离散数学函数

Df =dom f=X
f的值域(range) ：记作ran f， 或Rf 即或f(X) Rf =ran f=f(X)={y| y∈Y∧x(x∈X∧<x,y>f)}
Rf = ran f ⊆Y
f的陪域(codomain): Y 称之为 f 的陪域。
二. 函数的表示方法 函数的关系图的特点：
每个节点都有且仅有一条往外发的弧线。
函数的复合运算满足可结合性。 设 f:XY, g:YZ, h:ZW 是函数, 则 (h g) f=h (g f)

证明：与关系复合的可结合性证明类似，但要 注意，要有函数相等的定义去证明。
2.定理5-2.2 设f:XY, g:YZ是两个函数, 则 ⑴如果f和g是 满射的，则 g f 也是满射的；
定理 令X，Y为有限集合，若X和Y的元素个数 相同，则 f:XY是入射的，当且仅当它是满射的。
例：判断下列函数类型
f:RR y=ax+b 双射的
f:RR y=x2 映内的
f:RR y=2x 映内的 入射的
思考：满射函数、入射函数、双射函数的关系矩
阵及关系图有什么特点？
本节重点掌握：函数的定义、函数相等的 定义、函数映射类型的判定。
5-2
函数的复合
由于函数就是特殊的关系，关系的复合运算： 设R是从X到Y的关系，S是从Y到Z的关系，则R和S 的复合关系记作RοS ，定义为：
Rο S ={<x,z>|xXzZy(yY <x,y>R<y,z>S)} 一. 定义: f:XY, g:YZ是函数,则 g f ={<x,z>|xXzZy(yY <x,y>f<y,z>g)} 称g在函数 f 的左边可复合 (左复合)。

4
例 令f和g都是实数集合R上的函数,如下: f={<x,y>|x,y∈R∧y=3x+1 } g={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 + x} 分别求 g f 、 f g 、 f f 、 g g

g f(x)=g(f(x))=(3x+1)2+(3x+1)=9x2+9x+2

再次证明它们的映射相同。 任取 yY， f-1(y)= f-1 ( IY (y)) = f-1 IY (y) = f-1 (f g) (y) = (f-1 f) g (y) = IX g(y) = IX (g(y)) =g(y) 同样可证 g-1(x)= f(x) 综上得 f-1 =g， g-1 =f
第五章
函数
函数是一个基本的数学概念，应用范围很 广，在计算机科学中，如计算理论 、编译理 论、数据库理论、软件工程、计算机安全保 密，操作系统等理论都要用到函数。 函数也叫变换、映射。 本章主要介绍函数的概念、函数的复合运 算、逆函数，以及集合的基数。
5-1
函数的基本概念
一.函数的概念 1.函数：X、Y是集合，f 是从 X 到 Y 的关系，如果对 任何的x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f, 则称f 是从X到Y的函数 (变换、映射)，记作f: XY, f 或 X Y 如果f:XX是函数, 也称 f 是X上的函数。
先看下面例子：
X 1。 2。
f
。 a 。 b 3。 c 4。 。
Rf=Y
Y
X 1。 2。
g
。 a 。 b 3。 c 4。 。
RgY
Y
X1
Hale Waihona Puke 1。 2。。 a 。 b 。 3 。 c 。 d
RhY1 一对一
h
Y1
1。
X1
s
2。
3。
。 a 。 b 。 c
Y
Rs=Y 一一对应
1.满射的：f:XY是函数，如果 Rf=Y, 则称f 是 满射的。即对任意y∈Y，都存在x∈X, 使得 f(x)=y。 2.映内的：f:XY是函数，如果 RfY 则称f 是映 内的。
例子：
1。 X
f
2
。
。 a 。
b
-1 Y f X
。 1 。 2
X 1。 2。 3。
IX
X
。 1 。 2
3。
。
c
。 3
。 3
可见 f-1 f = IX 。
3.定理5-3.3 令 f:XY, g:YX 是两个函数,
如果g f= IX 且 f g = IY , 则 g= f-1，且f = g-1。 证明：先证 f 和 g都可逆。因为g f= IX，IX是双射 的，由函数复合性质3得， g是 满射的且f是入射 的。同理由 f g = IY，得f 是 满射的且g是入射的。 所以f和g都可逆。 其次 f-1 :YX，与g具有相同的定义域和陪域。 g-1 :XY，与f具有相同的定义域和陪域。
5-3
逆函数
R是A到B的关系，其逆关系RC是B到A的关系。 RC={<y,x>|<x,y>R} f:XY ， fC:YX 是否是个函数？ 请看下面的例子：
f: X Y 。 a 1。 。 b 2。 。 3。 c fC: Y X 。 1 a。 。 2 b。 。 3 c。
显然 fC 不是函数。
可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
一.逆函数定义： 设 f:XY 是双射函数，fC:YX 也是函数, 称之为 f 的逆函数，记为f-1。 f-1存在，也称f 可逆。显然，f-1也是双射的函 数。 二.性质 1.定理5-3.1 设 f:Xy 是双射函数， 则 (f-1)-1= f 。 证明从略

⑶ 由⑴⑵可得此结论。
3.定理5-2.3 数, 则
设f:XY, g:YZ是两个函
⑴如果 gf 是满射的，则g是 满射的； ⑵如果gf 是入射的，则 f 是入射的； ⑶如果 gf 是双射的，则 f 是入射的且 g是 满射的。
此定理的证明是今天的作业。 156页题(3)。
4.定理5-2.4 f:XY是函数, 则 f IX= f 且 IYf=f 。 证明：先证明定义域、陪域相等。 因为 IX:XX， f:XY，所以 fIX : XY, IY f : XY 可见fIX、IYf 与 f 有相同的定义域和陪域。 再证它们的映射相同：任取x∈X， fIX(x)=f(IX(x))=f(x) IYf (x)= IY(f(x))=f(x) 所以 fIX = f 且 IY f = f 。
2.恒等函数：恒等关系IX是X到X函数，即 IX:XX, 称之为恒等函数。 显然 对于x∈X，有 IX(x)=x 。
五 .两个函数相等 设有两个函数 f:AB g:CD, f=g 当且仅当 A=C，B=D，且对任何x∈A，有f(x)=g(x)。 即它们的定义域、陪域相等、映射也相同。
六. 函数的类型

定理：两个函数的复合是一个函数。 证明：略。 注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. 这样写是为了照顾数学习惯: gοf(x) = g( f(x) ) 设： gοf(x)=z 于是<x,z>∈gοf, 即∃y∈Y, 使<x,y>f<y,z>g 即y=f(x)且z=g(y), 于是 z=g(f(x)) 所以 gοf(x)＝ g(f(x))
二. 复合函数的计算 计算方法与复合关系的计算相同， 但要注意是左复合。
例 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} 用有向图复合: g f g f X Z X Y X 。 1 。 。 1 。 1。 1 1 。 2 。 2 。 。 。 2 。 2 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
2.定理5-3.2 设f:XY是双射的函数，则有 f-1 f= IX 且 f f-1 = IY 。 证明：证 f-1 f= IX 先证明定义域、陪域相等。 因为 f:XY是双射的，f-1:YX也是双射的，所以 f-1 f :XX , IX:XX 可见f-1 f 与IX 具有相同的定义域和陪域。 再证它们的映射相同：x∈X，因 f:XY，yY, 使得 y=f(x), 又f 可逆，故 f-1(y)=x，于是 f-1 f (x)=f-1(f(x))=f-1(y)=x= IX (x) 。 综上 f-1 f= IX 注：当f 可逆， y=f(x)⇔ <x,y>∈f ⇔ <y,x>∈f-1 ⇔ x= f-1(y) 同理可证 f f-1 = IY 。

⑵如果f和g是入射的，则 g f 也是入射的；

⑶如果f和g是双射的，则 g f 也是双射的。 证明：⑴ 设 f 和 g 是满射的，因g f :XZ, 任取z∈Z, 因 g:YZ是满射的，所以存在y∈Y, 使得 z=g(y), 又因 f:XY是满射的，所以存在 x∈X, 使得 y=f(x), 于是有 z = g(y) = g(f(x)) = g f (x), 所以 g f 是满射的。
YX ={f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8}
如果X和Y是有限集合，|X|=m,|Y|=n，因为 X中的每个元素对应的函数值都有n种选择， 于是可构成nm个不同的函数，因此 |YX|=|Y||X|=nm, 可见符号YX 有双重含义.
四. 特殊函数 1. 常值函数：函数f:XY ，如果y0∈Y, 使 得对x∈X, 有f(x)=y0 , 即ran f={y0} ,称f是 常值函数。如上例的f1和f8。
2.自变元与函数值(像源与映像) ：f:XY, 如果<x,y>∈f,
称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x)
3.定义域、值域和陪域(共域) ：f:XY,
f的定义域(domain)，记作dom f，或Df 即
Df =dom f={x|x∈X∧y(y∈Y∧<x,y>f)}

⑵ 设 f 和 g是入射的，因 g f :XZ,

任取x1, x2∈X, x1≠x2，因 f:XY是入射的， f(x1)≠f(x2) , 而 f(x1) ,f(x2)∈Y，因
g:YZ是入射的，g(f(x1))≠g(f(x2)) 即 g f (x1)≠ g f (x2)

所以g f 也是入射的。
f g (x)=f(g(x))=3(x2+x) +1=3x2+3x+1 f f (x)=f(f(x))=3(3x+1) +1=9x+4 g g (x)=g(g(x))=(x2+x)2+(x2+x)=x4 +2x3 +2x2 + x 可见复合运算不满足交换性。



三.函数复合的性质 1.定理5-2.1
3.入射的：f:XY是函数，对于任何 x1,x2∈X,
如果 x1≠x2 均有f(x1)≠f(x2), (或者若f(x1)=f(x2),则 x1=x2), 则称f 是入射的(单射的，一对一的)。
4.双射的：f:XY是函数，如果 f 既是满射的，又 是入射的，则称 f 是双射的，也称f 是一一对应 的。
函数的矩阵的特点：
每行必有且只有一个1。
三.从X到Y函数的集合YX： YX = { f | f:XY} YX ：是由所有从X到Y的函数构成的集合。 问： X={1,2,3}，Y={a,b} 能构成多少个从X到Y的函数？
例 X={1,2,3} Y={a,b}， 所有的从X到Y函数:
X f1 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f5 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f2 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f6 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f3 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f7 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f4 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。 X f8 Y 1。 。 a 2。 。 b 3。
下面给出A={1,2,3}上几个关系，哪些是A到A的函数？
1 2
。
2
1
。
2
1
。
1
。
。 。 3
R1
。 。 3
R2
2。 。 。 。 3 3
R3
R4
下面是大家熟悉的实数集合上的几个关系，哪些是R到R 的函数？ __ 1 f={<x,y>|x,y∈R∧y= x } g={<x,y>|x,y∈R∧ x2+y2= 4 } h={<x,y>|x,y∈R∧y= x2 } r ={<x,y>|x,y∈R∧y=lgx } v ={<x,y>|x,y∈R∧y= √ x }