数学工程流体力学

它为单位时间通过过流断面A的流体动能
的总和。由于流速u分布复杂，无法积分。一
般采用动能修正系数α，建立平均流速V的总
动能与实际分布速度u的总动能相等，即：
u3ds V 3ds SV 3
S
S
式中：
u 3ds
S
V 3S
1
其值取决于过流断面流速分布，对理想流体 α＝1。
因此,总流的伯努里方程:
工程流体力学
主讲: 冯 进
长江大学机械工程学院
§5 理想流体动力学
假设存在一种流体，其粘度为零，该流体 称为理想流体。客观上是不存在这种流体的， 但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可 以不考虑时，可以把它当理想流体处理。
§5.1 理想流体运动方程
dux dt
Fx
p x
duy
dt
Fy
p y
duz dt
S
(z
p
u2 2g
)guds
S
cguds
cgQ
上式分两项积分分别讨论：
1.第一项积分：S
(z
p
g
)guds
只有在所取断面上流动为均匀流或渐变
流时，过流断面上z+p/ρg为常数，积分才有
可能。所以
S
(z
p
g
)guds
g
(z
p
g
)dQ
(z
p
g
)gQ
2.第二项积分：S
u2 2g
guds
g
2g
u3ds S
z p V 2 C 2g
例1：液体自下 而上流动，如图示。 液体的密度为ρ， 测压计的流体密度 为，试求管中液体
流量。
例2：一水槽在同 一侧面有两个大小 相同的孔口，上面 的孔口离水面2m， 下面孔口离水面4m， 试求两孔射流为定 常运动时，在哪一 点相交。
§5.3 理想流体的拉格朗日积分
x
ux2
u
2 y
u
2 z
i uy
u y x
i uz
uz x
i ux
u y x
j ux
uz x
k
1 2
y
ux2
u
2 y
u
2 z
j ux
ux y
j uz
uz y
j uy
ux y
i uy
uz y
k
1 2
z
ux2
u
2 y
uz2
k ux
ux z
k uy
u y z
k uz
当X=L时，势函数在B点处对时间的偏导数为：
Ct l du l
t B
t
dt
在同一时刻，A、B 两点的关系：
p0 gh du l u2 p0
dt 2
du 1 2gh u 2
F
gz
运动方程具有以下形式：
u t
1 2
u2
gz
p
u
u
0
当流体为理想、均质不可压、质量力仅为 重力且运动为定常时，上式变为：
1 2
u2
gz
p
wk.baidu.com
u
u
0
将等式两端点乘流线上任意点的切线方向的单
位矢量
s
u u
，得：
s•
1 2
u2
gz
p
s•
u u
0
s
1 2
u2
gz
p
0
沿流线积分得：
1 u 2 gz p C
上式表明单位质量流体的总能量（动能、 势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图 示。
例1：常用皮托管 测量流速，皮托管测 速原理如图示，如果 被测流体为不可压缩 流体。
根据伯努里方程有：
u12 2g
p1
g
z1
u
2 2
2g
p2
g
z2
式中，z1=z2，且在第2点处u2=0。根据静压平
衡原理，有 p2 p1 m gh ，故：
§5.2 理想流体的伯努里方程
一、伯努里方程
当理想流体的压强仅与密度有关时，我们称 它为理想正压流体。理想正压流体在有势质量力的 作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下
可以积分出来。理想流体运动方程：
u
1
u 2
u
u
F
1
p
t 2
当理想流体为不可压缩均质流体时，则：
1
p
p
当质量力仅为重力时，则：
例： 巳知流体流动的速度为：
ux 3x2 2xy uy y2 6xy 3yz2 uz z3 xy2
质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1） 位置上的压力梯度。采用ρ=1000kg/m3, g＝ 9.8m/s2。
例2：已知不可压缩流体水平面上作有势流流
动，在X方向上的速度分量为ux=yt-x，且在x ＝y＝o处，ux=uy=0，p＝p0。试求t＝o时流场 的压力分布。
u2 z p C
2g
g
二、拉格朗日积分应用
旁管出流的不定常 过程如图示。旁管为等 直径的水平管，水箱很 大，近似认为出流不影 响液面高度，水平管内 的流动近似认为一维流 动。根据连续性方程， 有：
u 0 u Ct
x
根据无旋流动，有：
u
x
x
0 udx
x
0
Ct
dx
C t x
t
C t
t
x
一、拉格朗日积分
当流体为理想、均质不可压、质量力仅 为重力且无旋时，运动方程变为：
t
1 2
u2
gz
p
0
t
1 u2 2
gz
p
0
式中 为势函数。
积分上式得：
1 u 2 gz p Ct
t 2
C(t)为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取 同一常数值，这就是拉格朗日积分。
当流体为理想、均质不可压、质量力仅为 重力、无旋且定常时，拉格朗日积分改写成：
2
C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线
取不同的值，这就是伯努里方程。伯努里方程
写成：
u2 2g
z
p
g
C1
当流体为理想、均质不可压、质量力仅为 重力、定常且无旋时，运动方程写成：
积分得：
1 2
u2
gz
p
0
u2 z p C
2g g
C为积分常数，在整个流场中取同一值。
二、伯努里方程的物理意义
u1
2p2 p1
2m gh
三、总流伯努里方程
在同一过流断面上各点的速度不一定相同。 因此，上式适合于流束而不适合总流，总流是 由无限个流束组成的，对每个流束进行积分即 可得出实际流体总流能量方程式。
设微小流束的流量为dQ，单位时间内通过 微小流束任何过流断面的流体重量为ρgdQ， 将适合于流束的伯努里方程各项乘以ρgdQ， 在总流的两个过流断面积分，即：
Fz
p z
du
F
p
dt
du
F
1
p
dt
在第三章，介绍欧拉法描述流体运动时， 我们知道其加速度为：
du u u• u
dt t
其中：
u•u ux
x
uxi uy j uzk
uy
y
uxi uy j uzk
uz z uxi uy j uzk
u•u
1 2
ux z
i uz
u y z
j
u• • u
1 u2 2
u
y
u y x
ux y
u
z
ux z
uz x
i
u
z
uz y
u y z
u
x
u y x
ux y
j
u
x
ux z
uz x
u
y
uz y
u y z
k
1 u2 u u
2
因此，理想流体的运动方程写为：
du
u
1
u 2
uu
F
p
dt t 2