介值定理
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f(b ) b .证 明 (a ,b ),使 f(得 ) .
证 令 F (x ) f(x ) x ,则 F(x)在 [a,b]上连 , 续 而 F (a )f(a ) a 0, F (b ) f(b ) b 0, 由零点定理,
(a,b),使 F () f() 0 ,
即 f().
12
例1 y x2 在(0,1)上,
yma x 1, ymin0;
3
例2
y1six n ,在 [0,2]上, ymax2, ymin0;
y 2,在 ( , )上 , ym ay xm in 2 .
ysgx,n 在 ( , )上 , ymax1, ymin1;
4
定理1(有界性与最大值和最小值定理) 在闭区间上 连续的函数一定界性且有最大值和最小值.
第十节 闭区间上连续函数的性质
数
开学
一 最值定理
启
科
学
二 介值定理
大
钥门 匙的
重点：
介值定理
2
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在I上 区有 间定义f的 (x)函 , 数 如果x0有 I, 使得对于 x任 I都一 有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称 f(x0)是函f数 (x)在区I上 间的最 (小)值 大.
y
若 f(x) C [a,b],
yf(x)
则 f(x)在 a,b上有 ; 界 且在a,b上存在
最大值与最小. 值 o a
2
1 b x
即 1 ,2 a ,b ,对 x[a,b]有 , f(1)f(x),
f(2)f(x).
5
注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
y yf(x)
x
o
2
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使 f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有
11
例4 设f函 (x )在 数 [a 区 ,b ]上 间 ,连 且 f(a ) 续 a ,
.
a
.b 7
定理（ 3 介值定理）
设 f ( x ) C a , b , 且 f ( a ) f ( b ),
则对f(于 a)、 f(介 b)之于 间 C , 的
至 一 少 点 (a ,b )有 ,f()C.
C
8
证 设 (x ) f(x ) C , 则 (x)在 [a,b]上连 , 续
y
yf(x)
1
o 12
x
6
二、介值定理
定义:若 f(x 0 ) 0 ,则 x 0 称为 f(x ) 的 函 .零 数
定理2（零点定理）设 f ( C x a b , 且 ) f ( , a ) f ( b ) 0 ,
则 f(x)在 (a,b)内至 一 少 个 . 零点 (即方f(程 x)0在 (a,b)内至少存在 .)一
(a)f(a)C
(b )f(b ) C
且 (a )(b )0 ,
由零点定理, (a,b)使 ,
()0,
即 () f() C 0 ,
f()C.
9
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M与பைடு நூலகம்小值 m之间的任何值.
10
例3 证明 x3 方 4x2程 10在区 (0,1)内 间 至少.有一根
证 令 F (x ) f(x ) x ,则 F(x)在 [a,b]上连 , 续 而 F (a )f(a ) a 0, F (b ) f(b ) b 0, 由零点定理,
(a,b),使 F () f() 0 ,
即 f().
12
例1 y x2 在(0,1)上,
yma x 1, ymin0;
3
例2
y1six n ,在 [0,2]上, ymax2, ymin0;
y 2,在 ( , )上 , ym ay xm in 2 .
ysgx,n 在 ( , )上 , ymax1, ymin1;
4
定理1(有界性与最大值和最小值定理) 在闭区间上 连续的函数一定界性且有最大值和最小值.
第十节 闭区间上连续函数的性质
数
开学
一 最值定理
启
科
学
二 介值定理
大
钥门 匙的
重点：
介值定理
2
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在I上 区有 间定义f的 (x)函 , 数 如果x0有 I, 使得对于 x任 I都一 有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称 f(x0)是函f数 (x)在区I上 间的最 (小)值 大.
y
若 f(x) C [a,b],
yf(x)
则 f(x)在 a,b上有 ; 界 且在a,b上存在
最大值与最小. 值 o a
2
1 b x
即 1 ,2 a ,b ,对 x[a,b]有 , f(1)f(x),
f(2)f(x).
5
注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
y yf(x)
x
o
2
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
证 令 f(x ) x 3 4 x 2 1 ,则 f(x)在 [0,1]上连 , 续 又 f(0)10 , f(1 ) 20 , 由零点定理,
(a,b),使 f()0, 即 34 210 ,
方x3 程 4x210在 (0,1)内至少 . 有
11
例4 设f函 (x )在 数 [a 区 ,b ]上 间 ,连 且 f(a ) 续 a ,
.
a
.b 7
定理（ 3 介值定理）
设 f ( x ) C a , b , 且 f ( a ) f ( b ),
则对f(于 a)、 f(介 b)之于 间 C , 的
至 一 少 点 (a ,b )有 ,f()C.
C
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证 设 (x ) f(x ) C , 则 (x)在 [a,b]上连 , 续
y
yf(x)
1
o 12
x
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二、介值定理
定义:若 f(x 0 ) 0 ,则 x 0 称为 f(x ) 的 函 .零 数
定理2（零点定理）设 f ( C x a b , 且 ) f ( , a ) f ( b ) 0 ,
则 f(x)在 (a,b)内至 一 少 个 . 零点 (即方f(程 x)0在 (a,b)内至少存在 .)一
(a)f(a)C
(b )f(b ) C
且 (a )(b )0 ,
由零点定理, (a,b)使 ,
()0,
即 () f() C 0 ,
f()C.
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推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M与பைடு நூலகம்小值 m之间的任何值.
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例3 证明 x3 方 4x2程 10在区 (0,1)内 间 至少.有一根