综合法与分析法习题演示教学

综合法与分析法习题

[学业水平训练]

1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( )

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．等价条件

解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件．

2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .证明过程如下： ∵a ，b ，c ∈R ，

∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2aC ．

又a ，b ，c 不全相等，

∴以上三式至少有一个“＝”不成立．

∴将以上三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)＞2(ab ＋bc ＋ac )．

∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋aC ．此证法是( )

A ．分析法

B ．综合法

C ．分析法与综合法并用

D ．反证法

答案：B

3．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )

A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥β

B ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂α

C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β

D ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α 解析：选D ．A ：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B ：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C ：这两个平面有可能平行或重合；D ：是成立的，故选D ．

4．使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )

A ．|a |≥1且|b |≥1

B ．|a |≥1且|b |≤1

C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0

D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0

解析：选C ．a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－

1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)·(|b |－1)≥0.

5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )

A ．成等比数列而非等差数列

B ．成等差数列而非等比数列

C ．既成等差数列又成等比数列

D ．既非等差数列又非等比数列

解析：选B.由已知条件，

可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②

y 2＝bc . ③

由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b

，c ＝y 2b .

代入①，得x 2b ＋y 2b

＝2b ，

即x 2＋y 2＝2b 2. 故x 2，b 2，y 2成等差数列．

6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 2

2

≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．

解析：用分析法证明a 2＋b 2

2

≥ab 的步骤为： 要证a 2＋b 2

2

≥ab 成立， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.

由于(a －b )2≥0显然成立，

所以原不等式成立．

答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0

7．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4

，则cos 2θ＝________. 解析：因为sin θ＋cos θ＝15

， 所以1＋sin 2θ＝125

， 所以sin 2θ＝－2425

. 因为π2≤θ≤3π4

， 所以π≤2θ≤3π2

. 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725

. 答案：－725

8. 如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．

解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C ．

因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，

即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C ．

答案：AC ⊥BD (答案不唯一)

9．已知非零向量a ⊥b ，求证：|a|＋|b||a －b|

≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.

要证|a|＋|b||a －b|≤2，

只需证|a|＋|b|≤2|a －b|，

平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b )，

只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0成立，

即(|a|－|b|)2≥0显然成立．

故原不等式得证．

10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c

也成等差数列． 证明：因为1a ，1b ，1c

成等差数列， 所以1a ＋1c ＝2b

. 即a ＋c ac ＝2b

， 所以b (a ＋c )＝2ac ，

所以b ＋c a ＋a ＋b c ＝(b ＋c )c ＋a (a ＋b )ac

＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ac

＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac

＝2ac ＋a 2＋c 2ac

＝(a ＋c )2ac

＝2(a ＋c )2

b (a ＋

c )

＝2(a ＋c )b

， 所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c

也成等差数列． [高考水平训练]

1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)成立”的是( )

A ．f (x )＝1x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝(1x

)′＝－1x 2＜0， ∴f (x )＝1x

在(0，＋∞)上为减函数． 2．设a ＞0，b ＞0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12

[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．

解析：因为(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )