131二项式定理
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2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:(a+b)7的展开式是什么?
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
作业：
•名师P30:1-8
(4)二项式系数可写成组合数的形式,
二项式系数为 __C__rn__；
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + + Crnan-rbr + + Cnnbn
(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__C__rn_a_n_-r_b__r ；
练：写出（a b）5的展开式 写出（1 x）n的展开式
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 + + Crnxr +
令 x = 1，则有：
+ Cnnxn
2n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnr +
这 是 二项式各项系数的和
+ Cnn
例1、 (1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数; (2)求(1+2x)7的展开式中第4项的二项式系数 (3)求 (x－ 1 )9的展开式中x3的系数。
例3. 若( x 1 )n 展开式中前三项系数成等差数 24 x
列，求：（1）展开式中含x的一次幂的项. （2）展开式中所有x的有理项.
练习题
1.展开式
(3x
1 )12 x
中的 x3系数为
（用数字作答）
2. (ax
1 )8 的展开式中 x
x2 的系数为70，则 a 的值为
1
3.9192除以100的余数是____8_1____
C
r n
a
nr
br
Cnnbn
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + + Crnan-rbr + + Cnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式有_____项?
(3) a 按降幂排列,次数由n递减到0 b 按升幂排列,次数由0递增到n
x
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项； 3x
(2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项.
新疆
王新敞
奎屯
3x
(3)、求 ( x 3 )9 的展开式中的倒数第4
项。
3x
例2(1) 求 x 3 9的展开式常数项 3 x
解:
Tr 1
C9r
( x )9r 3来自百度文库
(
3 )r x
C9r
(
1)9r 3
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数=次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
例2 (2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
42x 2
x
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + +Cnn-1a1bn-1 + Cnnbn
二项定理
一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:(a+b)7的展开式是什么?
复 习：
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
作业：
•名师P30:1-8
(4)二项式系数可写成组合数的形式,
二项式系数为 __C__rn__；
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + + Crnan-rbr + + Cnnbn
(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__C__rn_a_n_-r_b__r ；
练：写出（a b）5的展开式 写出（1 x）n的展开式
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 + + Crnxr +
令 x = 1，则有：
+ Cnnxn
2n = Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnr +
这 是 二项式各项系数的和
+ Cnn
例1、 (1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数; (2)求(1+2x)7的展开式中第4项的二项式系数 (3)求 (x－ 1 )9的展开式中x3的系数。
例3. 若( x 1 )n 展开式中前三项系数成等差数 24 x
列，求：（1）展开式中含x的一次幂的项. （2）展开式中所有x的有理项.
练习题
1.展开式
(3x
1 )12 x
中的 x3系数为
（用数字作答）
2. (ax
1 )8 的展开式中 x
x2 的系数为70，则 a 的值为
1
3.9192除以100的余数是____8_1____
C
r n
a
nr
br
Cnnbn
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + + Crnan-rbr + + Cnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式有_____项?
(3) a 按降幂排列,次数由n递减到0 b 按升幂排列,次数由0递增到n
x
例2(1)求 ( x 3 )9的展开式常数项； 3x
(2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项.
新疆
王新敞
奎屯
3x
(3)、求 ( x 3 )9 的展开式中的倒数第4
项。
3x
例2(1) 求 x 3 9的展开式常数项 3 x
解:
Tr 1
C9r
( x )9r 3来自百度文库
(
3 )r x
C9r
(
1)9r 3
次数:各项的次数等于二项式的次数 项数=次数+1
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
3r
9r
x
1r 2
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
例2 (2)求 ( x 3 )9的展开式的中间两项 3x
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 42x3 x
T6
T51
C95
(
x 3
)95
(
3
)5
3
42x 2
x
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)n的展开式是：
( a + b ) n=Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + +Cnn-1a1bn-1 + Cnnbn
二项定理
一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2