曲面的切平面和法线方程

曲面的切平面与法线方程
设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1
. . ■ 一处可微，且
x=瑚Q
£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。

由于曲线I 在工上，则有
任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平
面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。

记为顶丽
化gF, QO)
基本方法:
1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数
不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为
法线方程为
L % _ F_ 片
_ £_矶
£(兀厂叮兀厂外匕)
2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该
曲面在点•处的切平面方程为
过X o 的法线方程为
齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1
注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)・0
［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿
,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线
r 设其方程为
该方程表示了曲面上
的情形.
3、若曲面刀由参数方程
x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)
给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为
三、答疑解惑
问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？
注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.
r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);
ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).
它们在点X o处的切向量分别为
i
*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））
£・（兀（如％）,中阳心细畀J）
当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为
%%)
g.)
则刀在点X o处的法向量为
四、典型例题
例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.
解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）
p1' = 2 J?1- 4 F -fi
处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为
2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.
A-1_ y-1 _ z-1
所求法线方程为】- -，
g=可-+y
例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程
左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给
_#sm sin
2- 2
MO sin cos®%
x 号=一+y £=工*£ = 2了
解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .
则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.
曲面在点Xo处的切平面方程为
心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,
又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此
况—认三T
T
解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，
所求切平面方程为
J.. -■ I --.I 1 亠二：II
即益+即-3-0.
例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在
点匚〔处
的切平面方程和法线方程.
解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中
，一! I ■：二| 一「：] I | - :::
win 绻^cas 恤CDS
给
二，sill 2 轴CO56J
-t/sm 轴sin 第
sin2 sin^
则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为
& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)
+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,
即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = a
x- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^
n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q
所求的法线方程为'■■-
flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰
即 _ ^ ^
(3^-2j/-z -5 5
f + 十=门2” - 2y +2^ =-
例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.
解过直线的平面方程可设为
-J' - : '..'J. 「I —.
即壮丄二，
其法向量为
理忑”勿=2”处_|
记-,则
F；5,沪* ^>2
设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.
且有
（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O
3 + /t 2-2
由⑴、(3)解得
15
2/ -1
代入(2)得
解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.
则所求切平面方程为
3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0
即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.
r= vf-
例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.
证明
故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄
则过曲面上点 s 「 ' J '■
的切平面方程为
整理后得
可知其必定过原点
从上述方程得切平面方程为。