多阶段决策过程multistepdecisionpr修订版

多阶段决策过程

m u l t i s t e p d e c i s i o n p

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Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

第七部分 最短路径

（Shortest-paths ）

7．1 问题描述

在一个带权的无向或者有向图中，如果从图中某顶点（称源点）到达另顶点（称为终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边上的权值总和达到最小。实际应用中，有把交通运输网络作为一个图，图中顶点表示城市，图中各边表示城市之间的交通运输线。边上的权值就根据具体需要，可以用各种代价表示，比如路程，运费，时间。同时，可以用有向图表示往返代价的不一致。计算机网络中，把网络结构看成带权图，路由选择的时候采用的固定路由算法其中有使用最短路径算法。此外，最短路径算法还应用于电子导航中，根据已知地理网络，得出合适的航线；应用于电力、通讯等各种管网、管线的布局设计，城市规划等等。由于应用的需要，最短路径算法问题成为计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。

在最短路径问题中，给出的是一个带权有向图G ＝(V , E )，加权函数w:ER 为从边到实型权值的映射。路径p=(v0,v1,v2,…,vk)的权是指组成边的所有权值之和：

w(p)=∑w(vi-1,vi) i=1—k;

定义从u 到v 间的最短路径的权为：

()(){}⎩⎨⎧∞−→−=otherelse v u v u p w v u p

:min ,存在一条通路到若从δ 从顶点u 到v 的最短路径定义为权w(p)=&(u,v)的任何路径.

不带权图的最短路径问题是一个特例，可将图视为没条边的权值均为1的带权图。

两种最常见的最短路径问题：

● 从某个源点到其余各顶点的最短路径

● 每对顶点间的最短路径

7．2 松弛技术Relaxation

在后面介绍的几个算法中都用到了松弛技术，现在就来看看松弛技术。

对于每个顶点v∈V，都设置一个属性d[v]，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计（shortest-path estimate）。我们用下面的Θ(V)时间的过程来对最短路径估计和前趋进行初始化。

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

1 for each vertex v∈V[G]

2 do d[v]←∞

3 π[v]←NIL

4 d[s]←0

经过初始化以后，对所有v∈V，π[v]=NIL，对v∈V-{s}，有d[s]=0以及d[v]=∞。

在松弛一条边(u,v)的过程中，要测试是否可以通过u，对迄今找到的v的最短路径进行改进；如果可以改进的话，则更新d[v]和π[v]。一次松弛操作

可以减小最短路径估计的值d[v]，并更新v的前趋域π[v]。下面的伪代码对

边(u,v)进行了一步松弛操作。

RELAX(u, v, w)

1 if(d[v]>d[u]+w(u,v))

2 then d[v]←d[u]+w(u,v)

3 π[v]←u

在Bellman-Ford algorithm和Dijkstra’s algorithm都会调用到INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)，然后重复对边进行松弛的过程。另外松弛是改变最短路径和前趋的唯一方式，在两个算法之间的区别在于对每条边进行的松弛操作的次数，以及对边执行松弛操作的次序不同。在Dijkstra’s algorithm以及关于有向无回路图的最短路径算法中，对每条边执行情况一次松弛操作。而在Bellman-Ford算法中，对每条边要执行多次松弛操作。

7．3 Bellman-Ford algorithm

思想：运用松弛技术，对每一个结点v∈V，逐步减少从源s到v的最短路径

的权的估计值d[v]，直至其达到实际最短路径的权δ(s,v)。算法返回布尔值TURE当且仅当图中没有源结点可达的负权回路。

优点：解决更一般情况的单源最短路径问题。且边的权值可以为负，可检测出图中是否存在一个从源结点可达的负权回路，如果存在负权回路则无解；否则将产生最短路径及其权。

BELLMAN-FORD（G,w,s）

1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

2 for i1 to |V[G]|-1

3 do for each edge(u,v)∈E[G]

4 do RELAX(u,v,w)

5 for each edge(u,v) ∈E[G]

6 do if d[v]>d[u]+w(u,v)

7 then return false;

8 return true

引理 7.3.1 设为带权有向图，其源点为s，权函数为w：ER，并且假定G中不包含从s点可达的负权回路。那么BELLMAN-FORD第2—4行循环的|V|-1次迭代后，对任何s可达的顶点v，有d[v]=∮(s,v)。

推论：设G=（V，E）为带权有向图，源顶点为s，加权函数为w:ER，对每个顶点v(v∈V)，从s到v存在一条通路，当且仅当对G运行BELLMAN-FORD（G,w,s）算法，算法终止时，有d[v]<∞。

定理：设G=（V，E）为带权有向图，源顶点为s，加权函数为w:ER，对该图运行BELLMAN-FORD（G,w,s）算法，若G不包含s可达的负权回路，则算法返回TRUE，对所有顶点v(v∈V)，有d[v]=∮(s,v)成立。前趋子图G是以s为根的最短路径树。如果G包含从s可达的负权回路，则算法返回FALSE。

7．4Dijkstra’s algorithm