曲面的切平面和法线方程

曲面的切平面与法线方程

设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1

. . ■ 一处可微，且

x=瑚Q

£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。由于曲线I 在工上，则有

任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平

面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。记为顶丽

化gF, QO)

基本方法:

1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数

不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为

法线方程为

L % _ F_ 片

_ £_矶

£(兀厂叮兀厂外匕)

2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该

曲面在点•处的切平面方程为

过X o 的法线方程为

齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1

注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)・0

［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿

,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线

r 设其方程为

该方程表示了曲面上

的情形.

3、若曲面刀由参数方程

x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)

给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为

三、答疑解惑

问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？

注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.

r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);

ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).

它们在点X o处的切向量分别为

i

*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））

£・（兀（如％）,中阳心细畀J）

当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为

%%)

g.)

则刀在点X o处的法向量为

四、典型例题

例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.

解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）

p1' = 2 J?1- 4 F -fi

处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为

2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.

A-1_ y-1 _ z-1

所求法线方程为】- -，

g=可-+y

例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程

左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给

_#sm sin

2- 2

MO sin cos®%

x 号=一+y £=工*£ = 2了

解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .

则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.

曲面在点Xo处的切平面方程为

心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,

又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此

况—认三T

T

解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，

所求切平面方程为

J.. -■ I --.I 1 亠二：II

即益+即-3-0.

例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在

点匚〔处

的切平面方程和法线方程.

解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中

，一! I ■：二| 一「：] I | - :::

win 绻^cas 恤CDS

给

二，sill 2 轴CO56J

-t/sm 轴sin 第

sin2 sin^

则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为

& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)

+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,

即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = a

x- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^

n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q

所求的法线方程为'■■-

flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰

即 _ ^ ^

(3^-2j/-z -5 5

f + 十=门2” - 2y +2^ =-

例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.

解过直线的平面方程可设为

-J' - : '..'J. 「I —.

即壮丄二，

其法向量为

理忑”勿=2”处_|

记-,则

F；5,沪* ^>2

设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.