是一个什么问题
黎曼猜想是由德国数学家、物理学家黎曼提出的。1859年黎曼发表一篇关于素数分布的论文，这篇论文中他研究了黎曼ζ函数，提出了著名的黎曼猜想。我们无法完全用初等的数学来描述黎曼猜想的内容，概略地讲，它是关于对一个名叫黎曼ζ函数的复变量函数（也就是变量和函数值均在复数域中取值的函数）的猜想。与其他很多函数一样，黎曼ζ函数在某些点上的取值为0，这些点被称之为黎曼ζ函数的0点。在这些0点当中，特别重要的一部分称为黎曼ζ函数的非平凡0点。黎曼猜想的内容就是猜想这些非平凡的0点，全部分布在一条特殊的直线上，这条直线被称之为“临界线”，它是一条通过实轴的点1/2与虚轴平行的直线。 黎曼猜想是数学中最重要的猜想 黎曼猜想一直以来都是数学界最为重要的猜想之一，这是世界各国科学家们所公认的事实。 1900年夏天，在法国巴黎召开一次国际数学家大会。在这次会议上，德国著名的数学家希尔伯特做了题为“数学问题”的演讲，列出了一系列他认为最为重要的数学难题，引起了很多数学家的兴趣。 时隔100年，也就是2000年，美国克雷数学研究所的数学家们在巴黎也召开了一次数学会议，参加会议的科学家们也列出了他们自己认为最为重要的数学难题。虽然他们的声望远远不及希尔伯特，但为表明其重要性和鼓励攻克难题，他们为每个难题开设了100万美元的奖金。
希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题
希尔伯特23个问题与21世纪七大数学难题 2009-12-31 12:41:40 希尔伯特23个问题及解决情况 1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想： 正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。 希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。” 他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征： 清晰性和易懂性； 虽困难但又给人以希望； 意义深远。 同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。 编号问题推动发展的领域解决的情况 1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。 2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。 3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn 给出了肯定的解答。 4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。 5 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念拓扑群论经过漫长的努力，这个问题于1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最后解决，答案是肯定的。 6 物理公理的数学处理数学物理在量子力学、热力学等领域，公理化方法已获得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题。概率论的公理化已由 A.H.Konmoropob等人建立。 7 某些数的无理性与超越性超越数论1934年A.O.temohm和Schneieder各自独立地解决了这问题的后半部分。 8 素数问题数论一般情况下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八问题中的Goldbach问题至今也未解决。中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。 9 任意数域中最一般的互反律之证明类域论已由高木贞治(1921)和E.Artin(1927)解决. 10 Diophantius方程可解性的判别不定分析1970年由苏、美数学家证明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。
黎曼假设(2)素数个数公式
黎曼假设(2)素数个数公式《黎曼假设》(2)突破性解答 素数分布规则③——素数个数公式 千禧年世界数学难题之四解答 1900年希尔伯特23个问题第8题 世界数学难题解答 作者：中国数论研究者 江西景德镇 乐平林登发 (经济师) 邮箱：2208831455@https://www.360docs.net/doc/cc7115725.html, 2015.7.8
㈠前言 随着《黎曼假设》素数分布被级数筛法突破性解答，《孪生素数猜想》素数对被序号筛法突破性解答，在数论史上还有关于素数无限发展，无限延伸从0至∞的发展趋势，它们的数量计算还是渺茫，难以捉摸。 古今很多学者創造过一些计算素数个数公式，不是属于数理逻辑推导出来的，而是捕风捉影硬套产生的，所以很多公式一用就失效，目前世界上还沒有素数个数精确公式，那怕局部区域使用的也沒有，大家都在渴望，期盼着…… 当前是万民创业，万众创新时代，陷入僵局的素数分布问题应运而生，应运而解，上可顺乎天意，下和谐接地气，素数分布个数公式要出世了，古老数论将有突破性进展。 ㈡基础理论引导 自然数是素数及素数变換形态模式共同产生的混合体，六进制1633规则级数筛法揭露自然数中素数分布规则，只有在阳奇数6N+1和在阴奇数6N-1中有素数存在。 阳奇数中的素数叫阳素数，阴奇数中的素数叫阴素数，从此知道素数也有阴阳之分。 由六进制中6分解：6=1X2x3中得到1，2，3，是0号原始素数。 因此素数理念革命性改变了，素数有三种：原始素数，阳素数，阴素数。因此 素數数量精确公式： ∑全体素数分布数量个数 =∑原始素数+∑阳素数+∑阴素数。 后二种统称普通素数，1是先天性原始素数。 在阳奇数中除阳素數以外，还有阳复合“积”合数，可以用十字街规则把它筛选出来。同样在阴奇数除阴素数以外，还有阴复合“积”合数，也可以用十字街规则把它筛选出来。 这些复合“积”合数在相对区域来说数量是变化的，是动态的。随区域变化而变化，分布数量十分不均匀。所以在无数次探索中釆取以动制动求解，才符合数理逻辑。只有转换思维方法，简单而直接的答案就可能是最合理可行的。 ㈢主题： 素数分布规则③——素数个数公式 从铁路规则双轨数中结构分析： ①原始素数即0号素数1，2，3，共三个。
猜想突破 数论研究
猜想突破数论研究 千禧年世界数学难题《黎曼假设》又名《黎曼猜想》，著名世界数学难题《哥德巴赫猜想》，《孪生素数猜想》等猜想突破解析、解答与证明。 研究项目课题: 《基础数论六进制级数筛法( 阴/阳、三奇/三偶、裂变/聚变) 新学说》 (1) 素数分布规則: 2000年5月24日世界数学会在法国法兰西科学院宣布的千禧年世界数学难题第四题《黎曼假设》破解证明。颠覆、淘汰了旧概念，沒有釆用黎曼使用《ζ函数理论》。应用筛法新学说理论解析。 篇幅內容： ①《黎曼假设》(1) 素数分布规则。 ②《黎曼假设》(2) 孪生素数分布规则 ③《黎曼假设》(3) 素数个数公式共三篇数论。 (2) 素数组合规则 1900年，世界数学会主席、德国数学家希尔伯特宣布的，世界数学难题23个问题第8题《哥德巴赫猜想》破解证明，颠覆、淘汰了旧观念，沒有釆用国际学术上延用的《殆素数理论》，应用筛法新学说理论解析。 篇幅內容： ①素数组合规则解答(1) 俗称:《哥德巴赫猜想》偶数个数1+1 。 ②素数组合规则解答(2) 俗称:《哥德巴赫猜想》奇数个数1+1+1 ③自然数顶层设计一一素数组合规则(3) 等共三篇数论。 以上共六篇是继承发扬中国传统《周易》古老哲学智慧，应用创新演化成的新学说，逻辑思维中式演算。 独特之处是：不存在陷入小数泥潭难以自拔窘境，不釆用含糊数学术语、个性化代替规则的数字闹剧。 是交叉学科的枢纽学术精髓，是大数据芯片“和”与“积”区分智能程序，是世界数学不可思议素数问题顶级难题突破，是基础前沿科学烧脑系统工程。 为突破世界数学难题一一素数问题各种猜想僵局开创先河，从怎样发现素数系统到自然数构造自成体系论述，新学说见到了“光明”。 体现中国文化成为能够影响世界未来的优秀文化，东方还有易经理论可超越ζ函数、殆素数理论的中国六爻轮回级数筛法，更明智的解析理念、创新方法！ 有中国文化自信，作为共和国的长子“老三届”就有新学说理论自信，让世界再分享新时代中国文明文化传承！ 还研究了奇葩世界数学难题，著作了《角谷猜想解析》，《周氏猜测解说》，《数的新模式》，还有…… 拙作均已发表在百度文库成为共享文档，为适应读者了解其内容特写此提示，欢迎世界永久评阅！ 作者：中国数论研究者江西省景德镇市乐平林登发职称经济师