【2018-2019】介值定理的证明-范文模板 (9页)

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高中数学重要公式定理证明方法

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高中数学定理证明模板一证明，已知a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R(1)a=2RsinA, b=2RsinB，c=2RsinC(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB +sinC)=2R(2)(a-b-c)/(sinA-sinB-sinC)=2R(sinA-sinB-sinC)/(sinA-sinB-sinC)=2R(3)前2个代入后提取2R就出来了，后面3个是正弦定理已知的所以由(1)(2)(3)得到(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=(a-b-c)/(sinA-sinB-sinC)=a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R高中数学定理证明模板二定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形正n边形的面积sn=pnrn/2p表示正n边形的周长正三角形面积√3a/4a表示边长如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4弧长计算公式：l=nπr/180扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2内公切线长=d-(r-r)外公切线长=d-(r+r)等腰三角形的两个底脚相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三条边都相等的三角形叫做等边三角形高中数学定理证明模板三数学公式抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a(x+h)* + k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi)(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

介值定理的证明过程

介值定理的证明过程介值定理（Intermediate Value Theorem）是实分析领域的一条重要定理，它给出了函数连续的条件下，存在一个介于函数两个端点之间的函数值的情况。

具体地说，设[a,b]是一个实数区间，且f(x)是[a,b]上的一个连续函数。

如果K是介于f(a)和f(b)之间的一个实数，那么一定存在一个c∈[a,b]使得f(c)=K。

证明过程如下：首先我们可以使用反证法来证明介值定理。

即假设不存在一个c∈[a,b]使得f(c)=K，我们将得到一个矛盾。

设g(x)=f(x)-K，即g(x)表示函数f(x)与常数K的差值。

显然，g(x)也是[a,b]上的一个连续函数。

由假设可知，g(a)和g(b)具有相反的符号，即g(a)g(b)<0。

不失一般性，我们假设g(a)<0且g(b)>0。

由于g(x)是连续函数，在[a,b]上存在一个实数c∈[a,b]使得g(c)=0。

即有f(c)-K=0，即f(c)=K。

这就与我们的假设矛盾。

因此，假设不成立，证明了介值定理。

具体过程如下：首先我们将[a,b]等分为n个子区间，即[a,b]=[a_0,a_1]∪[a_1,a_2]∪...∪[a_{n-1},a_n]。

然后我们考虑函数在这些子区间上的取值与K的关系。

如果对于一些子区间[a_k,a_{k+1}]，有f(a_k)<K<f(a_{k+1})或f(a_k)>K>f(a_{k+1})，则根据介值定理，必然存在一个c∈[a_k,a_{k+1}]使得f(c)=K。

如果不存在这样的子区间，即对于所有子区间[a_k,a_{k+1}]，都有f(a_k)≤K≤f(a_{k+1})或f(a_k)≥K≥f(a_{k+1})，我们可以取出一个长度最大的子区间[a_k,a_{k+1}]，即f(a_k)≤K≤f(a_{k+1})（不失一般性，假设f(a_k)<K<f(a_{k+1})）。

介值定理历史

介值定理历史介值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的重要定理之一，它是由19世纪法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在他的《算术原理》（Cours d'analyse）一书中首次提出的。

介值定理是关于实数函数的性质的定理，它描述了在某些条件下，连续函数在两个特定值之间必然取到一定的中间值。

介值定理的表述非常简洁，即：如果函数f在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)具有不同的正负号，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c，必然存在一个介于a和b之间的数x，使得f(x)等于c。

也就是说，连续函数在一个闭区间上会覆盖这个区间上的所有值。

这个定理的直观解释是，如果我们在一条数轴上画出函数f的图像，那么对于两个不同的值f(a)和f(b)，如果它们的正负号不同，那么在这个图像上，我们可以找到一个点c，它位于f(a)和f(b)之间，并且函数在这个点上取到了c这个值。

这个定理的重要性在于，它为我们提供了一种判断函数是否有根的方法。

证明介值定理的一种常用方法是构造一个辅助函数g(x)=f(x)-c，其中c是我们要找的中间值。

我们可以证明，如果g(a)和g(b)具有不同的正负号，那么必然存在一个介于a和b之间的点x，使得g(x)=0，也就是f(x)=c。

通过这种方式，我们可以将问题转化为证明辅助函数的零点存在性，而辅助函数的零点存在性可以通过零点定理来证明。

介值定理在数学中有着广泛的应用。

首先，它在微积分中有重要的应用。

例如，在求解方程的根时，我们可以利用介值定理来缩小根的范围。

另外，介值定理也在实际问题中起到了重要的作用。

例如，在工程领域中，我们经常需要找到一个函数在某个区间上的最大值或最小值，而介值定理可以帮助我们确定这个区间。

除了介值定理的基本形式，还有一些类似的定理，它们对于不同类型的函数也有类似的结果。

例如，如果函数f在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)小于f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值y，必然存在一个介于a和b之间的数x，使得f(x)=y。

中值定理证明

中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

介值性定理的证明及应用

介值性定理的证明及应用
郭计敏
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2009(000)023
【摘要】介值性定理是闭区间上连续函数的重要性质之一,本文通过巧妙地构造辅助数列,应用致密性定理、柯西收敛准则来证明闭区间上连续函数的介值性定理.【总页数】2页(P620-621)
【作者】郭计敏
【作者单位】鹤壁职业技术学院,河南,鹤壁,458000
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.连续函数介值性定理的两个有趣应用
2.巧构辅助数列证明介值性定理
3.介值性定理的应用
4.积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明
5.利用压缩映像原理证明连续函数的介值性定理
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介值定理及其应用

邯郸学院本科毕业论文题目介值定理及其应用学生姚梅指导教师王淑云教授年级2008级本科专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2012年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．毕业论文作者（签名）：年月日介值定理及其应用摘要介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明．介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题．如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等．此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用．关键词：介值定理连续函数根的存在定理应用Intermediate value theorem and its applicationYao Mei Drected by Professor Wang ShuyunABSTRACTIntermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In" mathematical analysis" textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem.KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application目录摘要 (I)外文页 (II)前言 (1)1介值定理及其证明方法 (2)1.1介值定理的内容 (2)1.2介值定理的四种证明方法 (2)1.2.1应用确界原理 (2)1.2.2应用区间套定理 (3)1.2.3应用致密性定理证明 (4)1.2.4应用柯西收敛准则证明 (6)2介值定理的应用 (7)2.1利用介值定理判断方程根的存在性 (7)2.2介值定理在解不等式中的应用 (9)2.3介值定理在证明等式中的应用 (11)2.4介值定理在实际问题中的应用 (13)3介值定理的推广 (15)3.1一元函数介值定理的推广 (15)3.1.1推广介值定理的内容 (15)3.1.2推广的介值定理的一个应用 (16)3.2二元函数的介值定理 (19)3.2.1 二元函数介值性定理的内容 (19)3.2.2 二元函数介值定理的应用 (20)参考文献 (22)致谢 (22)前言介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质．这一定理虽然简单，但应用却异常广泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理．介值定理（Intermediate value theorem ）首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明．对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了.华东师范大学版的《数学分析》对介值定理的描述是：设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且)()(b f a f ≠.设μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数（)()(b f a f <<μ或)()(b f a f >>μ）,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得μ=)(0x f ．介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．在这里我们通过巧妙地构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明．介值定理在连续函数中具有广泛的应用性．比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等．当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章《介值定理的推广及其应用》，一方面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数)(a f 和)(b f 入手，)(a f 和)(b f 也可以为∞-或∞+．利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为)(1.0N m m ∈的近似解的一种好方法．此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度．使我们能够更加努力地学习．1 介值定理及其证明方法1.1 介值定理的内容定理[1] 设函数f 在闭区间],[b a 上连续，且)()(b f a f ≠.设μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数（)()(b f a f <<μ或)()(b f a f >>μ）,则至少存在一点),(0b a x ∈,使得μ=)(0x f ．这个定理表明，若f 在],[b a 上连续，又不妨设)()(b f a f <，则f 在],[b a 上必能取得区间)](),([b f a f 上的一切值，即有]),([)](),([b a f b f a f ⊂．推论（根的存在定理）若函数f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号（即0)()(<b f a f ），则至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ．即方程0)(=x f 在),(b a 内至少有一个根．根的存在定理也就是零点定理．在下面一些问题的证明中，我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题，并且借用根的存在定理证明介值定理．1.2 介值定理的四种证明方法 1.2.1 应用确界原理[1]不妨设)()(b f u a f <<．令u x f x g -=)()(，则g 也是],[b a 上的连续函数，且0)(,0)(>=显然E 为非空有界集),],[(E b b a E ∈⊂且故由确界原理，E有下确界，记E x inf 0=.因由连续函数的局部保号性，存在,0>δ使得在内),[δ+a a ,0)(<x g 在,0)(g ],(>-x b b 内δ由此易见,0a x ≠,0b x ≠即),(0b a x ∈．下证0)(0=x g ．倘若,0)(0≠x g 不妨设,0)(0>x g 则又由局部保号性，存在);(0ηx U)),,((b a ⊂使在,0)(>x g 特别有E x x g ∈-⇒>-20)2(00ηη．但这与E x inf 0=相矛盾，故必有0)(0=x g ．1.2.2 应用区间套定理[1]我们可以把问题转换为证明根的存在定理，即若函数g 在],[b a 上连续0)(<a g ，0)(>b g ，则存在),(0b a x ∈使得0)(0=x g ．将],[b a 等分为两个子区间],[c a 与],[b c ．若0)(=c g ，则c 即为所求；若0)(≠c g ，则当0)(>c g 时记],[11b a ],[c a =，当0)(<c g 时记],[11b a ],[b c =．于是有0)(,0)(11><n n b g a g ，且],[],[11n n n n b a b a ⊂++，.,2,1),(21=-=-n a b a b nn n 由区间套定理，存在点.,2,1],,[0 =∈n b a x n n 下证.0)(0=x g 倘若,0)(0≠x g 不妨设,0)(0>x g 则由局部保号性，存在),;(0δx U 使在其内有.0)(>x g 而由区间套定理的推论，当n 充分大时有),;(],[0δx U b a n n ⊂因而有0)(>n a g ．但这与],[n n b a 选取时应满足的0)(<n a g 相矛盾，故必有0)(0=x g ．1.2.3 应用致密性定理证明先证明下面两个引理引理1[2] 设{}n x 是有界数列，而且0)(lim 1=--∞→n n n x x ，则{}n x 的聚点的集合是],[b a ，其中,lim ,lim n n n n x b x a ∞→∞→==证明根据定义，a 与b 都是{}n x 的聚点，故我们只要证明a 与b 之间的任意实数)(b x a x <<都是{}n x 的聚点即可．先证对于任给的0>ε及任给的正整数0n '，必有0*n n '>存在，使得n x x ε*-<．事实上，由假定可知必有正整数0n ''存在，使当0n n ''>时，恒有ε<-+n n x x 1．令{},,max 000n n n '''=则数列∞+=10}{n n n x 中必至少有两项n x '和n x ''存在，使nx x '<,x x n >''（因为否则的话，例如，无小于x 的项，则必lim n n x x →∞≥，此与x a <矛盾）．不妨设n n '''<，令满足n n n '''≤≤，且使x x n < 的正整数n 中之最大者为*n ，显然1*-''≤n n ，且1,n n x x x x **+<>，因此0*n n >，且1n n n x x x x ε***+-<-<．先取1,111==N ε，则存在)1(11>n x n ，使11<-x x n ；212=ε，12n N =，则存在)(122n n x n >，使212<-x x n ；又取233,31n N ==ε，则存在)(233n n x n >，使313<-x x n如此继续下去，得到{}n x 的一个子列{}k n x ，满足kx x k n 1<-...)3,2,1(=k ，故)(∞→→k x x k n ，即x 是{}n x 的一个聚点．引理2[3] 设f 在闭区间],[b a 连续，数列{}],[b a x n ⊂且A x f n n =∞→)(lim ，证明存在点],[b a ∈ξ，使得A f =)(ξ．证明因为{}],[b a x n ⊂，所以{}n x 有界．由致密性定理“有界数列必有收敛子列”可知{}n x 中必有收敛子列{}k n x ，设ξ=∞→k n k x lim ．由于,b x a nk ≤≤故],[b a ∈ξ．又,)(lim A x f n n =∞→故,)(lim A x f k n k =∞→．由于f 在闭区间],[b a 连续，因而)()lim ()(lim ξf x f x f A k k n k n k ===∞→∞→．下面对根的存在性定理进行证明证明取],[b a 的中点，记为1x ，再取],[1x a 及],[1b x 的中点，分别记为32,x x ，且)(213221a b x x x x -=-<-．又取],[],,[],,[],,[212313x a x x x x b x 的中点，顺次记为,,,,7654x x x x 且43x x -<i i x x -+16,5,4),(212=-=i a b . 然后取],[],,[],,[],,[],,[],,[],,[],,[44335511662277b x x x x x x x x x x x x x x a 的中点，顺次记为,,,,,,,,15141312111098x x x x x x x x 且14,,10,9,8),(213187 =-=-<-+i a b x x x x i i ．如此继续下去可得到数列}{n x ，满足：对任意的正整数n ，存在正整数k ，使1212+≤+≤k k n ，从而有)(211a b x x kn n -≤-+．由于)(x g 在闭区间],[b a 连续，所以)(x g 在闭区间],[b a 上一致连续且有界，因而，对任给的0>ε，存在0>δ，及正整数N ，当N k n >,时，有δ<-≤-+)(211a b x x kn n ．因而ε<-+)()(1n n x g x g ．即有0))()((lim 1=-+∞→n n n x g x g ．由引理2 得)}({n x g 的聚点的集合是],[βα，其中),(lim ),(lim n n n n x g x g ∞→∞→==βα显然}{n x 的子列}{i n x ： ,,1,,,,,122122323187++-n n x x x x x x 收敛于a ；}{n x 的子列}{i n x ：,,,1,,,,,2222161543 nn x x x x x x -收敛于b ．由于)(x g 在],[b a 上连续,所以有),()(lim a g x g i n i =∞→),()(lim b g x g j n j =∞→ 即)(a g 和)(b g 都为数列)}({n x g 的聚点．因为,0)(,0)(><βα．),(0βα∈,即0为数列)}({n x g 的聚点．也即存在]),[)}(({b a x x g k k n n ⊂且0)(lim =∞→k n k x g ．由引理2 得,存在点),,(b a ∈ξ,使得0)(=ξg ．1.2.4 应用柯西收敛准则证明[4]假设),,(b a x ∈∀有0)(≠x g ,设{},],[0)(b a x x g X ∈<={},],[0)(b a x x g Y ∈>=显然X 和Y 非空,(因为,0)(,0)(>则记左半个区间为],[21a a ;若()0.2a b g +<则记右半个区间为],[21a a ．总之有,)(1X a g ∈,)(2Y a g ∈如此继续下去,得到数列{}{}n n b a ,满足:...;3,2,1,)1(11=<<<<++n b b a a a n n n n ;0)(lim )2(=-∞→n n n a b Y b g X a g n n ∈∈)(,)()3(．取数列{},...,,,...,,,,:2211n n n b a b a b a c 则数列{}n c 满足柯西条件，即,0>∀ε存在正整数,N 当N m n >,时，ε<-m n c c ．事实上，当m n c c ,为数列{}n a 中的项时，由于该数列有上界，从而有上确界为,a 0>∀ε存在正整数,N 有20εα<-<N a ．当N m n >, 时，根据数列的递增性，有 εααααα<-<-+-≤-+-=-N m n m n m n a a a a a a a 2．同理可得，m n c c ,为数列{}n b 中的项的情况．当m n c c ,一个为数列{}n a 中的项时，一个为数列{}n b 中的项时，由(2)得,0:>∀ε存在正整数(),N N '>当n N '>时,2ε<-n n a b ．当,n m N '>时ε<-+-≤-+-=-m n n n m n n n m n a a a b a a a b a b ．由柯西收敛准则得{}n c 收敛．设ξ=∞→n n c lim ．由于)(x g 在],[b a 上的连续，所以数列{})(n c g 收敛于),(ξg 从而X g ∈)(ξ或Y g ∈)(ξ．不妨设X g ∈)(ξ,根据数列极限的保号性，存在正整数,N 当N n > 时,0)(<n c g 即X c g n ∈)(．然而当n n b c =时，有X b g n ∈)(这与φ=⋂Y X 矛盾．从而假设不成立，因而 ),,(b a ∈∃ξ使0)(=ξg ．以上我们总共列举了四种方法来证明介值定理，应用确界原理和区间套定理来证明比较简单，易于学习者明白．对于另外两种方法，则需要储备大量的知识，来理解．对于初学者来说理解起来比较吃力，但这也是证明的一种方法，有利于学习者多多思考，开阔眼界，为以后的学习提供帮助．其实还有其他的方法来证明介值定理，由于篇幅有限，在此不在一一列举．2 介值定理的应用2.1 利用介值定理判断方程根的存在性在证明一些方程根的存在性时，如果没有给出具体方程往往很难求出根．即使给出了方程，如果方程特别复杂，那么想证明根的存在性，那也是很费劲的．我们往往不能采用先求出其根而后说明根存在的方法．利用连续函数在闭区间上的重要性质，介值定理或推论（根的存在定理）易得出存在使函数值为零的点，也就是可得出存在使方程成立的根．介值定理在判断方程根的存在性上的题目较多，应用介值定理可以清晰地界定出根的情况．例2.1[5] 证明方程b x a x +=sin )0,0(>>b a 至少有一个正根，且不超过b a +．证明设)(x f =b x a x --sin ，由已知可得：1sin b x x a a -=,即≤-11b x a a-1≤．因为,0,0>>b a 所以b a x a b +≤≤-考察)(a b f -b a b a a b ----=)sin()]sin(1[a b a -+-=0≤，)(a b f +b a b a a b -+-+=)sin()]sin(1[a b a +-=0≥，当0>-a b 时，至少存在一个正根ξ∈),(b a a b +-，使0)(=ξf ；当0≤-a b 时，不妨只考察],0[b a +，因为],0[b a +⊂],[b a a b +-，并且,0)0(<-=b f 0)(≥+b a f ，所以至少存在一个正根ξ∈),0(b a +，使0)(=ξf ．因此，方程b x a x +=sin )0,0(>>b a 至少有一个正根，且不超过b a +.例2.2 证明：若0>r ，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使r x n o =次正根的称为n r x 0()0n r x =（即算数根），记作．证明先证存在性．由于当+∞→x 时，有+∞→n x ，故必存在正数a ，使得n a r >.因n x x f =)(在],0[a 上连续，并有)()0(a f r f <<，故由介值定理，至少存在一点),0(a x o ∈，使得00()n f x x r ==．再证唯一性．设正数1x 使得r x n =1，则有=-n n x 10)(10x x -0)...(1112010=+++---n n n x x x x ．由于第二个括号内的数为正，所以只能010=-x x ,即01x x =．例2.3 设f 在闭区间],[b a 连续，满足],[]),([b a b a f ⊂．证明：存在],[0b a x ∈，使得00)(x x f =．证明由条件知：对任何],[b a x ∈有b x f a ≤≤)(，特别有)(a f a ≤ 以及 b b f ≤)(．若)(a f a =或b b f =)(，则取a x =0或b ，从而00)(x x f =成立．现设)(a f a <与b b f <)( 令x x f x F -=)()(，则,0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F ．故由根的存在性定定理，存在),,(0b a x ∈使得,0)(0=x F 即00)(x x f =．2.2 介值定理在解不等式中的应用其实介值定理在解不等式中的应用，并不是直接应用根的存在定理，而是应用根的存在定理的逆否命题．我们都知道，如果原命题成立，那么它的逆否命题也成立，因此不在对逆否命题进行证明，下面给出根据根的存在定理所得出的逆否命题以及推论命题．设函数)(x f 在某一区间),(b a I =(也可指],[b a 、),[b a 、),(+∞-∞)内有定义且连续．(1)（根的存在定理的逆否命题）若方程0)(=x f 在I 内没有根，则函数)(x f 的值在I 内保持相同的正(负)号；(2)若方程0)(=x f 在I 内所有不同的根为n x x x ,...,,21且n x x x <<<...21，则这n 个根将区间I 分成1+n 个小区间),,(1x a ),,(21x x ... ),(b x n 在每一个这样的小区间内，函数)(x f 的值保持相同的正负号．以上结论告诉我们，对于(2)中的每一个小区间内的一切x 值，不等式0)(>x f (或0)(<x f )要么恒真，要么恒假．因此，我们只要逐一的考察各个小区间内)(x f 的正负号，即判定不等式0)(>x f (或0)(<x f )的真假性．就可以得到不等式0)(>x f (或0)(<x f )在区间I 内的全部解．例2.4[6] 解不等式x -31+-x 21>(第四届国际数学奥林匹克试题) 解原不等式的定义域为]3,1[-，我们考察方程x -31+-x 21=解得 83181-=x ，83182+=x ．这两个根将定义域分成三个小区间：831[1,)8--、831831(,)88-+、831(,3]8+．在831[1,)8--内，取0=x ，左边2113>-=，原不等式为真．在831831(,)88-+内，取1=x ，左边21022<=-=，原不等式为假．在831(,3]8+内，取2=x ，左边2131<-=，原不等式为假．所以原不等式的解集为831[1,)8--．无理不等式通常要进行“两边平方”的变形，但这只是在一定条件下才是等价变形，所以必须就x 的不同取值范围进行讨论，因此相对来说计算是比较困难的．利用介值定理则计算简单，而且易于理解．例2.5[6] 解不等式1)43(log 2<---xx x ．解设=)(x F 1)43(log 2----xx x (原不等式等价于不等式0)(<x F )． )(x F 的定义域为)1,(-∞⋃)2,1( , 解方程0)(=x F ，得方程解255-=x ，将定义域)1,(-∞⋃)2,1(分成三个小区间),255,1(),1,(--∞)2,255(- 列表如下：表2-1所以，原不等式的解集为)1,(-∞⋃)2,255(-．可见, 以介值定理为基础, 将不等式的定义域分成若干区间, 然后找出不等式解集的方法是解不等式解集的一种非常实用的方法．求解一般形式的不等式)()(x g x f >(或)()(x g x f >)的一般方法归纳如下:(1)设)()()(x g x f x F -=；(2)求出)(x F 的定义域, 即)(x f 和)(x g 定义域的交集；(3) 解出0)(=x F 的所有解(n x x x <<<...21)；(4) 利用这些解将定义域分成1+n 个小区间；(5) 在每个小区间内取一个特殊点0x ,通过)(0x F 的符号判别)(x F 在此区间内的符x )1,(-∞ ),255,1(- )2,255(- )(0x F 0)0(<F 0)56(>F 0)23(<F 0)(<x F 是解集不是解集是解集号；(6) 找出使0)(>x F (或0)(<x F )的所有区间,这些区间的并集即是所求不等式的解．2.3 介值定理在证明等式中的应用介值定理在证明等式方面也有广泛应用．正是由于介值定理的广泛使用，才使得一些较复杂的等式能够轻而易举地被证明出来．其中积分中值定理的证明就用到了介值定理．例2.6 设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)0(=f ，1)1(=f ．则对于任意给定的正数b a ,．求证：存在1021<<<x x ，使下列式子成立：)(1x f a '+)(2x f b 'b a +=．证明（证法一）因为0>a ，0>b ，所以10<+<ba a ，又因为)(x f 在]1,0[上连续，且0)0(=f ，1)1(=f ．由介值定理知，必有ξ)1,0(∈，使=)(ξf ba a +．由于)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，函数)(x f 由拉格朗日中值定理有：1()(0)()(0)f f f x ξξ'-=-，2(1)()()(1)f f f x ξξ'-=-)10(21<<<<x x ξ其中．即有,)(01ξ='-+x f b a a ,1)(12ξ-='+-x f b a a 将两式相加得+'+)(1x f b a a1)(2='+x f b a a ，整理式子即有)(1x f a '+)(2x f b 'b a +=．例2.7 设)(x f 在],[b a 上连续，且b d c a <<<，证明在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()(ξf q p d qf c pf +=+成立．其中q p ,均为任意正的常数．证明 (证法一)作辅助函数)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=，由题设知，)(x F 在],[],[b a d c ⊂上连续，又)]()([)(d f c f q c F -=，)]()([)(c f d f p d F -=．由于q p ,均为任意正的常数，有pq d F c F -=)()(0)]()([2≤-c f d f ．当)()(d f c f =时，0)()(==d F c F ，则d c ,均可取作所求的；当)()(d f c f ≠时，0)()(<d F c F ，由根的存在定理可知，至少存在一点],[],[b a d c ⊂∈ξ，使0)(=ξF ，即)()()()(ξf q p d qf c pf +=+．（证法二）由于f 在],[],[b a d c ⊂上连续，因此存在最大值M 和最小值m ．即M x f m ≤≤)(,],[d c x ∈．因此有 M c f m ≤≤)(，M d f m ≤≤)(．即有 pM c pf pm ≤≤)(，qM d qf qm ≤≤)(．把上面两个式子相加得到M q p c qf c pf m q p )()()()(+≤+≤+，把以上不等式同时除以q p +,又得到 M qp c qf c pf m ≤++≤)()(，由介值定理可得必存在一点],[],[b a d c ⊂∈ξ，使得)()()(ξf qp c qf c pf =++，变换一下形式，得到所求，即)()()()(ξf q p d qf c pf +=+．例2.8 （积分第一中值定理）若f 在],[b a 上连续，则至少存在一点ξ],[b a ∈，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ．证由于f 在],[b a 上连续，因此存在最大值M 和最小值m ．由M x f m ≤≤)(,],[b a x ∈，使用积分不等式性质得到≤-)(a b m )()(a b M dx x f b a -≤⎰，或者 M dx x f a b m b a ≤-≤⎰)(1．再由连续函数的介值性，至少存在一点ξ],[b a ∈，使得 ⎰-=b adx x f a b f )(1)(ξ，在变换一下形式，等式得证． 2.4 介值定理在实际问题中的应用介值定理在实际问题的解题中具有广泛的应用．往往一些较复杂的难题应用介值定理都能轻易地解决，解题思路清晰，解题步骤简单．下面我们就举几个较复杂的例题，浅谈介值定理在解题中的应用．问题2.9[7] 某运动员30min 跑了6km ，证明一定存在某时刻，该时刻起的5min 内该运动员跑了l km ．证明假设x 为离开起跑线的公里数．对于]5,0[中的任意一个x ,)(x f 表示运动员从x 跑到1+x 所需要的时间．函数)(x f 是连续函数．由已知条件知道，30)5()4()3()2()1()0(=+++++f f f f f f ．由此推出)5(),...,0(f f 既不同时都小于5，又不同时都大于5．所以在]5,0[内存在点b a ,满足)(5)(b f a f ≤≤．由介值定理可知，在b a ,之间存在c ，满足5)(=c f ．也就是说从c km 到1+c km 恰好跑了5min ，c km 处对应时刻即为所求．问题2.10[7] 某登山运动员于星期六上午7:00开始登山，下午5：00到达山的顶点．在山上宿营后，在星期日上午7:00开始返回，下午5：00到达出发点．证明在星期日的某时刻和星期六的同一时刻在同一高度．证明假设时间格式为24制，且星期日的出发点就是山的顶点．出发点和山的顶点的高度差为)0(>h h ,)(t f 表示运动员在上山过程中在t 时刻的位置离出发点的高度，其中]17,7[∈t ,0)7(=f ,h f =)17(,)(t g 表示运动员在下山过程中在t 时刻的位置离出发点的高度，其中]17,7[∈t ，h g =)7(,0)17(=g .)()()(t g t f t F -=])17,7[(∈t 表示在星期日的某时刻和星期六的同一时刻运动员所处位置的高度差．因为函数)(t f 、)(t g 是连续的，所以函数)(t F 也是连续的,且0)7(<-=h F ,0)17(>=h F .由介值定理可知，在]17,7[内存在0t ，使0)(0=t F ，即在星期日的0t 时刻和星期六的同一时，运动员所在高度是相同的．问题2.11[7] 椅子在不平的地面能否放稳?先作以下假设：①椅子有四条腿，且每条腿一样长．每条腿与地面有一个接触面，可视为一个点，4个点连线成矩形；②地面不平，地面的高度是连续变化的，不允许有台阶，将地面看作连续曲面； ③椅子在任何位置至少有3个椅脚同时着地；④椅子放稳，指四条腿都与地面接触，每条腿的脚与地面的距离为零．椅子虽然可能会倾斜，但不会摇晃．解图2)(a 中ABCD 为椅子4个椅脚的初始位置，椅子的中心是O 点，椅子绕中心旋转︒180后的位置如图2(b )所示．记D A ,到地面的距离和为)(θf ，C B ,到地面的距离和为)(θg ，则由于椅子必有三条腿同时着地，所以必有两条相邻的椅脚同时着地，即对任意的旋转角，)(θf 和)(θg 至少有一个为零，因此恒有0)()(=θθg f ，不妨设当0=θ时，0)(,0)(>=θθf g ．当椅子旋转︒180时，AD 与BC 的位置互换，这样，当πθ=时,0)(,0)(=>θθf g ,令)()()(θθθg f h -=，则,0)0(>h 0)(<πh ．因为)(θf 和)(θg 是连续函数，所以)(θh 也是连续函数，由介值定理可知，在],0[π内(b )旋转后的位置(a )初始位置图2-1 椅子4个椅脚位置示意图 B AD Cxy DC A B yx必存在0θ使0)(0=θh ，即0)()(00=-θθg f ．又因为恒有0)()(=θθg f ，所以0)()(00=θθg f ，即0)()(00==θθg f 说明当椅子绕着中心旋转0θ方向，椅子的四条腿同时着地．3 介值定理的推广3.1 一元函数介值定理的推广对于介值定理，从两个方面进行推广．一方面，从闭区间],[b a 入手，推广为任意区间；另一方面，从常数)(a f 与)(b f 入手，)(a f 与)(b f 也可为∞-或∞+．利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为)(1.0N m m ∈的近似解的一种好方法．3.1.1 推广介值定理的内容[8]定理1 如果函数)(x f 在区间),[b a 内连续，且A a f =)(、-→bx lim )(x f B =)(B A ≠，不论C 是A 与B 之间的怎样一个数,在开区间),(b a 内至少有一点c ，使得C c f =)(．证明不妨设B A <,因为 -→bx lim )(x f B =，所以对于给定的正数C B -=0ε,存在一个正数)(00a b -<δδ，当00δ<-<x b 时，就有0)(ε<-B x f ．则0)(ε->-B x f ，C C B B B x f =--=->)()(0ε,其中x 满足条件00δ<-<x b ．现从{}00δ<-<x b x 中任取一点d ，令)(d f D =，显然D C A <<,以及b d a <<．又因为)(x f 在闭区间],[d a 上连续，且A a f =)(、D d f =)(．由介值定理得：在开区间),(d a 内至少有一点c ，使C c f =)(．所以在开区间),(b a 内至少有一点c ，使得C c f =)(．同理可得定理2：定理2 如果函数)(x f 在区间),[b a 内连续，且A a f =)(、-→b x lim )(x f -∞=)(∞+或，不论C 是),)(,(）或（+∞-∞A A 中的怎样一个数，在区间),(b a 内至少有一点c ，使得C c f =)(．定理3 如果函数)(x f 在区间),[+∞a 内连续，且A a f =)(、+∞→x lim )(x f -∞=)(∞+或,不论C 是),)(,(）或（+∞-∞A A 中的怎样一个数，在区间),(+∞a 内至少有一点c ，使得C c f =)(．证明因为+∞→x lim )(x f -∞=, 所以对于给定的正数C M =,必有正数)(a N N >，使得当N x >时，就有)(x f M -<．则)(x f M -<C -=C ≤,其中x 满足条件N x >．现从{}N x x >中任取一点d ，令)(d f D =，显然,A C D <<以及a d >．由介值定理得：在开区间),(d a 内至少有一点c ，使得C c f =)(．所以在区间),(+∞a 内至少存在一点c ，使得C c f =)(．同理可得定理4：定理4 如果函数)(x f 在区间),[+∞a 内连续，且A a f =)(、+∞→x lim )(x f B =)(B A ≠,不论C 是B A 或之间的怎样一个数，在区间),(+∞a 内至少有一点c ，使得C c f =)(．以上我们只是讨论了区间),[b a 与),[+∞a 这两种情形．实际上，对于其他区间也有类似的结论．这样，就构成了推广的介值定理．3.1.2 推广的介值定理的一个应用以推广的介值定理为基础，结合函数的单调性，可以得到求一类方程0)(=x f 绝对误差为)(1.0N m m ∈的近似解的一种好方法，其中)(x f y =的定义域i I D =，而)(x f y =在i I 内单调连续，且i I 与j I )(j i ≠无公共内点．定理5 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上单调连续，且0)()(>>>>> ),(,),(),(22221n x f x f x f 均同号，其中0)()(21<n n x f x f ．)1(当0)(lim )(lim 21==∞→∞→n n n n x f x f 时，则021lim lim x x x n n n n ==∞→∞→，且0x 就是方程0)(=x f 在),(b a 内的那个唯一解．)2(221ji x x +为0x 的绝对误差为212ij x x -的近似值．证明 )1(因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上单调连续，且0)()(<b f a f ，所以方程0)(=x f 在),(b a 内只有一个解0x ，即0)(0=x f ．因为 ,,,,11211n x x x 单调增加有上界．所以)(lim 1b c a c c x n n <<=∞→为常数，．又0)(lim 1=∞→n n x f ，0)(,0)(lim 11==→c f x f n cx n ．所以c 也是方程0)(=x f 在),(b a 内的一个解．由解的唯一性知，0x c =，即01lim x x n n =∞→．同理可得02lim x x n n =∞→． )2(因为函数)(x f 在闭区间],[b a 的子区间],[21j i x x 上也单调连续，且0)()(21<j i x f x f ，所以),(210j i x x x ∈，则221ji x x +为0x 的绝对误差为212ij x x -的近似值．注如果定理5中的条件闭区间],[b a 改为任意其他区间，而条件0)()(-='x x g ，所以 )0,()(-∞在x g 内单调连续．又因为-∞=-∞→)(lim x g x ，+∞=-→)(lim 0x g x ，3-1 寻找解1x 的绝对误差为0.01的近似值所以根据定理5,82.02)81.0(83.01-=-+-≈x ，其绝对误差为0.01； )2( 当0=x 时，显然0=x 不是原方程的解；)3( 当),0(+∞∈x 时，方程4x e x =与方程x x ln 4=在),0(+∞内是同解的．令x x x f ln 4)(-=，因为xx x x f )4(41)(-=-='，而当)4,0(∈x 时，0)(<'x f ；当),4(+∞∈x 时，0)(>'x f ．所以x x x f ln 4)(-=分别在),4[],4,0(+∞内单调连续．又因为+∞=+→)(lim 0x f x ，04ln 44ln 44)4(<=-=e f ，+∞=+→)(lim 0x f x ，表3-2 寻找解2x 的绝对误差为0.01的近似值n x 1 1.3 1.4 1.42)0,(-∞∈x )(1n x f 0.2505 0.0541 0.0174n x 2 2 1.5 1.45 1.44)(2n x f -0.7726 -0.1219 -0.0363 -0.0186n x 1 -0.9 -0.85 -0.83)0,(-∞∈x )(1n x g -0.4786 -0.19999 -0.0847n x 2 -0.5 -0.8 -0.81)(2n x g 2.2726 0.0926 0.0329所以根据定理5，,43.1244.142.12=+≈x ,62.8263.861.83=+≈x 其绝对误差均为0.01 ．综合)3(),2(),1(得：方程4x e x =一共有三个不同的解,,,321x x x 而-0.82、1.43、8.62分别为它们的绝对误差为0.01的近似值．3.2 二元函数的介值定理不仅一元函数有介值定理，二元函数也有介值定理．在此本文只是简单的介绍一下二元函数的介值性定理，仅供读者进行参考．3.2.1 二元函数介值性定理的内容[9]设函数f 在区域2D R ⊂上连续，若12,P P 为D 中任意两点,且12()()f P f P <，则对任何满足不等式12()()f P u f P << )1.2.3(的实数u ，必存在点0P ，使得0()f P u =．证作辅助函数μ-=)()(P f P F ，D P ∈．易见F 仍在D 上连续，且由不等式)1.2.3(知道0)(1P F ．这里不妨假设1P ，2P 是D 的内点．下面证明必存在D y x P ∈),(000，使0)(0=P F ．由于D 为区域，我们可以用有限段都在D 中的折线连结1P 和2P ．若有某一个连结点所n x 1 8 8.5 8.6 8.61),4(+∞∈x )(1n x f -0.3178 -0.0603 -0.0070 -0.0017n x 2 10 8.7 8.65 8.63)(2n x f 0.7897 0.0467 0.0198 0.0090表3-3 寻找解3x 的绝对误差为0.01的近似值对应的函数值为0，则定理已得证．否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，F 在它两端的函数值异号．不失一般性，设连结),(111y x P ，),(222y x P 的直线段含于D ，其方程为10),(),(121121≤≤⎩⎨⎧-+=-+=t y y t y y x x t x x ．在此直线段上，F 表示为关于t 的复合函数，设 ))(),(()(121121y y t y x x t x F t G -+-+=，10≤≤t ．它是]1,0[上的一元连续函数，且)1()(0)()0(21G P F P F G =<<=．由一元函数根的存在性定理，在)1,0(内存在一点0t ，使得0)(0=t G ．记)(),(1201012010y y t y y x x t x x -+=-+=，则有D y x P ∈),(000，使得0)()(00==t G P F ，即μ=)(0P f ．3.2.2 二元函数介值定理的应用例3.2 若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈),(ηξ，使得D D Sf d y x f ),(),(ηξσ=⎰⎰，这里D S 是积分区域D 的面积．证由于函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上存在最大值与最小值，设其分别为M 和m ，即对于区域D 中的一切点),(y x ，有M y x f m ≤≤),(，因此有⎰⎰≤≤DD D MS d y x f mS σ),(，即⎰⎰≤≤DD M d y x f S m σ),(1，由介值性定理存在D ∈),(ηξ，使得⎰⎰D d y x f σ),(D S f ),(ηξ=．例3.3 设)(t f 在区间),(b a 内连续可导，函数)(),(),()()(),(x f y x F y x y x y f x f y x F '=≠--=定义在区域),(),(b a b a D ⨯=内．证明：对任何),(b a c ∈，有)(),(lim ),(),(c f y x F c c y x '=→．证由于)(t f 在),(b a 内连续可导，当D y x ∈),(且y x ≠时，在以y x ,为端点的区间上应用拉格朗日中值定理有：yx y f x f y x F --=)()(),()(ξf '=， ),(y x ∈ξ，又由于)(),(x f y x F '=，则D y x ∈∀),(，),(y x ∈∃ξ，使得：)(),(ξf y x F '=，而当),(),(c c y x →时，c →ξ并且)(t f '在c 处连续，从而)(),(lim ),(),(c f y x F c c y x '=→．本课题简单地介绍了介值定理，首先介绍了介值定理的四中证明方法，应用区间套定理证明、应用致密性定理证明、应用柯西收敛准则证明以及应用确界原理证明.然后通过一些具体的例题来展示介值定理的广泛应用性，最后本课题简单地介绍了一下推广的介值定理，以及二元函数介值定理.通过本文的介绍，我们对介值定理有了更加深刻的认识，这对于我们的学习是很有帮助的.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].上册.第3版.北京：高等教育出版社，2004[2] 汪林数．学分析中的问题和反例[M].昆明：云南科学出版社，1999[3] Jing Z．From ordinary fact to surprising theorem[J],Nature J．，1985,8(7)[4] 郭计敏.介值定理的证明及应用[J].职校论坛，2009（23）[5] 谢国军，耿秀荣．介值定理在连续函数中的应用[J].柳州职业技术学院学报，2007[6] 何厚兵.介值定理在不等式教学中的应用[J].中国科教创新导刊，2008（24）[7] 黄道增.连续函数介值定理的应用[J].长江大学学报，2010(3)[8] 叶国柄.介值定理的推广及其应用[J].陕西工学院学报，2011(4)[9] 华东师范大学数学系.数学分析[M].下册.第3版.北京：高等教育出版社，2004[10] 刘玉琏，傅沛仁编．数学分析讲义[M]. 北京:高等教育出版社,1999[11] 岳贵新，邱翠萍.介值定理在解初等不等式中的应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报，2002（4）[12] 梁瑞光，郭强.介值定理在中学数学中的应用[J].长治学院学报，2011（2）致谢在此篇毕业论文划上句号之际，我郑重地向我的指导教师王淑云老师表示我最诚挚的感谢！衷心地感谢她的关心、指导和教诲．在王老师的精心引导下，几经修改我终于完成了毕业论文，从她身上我获得了太多的文化和知识，王淑云老师追求真理、献身科学、严以律己、宽已待人的崇高品质对学生将是永远的鞭策．我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在王淑云老师的全面、具体指导下进行的．老师渊博的学识、民主而严谨的作风，使我受益匪浅．王淑云老师谦逊的学术作风和高尚的人格品德将永远激励我前行!。

介值定理的推广和应用

述了有界闭区间上的连续函数的性质。此定理的叙述
如下：
定理1 [1（] 有界闭区间上连续函数的介值定理）
设y=（f x）在区间［a，b］上连续，（f a）≠（f b），则对任一介
于（f a）和（f b）之间的数C，至少存在一点孜∈（a，b），使
得（f 孜）=C.
一、介值定理的推广
我们可以将介值定理推广到任意区间上的连续
证明：（反证法）假设（f x）无不动点，则坌x沂R，f
（x）屹x.令F（x）=（f x）-x，则此函数也是连续函数且恒
不为零。否则，若存在两个点 x 1 ，x 2 ，使得 F（x 1）＜0 ＜
F（x2），则由闭区间上连续函数的介值性可知必有一点
孜，使得F（孜）=0，从而（f 孜）=孜，这与假设矛盾。不妨假设
元连续函数，且（f 0）约C约（f 1）。利用有界闭区间上一元
连续函数的介值定理可知，存在t0沂（0，1），使得（f t0）=
C。令孜=t0xk-1+（1-t0）xk沂Pk哿D，则（f ξ）=C，定理得证。
图2
二、介值定理的应用
连续函数的介值定理有很多的应用，通过下面几
个例子，我们可以进一步了解此定理在理论分析和实
图1
收稿日期：2017-09-22 作者简介：李娅（1978-），女，山东聊城人，讲师，博士，研究方向：生物数学；薛玉梅（1968-），女，福建福清人，教授，博士，研究方向：动力系统与分形。
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2018 年 4 月第 14 期
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关于等式与不等式的基本证明

关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ， ),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， min ()f x m =，max ()f x M =，且M m ≠，对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ）（二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点．（三）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号，则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ．（四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点．罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导，且lim ()()x f x f a →+∞=，则(,)a ξ∃∈+∞，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠，则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-．（五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,f x ''<>则()()()()22f x f y x yf ++≤≥．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()b baaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然．积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续，则min max ()()()()()baf x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）．二、典型例题题型一恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法例1、求证：（1）()0()()()(),f x a T Taf x f x T f x dxf x dx +=+=⎰⎰连续（2）()0()()()()f x nT Tf x f x T f x dxn f x dx =+=⎰⎰连续．提示：（1）令0()()(),a T TaF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R ∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx =-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T TkTk k k f x dx f x dx f kT u du f x dx n f x dx ---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例2、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-bax x x x f dxx f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根．提示：取)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=在],[d c 上用零点Th ．例2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且0)(lim =∞→xx f x ，求证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．证明：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，+∞=+=+∞→+∞→])(1[lim )(lim xx f x x F x x ，01>∃x ，使0)(1>x F 同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F故，)(x F 在],[21x x 上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni it，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值）提示： ()m f x M ≤≤，有∑∑∑====≤≤=n i ni i ni i iiM Mt x f tmt m 111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()b b ba a am mdx f x dx Mdx M b a b a b a =≤≤=---⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()ba f f x dxb a ξ=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例4、设k a 是满足012)1(1=--∑=nk k kk a 的实数，求证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在)2,0(π内至少有一实根．提示：令1'()cos(21)n k k F x a k x ==-∑，构造∑=--=nk kk xk a x F 112)12sin()(在]2,0[π上用罗尔．例5、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=101)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根．提示：令'()()(1)F x f x x =-，构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ，求证：)0,1(-∈∃ξ，使A f dt t f e =+⎰-])()([1ξξξ．提示：令1'()[()()]xxF x e f t dt f x A -=+-⎰，构造1()()xxF x ef t dt Ax -=-⎰，用罗尔定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f例1、设)(x f 在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且 )2()(2121f dx x f =⎰，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2f f x dx f ηη==∈⎰，用罗尔定理．例2、设)(),(xg x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g试证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --='' ．提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--，构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ．例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()n n n b a nf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-．提示：（1）令1'()()()n n F x nx f x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n=在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔．例4、设)(),(x g x f 于[]10,连续，()10,内可导，对),(b a x ∈恒有)()()()(x g x f x g x f '≠'，求证：若)(),(x g x f 在),(b a 内有两个零点，则介于其之间，)(x g 至少有一个零点．提示：用反证法，假设0)()(21==x f x f ，且0)(≠x g ，],[21x x x ∈构造)()()(x g x f x F =，则0)(='ξF ，与条件矛盾．例5、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >，证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=．提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）．（2）注意到（1）及题设条件，知函数()f x 在[],a b 上存在两个零点,a ξ，于是()()xF x ef x -=在(),a b 上有两个零点，由Rolle 定理，易证（2）．主要方法(1) 构造函数)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2) 利用函数的凹凸性.(3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式.例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)f x x =+或22()(1)ln (1)g x x x x =++- (ii) 令11()ln(1)h x x x =-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<．例2、比较ee ππ与的大小．提示：x e >，比较x ee x 与的大小，取对数构造()lnf x x e x =-，易证e e ππ>．例3、设)(),(xg x f 二阶可导，当0>x 时，)()(x g x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，．提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导．例4、当0,0>>y x 时，求证：2ln )(ln ln yx y x y y x x ++≥+．提示：令)2(2)()(0)(,ln )(yx f y f x f t f t t t f +≥+⇒>''=．例5、0,0,0>>>>αβy x ，求证：βββααα11)()(y x y x +>+．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())y y x xαββα+>+，令1()ln(1)tf x a t =+，0>a ．若1a =，原命题成立，现证明()f t 在0,1t a >≠时单调递减22ln (1)ln(1)()'()(1)(1)t t t t tta a a a g t f t t a t a -++==++，'()ln [ln ln(1)]t t tg t a a a a =-+ 1a >时，'()0g t <，则()(0)0g t g <<；01a <<时，'()0g t >，则()l i m ()0t g t g t →+∞<=．例6、设1,10>≤≤p x ，求证：1)1(211≤-+≤-p p p x x .提示：令ppx x t f )1()(-+=，求其在]1,0[的最值．例7、设)(x f 在(1,1)-内有0)(<''x f ，且2sin cos )(lim20=-→xxx f x ，求证：()1f x ≤．证明：易知,1)0(=f 2200()cos sin cos 1(0)lim lim 0sin x x f x x x f x x x→→--'=⋅+= 令 1)()(-=x f x F ，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(<''=''='=x f x F F F ，则易证．例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x py p p p p -<-<---．提示：令()pf t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理．例9、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(．证明：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f在],[],,0[a c c 对)(x f '分别应用拉氏定理，则易证．主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式（2）函数的单调性（构造辅助函数）积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）常伴于其中例1、设0>p ，求证：11110<+<+⎰p xdx p p . 提示：1111<+<-ppxx ，用积分不等式性质. 例2、求证：200x dx >.提示：2222002()x tx dx dt πππππ===+=⎰⎰⎰⎰.例3、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：⎰⎰<+babadx x xf dx x f b a )(2)()(.提示：令()()()2(),xxaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰ 则[,]x a b ∈时，()0F x '<.例4、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，10'()()()'()()(1)af xg x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令10()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰'()'()()'()(1)0F a f a g a f a g =-≤，于是，()F a 在[0,1]a ∈时单减，则()(1)0F a F ≥=．例5、设,f g 在[,]a b 上连续，且()(),[,)x xaaf t dtg t dt x a b ≥∈⎰⎰，⎰⎰=bab a dt t g dt t f )()(，证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.提示：令()()()F x f x g x =-，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设()0G x ≥，[,)x a b ∈，()()0G a G b ==，)()(x F x G ='. 从而()()b baaxF x dx xdG x =⎰⎰()()()bbba aaxG x G x dx G x dx =-=-⎰⎰由于()0G x ≥，[,]x a b ∈，故有0)(≤-⎰ba dx x G .例6、已知)(x f 满足：对212121)()(],,[,x x x f x f b a x x -≤-∈∀ 求证：2)(21)()()(a b a f a b dx x f ba-≤--⎰. 证明：左[()()]baf x f a dx =-⎰2)(21)()()(a b dx a x dx a f x f ba ba-=-≤-≤⎰⎰. 例7、设'()f x 在]1,0[上连续， 01(0)(1)0,max '()x f f M f x ≤≤===，求证：1()4M f x dx ≤⎰. 证明：⎰⎰⎰-+-≤1212101)1()()0()()(dx f x f dx f x f dx x f⎰⎰-'+'=1212211)1()()(dx x f xdx f ξξM dx x xdx M 41])1([121210=-+≤⎰⎰.三、课后练习1（A ）、证明：当1<x ，总有arctan[(1)(1)]arctan 4x x x π+--=． 2（A ）、求证：11ln ()ln[(1)()]ln ()xf x t dt f t f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰．（换元与求导） 3（A ）、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =，求证：方程()(()2)f x f x b a =+-在(,)a b 内至少有一根．(零点定理) 4（B ）、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ，求证：),(b a ∈∃ξ，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．(介值定理)5（A ）、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使[()()]()()()bf b af a b a f f ξξξ'--=+．（拉格朗日中值定理） 6（B ）、设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f （局部保号性与介值定理）（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得'()1f a ξ=．（拉格朗日中值定理） 7（A ）、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ．（令2()()x F x e f x λ=，罗尔中值定理）8（A ）、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且(1)12f =，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ,使0)()(2='-ξξξf f ．（令2()()F x f x x =，罗尔中值定理） 9（A ）、)(x f 可导，则)(x f 的两零点间必有)()(/x f x f -的零点．(令()()x F x e f x -=)10（B ）、设)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)2f π=， 0()arctan1f x x ≤≤，证(0,)ξ∃∈+∞，使1)()1(/2-=+ξξf ．(令()()arctan F x f x x =+，推广的罗尔中值定理与夹逼定理) 11（A ）、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且[())]()baf x b a dx f b -=⎰求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．(积分中值定理与罗尔中值定理) 12（A ）、)(x f 在]1,0[上可微，且12(1)2()f xf x dx =⎰，试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．(令()()F x xf x =，积分中值定理与罗尔定理)13（A ）、设)(x f 在[]1,0上可微，110(1)()k x f kxe f x dx -=⎰，)1(>k ，证明()0,1ξ∃∈，使得()()11()f f ξξξ'=-．(令1()()x F x xe f x -=，积分中值定理与罗尔定理)14（B ）、设()f x 在[]0,3上连续，在(0,3)内二阶可导，且22(0)()(2)+(3)f f xd x f f==⎰，（Ⅰ）证明：存在(0,2)η∈，使()(0)f f η=；（积分中值定理）（Ⅱ）证明：存在(0,3)ξ∈，使"()0f ξ=．（介值定理与罗尔中值定理） 15（B ）、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．（局部保号性与罗尔中值定理）16（B ）、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且(0)(1)0f f ==，(12)1f =，求证：（i ）(12,1)η∃∈，使ηη=)(f ；（零点定理）（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ．(令()[()]xF x e f x x λ-=-)17（B ）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（(0)0f =，拉格朗日中值定理）（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．(令()['()1]xF x e f x =-,罗尔中值定理)18（A ）、当0>x 时，求证：(1))ln(1)x e x x -+>+.(令()1(1)ln(1)x F x e x x =--++) 19（A ）、当0x >时，求证：arctan 12x x π+>.(考虑=0x 处的右极限) 20（A ）、当0>x 时，证明：1112(1)x x x e +++<.(先取对数)21（B ）、设b a <<0，求证：222()()ln ln a b a a b b a -+<-<（令=>1x b a ） 22（A ）、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x .（分<1x 与1x ≥考虑） 23（A ）、>1,>1p q ，且111p q +=求证：对0>∀x ，有1p x p q x +≥.（最值） 24（A ）、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.（先转化为函数最值） 25（B ）、证明：2ln[(1)(1)]cos 12,1 1.x x x x x x +-+≥+-<<（最值）26（A ）、1,1≥>n a ，求证：21(1)11(1)21(1)[]n n n n n a a a a n a -++-+<-<.（拉格朗日） 27（A ）、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时. 28（A ）、设)(x f 处处可导，则（D ）（拉格朗日中值定理）A -∞='-∞=-∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则B -∞=-∞='-∞→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则C +∞='+∞=+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则 D +∞=+∞='+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则29（A ）、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.（拉格朗日中值定理）30（A ）、设)(),(x g x f 正值可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ）A )()()()(x g b f b g x f >B )()()()(x g a f a g x f >C )()()()(b g b f x g x f >D )()()()(a g a f x g x f > 提示：令()()()F x f x g x =，单调性. 31（B ）、设0lim[()]1x f x x →=，且0)(>''x f ，求证：x x f ≥)(.（最值）32（A ）、求证：1ln(11dx <<⎰33（A ）、)(x f 在]1,0[上连续递减，证：当10<<λ时，⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ.(换元).34（B ）、设4tan n n I xdx π=⎰，2n ≥，求证： 1[2(1)]1[2(1)]n n I n +<<-.提示：222+1(1)2n n n n I I I n I --≤=-≤. 35（B ）、证：22sin cos d 01x xx xπ-≤+⎰.（用4π划分[0,2]π，对[4,2]ππ用=2x t π-） 36（A ）、设 )(x f 可导, 且(0)0,0()1f f x '=<<,证:11230(())()f x dx f x dx >⎰⎰.提示：令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 032)())(()(.37（B ）、设)(x f 在]1,0[上可积，且当01x y ≤<≤时，()()arctan arctan f x f y x y -≤-，又(0)ln 22f =，求证：1()4f x dx π≤⎰.(11()()(0)(0)f x dx f x f dx f ≤-+⎰⎰)38（B ）、设'()f x 在[0,2]π上连续为正，证：20()sin 2[(2)(0)]f x nxdx f f n ππ≤-⎰.提示：220()sin [(2)(0)]['()cos ]f x nxdx f f n f x nx n dx πππ=--+⎰⎰.39（B ）、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：200()max ()2ax af x dx a f x ≤≤'≤⎰.提示：积分不等式性质与拉格朗日中值定理.。

【精品文档】初中数学定理证明(精选多篇)-word范文 (17页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==初中数学定理证明(精选多篇)第一篇：初中数学定理证明初中数学定理证明数学定理三角形三条边的关系定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°推论1直角三角形的两个锐角互余推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角角的平分线性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言：∵oc是∠aob的角平分线(或者∠aoc=∠boc)pe⊥oa，pf⊥ob点p在oc上∴pe=pf(角平分线性质定理)判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上几何语言：∵pe⊥oa，pf⊥obpe=pf∴点p在∠aob的角平分线上(角平分线判定定理)等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等几何语言：∵ab=ac∴∠b=∠c(等边对等角)推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边几何语言：(1)∵ab=ac，bd=dc∴∠1=∠2，ad⊥bc(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)(2)∵ab=ac，∠1=∠2∴ad⊥bc，bd=dc(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)(3)∵ab=ac，ad⊥bc∴∠1=∠2，bd=dc(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°几何语言：∵ab=ac=bc∴∠a=∠b=∠c=60°(等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°)等腰三角形的判定判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等几何语言：∵∠b=∠c∴ab=ac(等角对等边)推论1三个角都相等的三角形是等边三角形几何语言：∵∠a=∠b=∠c∴ab=ac=bc(三个角都相等的三角形是等边三角形)推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形几何语言：∵ab=ac，∠a=60°(∠b=60°或者∠c=60°)∴ab=ac=bc(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半几何语言：∵∠c=90°，∠b=30°∴bc=ab或者ab=2bc(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等几何语言：∵mn⊥ab于c，ab=bc，(mn垂直平分ab)点p为mn上任一点∴pa=pb(线段垂直平分线性质)逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上几何语言：∵pa=pb∴点p在线段ab的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)轴对称和轴对称图形定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称勾股定理勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形四边形定理任意四()边形的内角和等于360°多边形内角和定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)·180°推论任意多边形的外角和等于360°平行四边形及其性质性质定理1平行四边形的对角相等性质定理2平行四边形的对边相等推论夹在两条平行线间的平行线段相等性质定理3平行四边形的对角线互相平分几何语言：。

介值性定理的证明

介值性定理的证明及应用汪雁指导老师：张有为（河西学院数学与统计学院甘肃张掖 734000）摘要通过巧妙的构造辅助数列，应用致密性定理来证明闭区间上连续函数的介值性定理，以及介值性定理在解不等式及证明方程根的存在性中的应用．关键字介值性定理;辅助数列（函数）;致密性定理;柯西收敛准则;最值性定理中图分类号Proof of intermediate value theorem and applicationsWang Yan(School of Mathematics and Statistics HeXi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract Through clever construct auxiliary series applied density theorem to prove intermediate valuetheorem of continuous function on a closed interval and the intermediate value theorem’s application of the solution of inequality and prove the existence of the equations’ roots ．Keywords Intermediate value theorem; Auxiliary series; Density theorem; Cauchy convergence criterion; Most value theorem ．介值性定理是数学分析课本中有关闭区间连续函数的一个重要的定理，也是微分论中重要的基本定理之一，这一定理虽简单，但应用广泛，在微积分理论中不少定理的证明要用到该定理．介值性定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在数学分析教材中一般应用有关实数完备性的[]16个基本定理中的确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理来证明．根据函数极限的归结原则，函数极限问题往往转化为数列极限问题来解，使得构造一个适当的辅助数列变成解决问题的关键，在这里通过巧妙地构造辅助函数和辅助数列，应用最值性定理，致密性定理及柯西收敛准则来证明．1 介值性定理及其推论的证明介值性定理设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠，若u 是介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a u f b <<或()()f a u f b >>），则至少存在一点ξ，使得()f u ξ=．推论1（根的存在性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<（(),()f a f b 异号）则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=．推论 2 设()f x 在区间(),a b 内连续，则（1）设()0f x =在区间(),a b 内没有实根，则()f x 在(),a b 内恒正或者恒负；（2）若()0f x =在区间(),a b 内有n 个不同实根12,,n x x x ，且12n x x x <<<则这n 个实根将区间(),a b 分成1n +个小区间112(,),(,)(,)n a x x x x b ，在每个小区间内()f x 恒正或者恒负．1．1 应用最值性定理证明介值性定理证明假设m 与M 分别是函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值与最大值，ξ是m 与M 之间的任意数，如果m M =则函数()f x 在区间[],a b 上是常数．显然，定理是成立的在，如果m M <，根据最值性定理在闭区间[],a b 上必存在两点1x 与2x ，使1()f x m =，2()f x M =．不妨设12x x <，且12a x x b ≤<≤，已知12()()f x u f x ≤≤，如果1()f x u =或2()f x u =，则1c x =或2c x =，定理成立．现只需证明12()()f x u f x <<的情况，作辅助函数()()x f x u ϕ=-，根据连续函数的四则运算性质，函数()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，从而在闭区间21,x x ⎡⎤⎣⎦上也连续，且11()()0x f x u ϕ=-<与22()()0x f x u ϕ=->，根据根的存在性定理（零点定理），在区间()21,x x 内至少存在一点ξ，使()0ϕξ=，即()0f u ξ-=，即()f u ξ=，则定理成立．．1．2 应用致密性定理证明介值性定理这里我们不妨设()()f a u f b <<，令()()g x f x u =-，则g 也是[],a b 上的连续函数，且()0g a <，()0g b >．于是介值性定理的结论转化为：存在一点(),a b ξ∈，使得()0g ξ=．这个简化的情形就是根的存在性定理，因此，要证明介值性定理只要证根的存在性定理即可．首先，证明下面两个引理：引理 []21 设{}n x 是有界数列，而且()1lim 0n n n x x +→∞-=，则{}n x 的聚点的集合是[],a b ，其中lim n x a x →∞=，lim n x b x →∞=．证明根据定义，a 与b 都是{}n x 的聚点，故我们只要证明a 与b 之间的任意实数x ()a x b <<都是{}n x 的聚点即可．先证，对于任给的0ε>及任给的正整数0n '，必有0n n *'>存在，使得n x x ε*-<．事实上，由假定知必有正整数0n ''存在，当0n n ''>时恒有1n n x x ε+-<，令{}000max ,n n n '''=，则数列{}01n n n x ∞=+中至少必有两项n x '和n x ''存在，使n x x '<，''n x x >（否则，例如，无小于x 的项，则必有lim n x x x →∞≥，此与a x <矛盾）．不妨设n n '''<，令满足n n n '''<<且使n x x <的正整数n 中之最大者为n *，显然1n n *''<-，且*n x x <，*1n x x +>因此，0n n *>，且**1*n n n x x x x ε+-<-<．现取11ε=，11N =，则存在()111n x n >，使11n x x -<；再取212ε=，21N n =，则存在()221n x n n >，使212n x x -<；又取313ε=，32N n =，则存在332()n x n n >，使313n x x -<，如此继续下去，得到{}n x 的一个子列{}k n x ，满足()11,2,3...k n x x k k-<=，故k n k x x →∞−−−→，即x 是{}n x 聚点．引理 []42 设()f x 在闭区间[],a b 上连续，故数列{}[],n x a b ⊂且lim ()n n f x A →∞=，证明存在点[],a b ξ∈，使得()f A ξ=．证明因为{}[],n x a b ⊂，所以{}n x 有界．由致密性定理“有界数列必有子列”可知{}n x 中必有收敛子列{}k n x ，设lim k k n x ξ→∞=，由于k n a x b ≤≤，故[],a b ξ∈．又lim ()n n f x A →∞=，故l i m ()k n k x f A →∞=，由于()f x 在闭区间[],a b 上连续，因而l i m (l i ()(m))k k k n k n x f x A f f ξ→∞→∞===．下面对根的存在性定理进行证明：证明取[],a b 的中点，记为1x ，再取[]1,a x 及[]1,x b 的中点，分别记为2x ，3x ，且()122312x x x x b a -<-=-；又取[][][][]313212,,,,,,,x b x x x x a x 的中点，依次记为4567,,,x x x x ，且()341212i i x x x x b a +-<-=-，4,5,6i =．然后取[][][][][][][][]77226611553344,,,,,,,,,,,,,,,a x x x x x x x x x x x x x x b 的中点，依次记为89101112131415,,,,,,,x x x x x x x x ，且()781312i i x x x x b a +-<-=-，8,9,10,11,12,13,14i =；如此继续下去，可得到数列{}n x 满足，对任意的正整数n ，存在正整数k ，使1212k k n +≤+<，从而有()112n n k x x b a +-≤-．数列{}n x 所对应的函数列为{}()n g x ，由于函数()g x 在闭区间[],a b 上连续，所以()g x 在闭区间[],a b 上一致连续且有界，因而对任给的0ε>，存在0δ>，及正整数N ，当,n k N >时，有()112n n k x x b a δ+-≤-<．因而，1()()n n g x g x ε+-<，即1lim(()())0n n n g x g x +→∞-=．再由引理1得{}()n g x 的聚点集合是[],αβ，其中lim ()n n g x α→∞=，lim ()n n g x β→∞=．显然，{}n x 的子列{}i n x ：2121783132212,,,,...,n n x x x x x x ++-，...收敛于a ，{}n x 的子列{}j n x ：22341516212,,,,...,n n x x x x x x -，...收敛于b ．由于()g x 在闭区间[],a b 上连续，所以有lim ()()i n i g x g a →∞=，lim ()()j n j g x g b →∞=．即()g a 和()g b 都为数列{}()n g x 的收聚点．因为()0g a <，()0g b >，所以0,0αβ<>，从而()0,αβ∈，即0为数列{}()n g x 的聚点，也即存在{}()k n g x （(),k n x a b ⊂）且lim ()0k n k g x →∞=．由引理2得，存在点(),a b ξ∈，使得()0g ξ=，即，定理成立．1．3 应用柯西准则定理证明介值性定理证明假设(),x a b ∀∈，有()0g x ≠，设[]{}()0,X gx x ab =<∈，[]{}()0,Y g x x a b =>∈，显然，X 和Y 非空(因为()0g a <，()0g b >，所以()g a X ∈，()g b Y ∈)，且X Y ⋂=∅，将区间[],a b 二等分，若()02a b g +>，则记左半个区间为[]11a b ，若()02a bg +<，则记右半个区间为[]11,a b ，总之有11(),()g a X g b Y ∈∈，如此继续下去得到数列,n n a b 满足:（1）11,1,2,3n n n n a a a b b n ++<<<<=；（2）()lim 0n n n b a →∞-=；（3）()n g a X ∈，()n g b Y ∈．取数列{}1122:,,,,,n n nc a b a b a b ，则数列{}n c 满足柯西条件，即对0ε∀>，存在正整数N ，当,n m N >时，n m c c ε-<．事实上，当,n m c c 为数列{}n a 中的项时，由于该数列有上界，从而有上确界为α，即对0ε∀>，存在正整数N ，有02N a εα<-<．当,n m N >时，根据数列的递增性，有2n m n m n m N a a a a a a a αααααε-=-+-≤-+-<-<．同理可得为数列{}n b 中的项的情况．．当,n m c c 一个为数列{}n a 中的项，一个为数列{}n b 中的项时，由（2）得：对0ε∀>，存在正整数N N '>，当n N '>时，2n n b a ε-<；当,n m N >时，n m n n n m n n n m b a b a a a b a a a ε-=-+-≤-+-<．由柯西收敛准则得{}n c 收敛，假设lim n n c ξ→∞=，由于()g x 在闭区间[],a b 上连续，所以数列{}()n g c 收敛于()g ξ，从而()g X ξ∈或()g Y ξ∈，又不妨设()g X ξ∈，根据数列极限的保号性，存在正整数N ，当时n N >时， ()0n g c <，即()n g c X ∈，然而当n n c b =时，有()n g b X ∈这与X Y ⋂=∅矛盾，从而假设不成立，因而(),a b ξ∃∈，使得()0g ξ=．以上即为本文给出的三种关于介值性定理的证明方法．2 介值性定理的应用2．1 介值性定理在判断方程根的存在性上的应用例[]31 设()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()0f x >，又1()()()x xabF x f t dt dt f t =+⎰⎰，证明()0F x =在(),a b 内有唯一实根．证明由于函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，1()()()x xabF x f t dt dt f t =+⎰⎰因此函数()F x 在[],a b 上可导，故函数()F x 在[],a b 上连续又因为()0f x >，所以1()0()abF a dt f t =<⎰，1()0()abF b dt f t =>⎰ 由推论1（零点定理）可知，至少存在一点(),a b ξ∃∈，使得()0F ξ=，即()0F x =在(),a b 内至少有一个实根．又因为1()()()F x f x f t '=+，()0f x >，所以()0F x '>，因此 ()F x 在(),a b 内单调递增，则()F x 在(),a b 内单调递增，因此，()0F x =在(),a b 内至多有一个实根，综上所述，()0F x =在(),a b 内有唯一实根．例[]52 证明方程sin (0,0)x a x b a b =+>>至少有一正根，且不超过a b +．证明设()sin f x x a x b =--，由已知可得：1sin b x x a a -=，即111bx a a-≤-≤，由于0,0a b >>，因此b a x a b -≤≤+考察，()sin()(1sin())0f b a b a a b a b a b a -=----=-+-≤，当0b a ->时，至少存在一个正根(),b a a b ξ∈-+，使()0f ξ=；当0b a -≤时，不妨只考察[]0,a b +，由于[][]0,.a b b a a b +⊂-+，且(0)0f b =-<，()0f a b +≥，所以，至少存在一个正根(,)b a a b ξ∈-+，使()0f ξ=．因此，方程sin (0,0)x a x b a b =+>>至少有一个正根，且不超过a b +．2．2 介值性定理在其他数学领域中的一个应用例[]53 证明圆到直线的每一连续映射都把圆上的某一对对径点映射成同一点．图1B=f(P')A=f(P)L证明如图1，设:f C L →为圆C 到直线L 的一个连续映射，在上L 引入坐标，则f 的值域为(),-∞+∞，设C 的某一对对径点P P '、的象点分别为A B 、，即()=f P A ，()=B f P '，对的任意一对对径，当X 沿一个半圆从P 走到P '时，X '就沿另一个半圆从P '走到P ．定义函数g ：()()()g X f X f X '=-，且其定义域为X 与X '分别走过的两个半圆（即整个圆C ），显然g 连续且:()g ()()P f P f P A B '=-=-;()()g ()()P f P f P B A A B ''=-=-=--．如果0A B -=，由于()()g g P P A B '=-=-，则P P '、的象点()f P ，()f P '相同．如果0A B -≠，函数()()()g X f X f X '=-在走过的圆上连续，则根据介值性定理推论1得，圆C 有一对对径点Q Q '、，使g()0Q =，即，()()f Q f Q '= 这则表明，点Q 与其对径点Q '的象点相同．综上所述，即结论得证．2．3 介值性定理在实际问题中的应用例4 四脚一样长，四脚连线呈正方形的椅子放在起伏不平的光滑曲面的地上，能否将这把椅子四脚同时落地并放稳？答案是肯定的！图2A如图2，设椅子四点连线交点为0，初始时四脚连线呈正方形ABCD ，以为O 原点，对角线AC 为X 轴建立直角坐标系椅子在绕动过程中的任意位置A B C D ''''，对角线A C ''与X 轴的夹角θ唯一确定在不同位置椅子脚与地面的距离不同，这一距离为θ的连续函数，设A C 、两脚与地面距离之和为()f θ，B D 、两脚与地面距离之和为()g θ，在任意位置椅子总有三只脚同时落地，即对任意的θ，()f θ与()g θ总有一个为零．不妨设()=0g θ，这样，该问题便归结为以下数学问题:设()()f g θθ、都是θ连续函数，(0)=0g ，对任意θ，()()=0f g θθ⋅，存在002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得00()=()=0f g θθ．证明将椅子转动2π使对角线互换，由于(0)=0g ，(0)=0f 可得，()=02f π，()02g π>，令()()()h f g θθθ=-，且()h θ连续，并满足(0)0h >且()02h π<．根据介值定理推论1（零点定理），必存在002πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使0()0h θ=，即00()=()f g θθ因为00()()=0f g θθ⋅，所以00()=()=0f g θθ，此时椅子放稳．以上即为介值性定理的几种应用，其实介值性在连续函数中的应用远不止于此，事实上，介值性定理在连续函数中有着非常广泛的应用，在此不再一一说明．参考文献[1]华东师范大学，数学分析[M]，第三版，北京：高等教育出版社，2002，76-77． [2]汪林．数学分析中的问题和反例[M]．昆明：云南科学技术出版社，1990． [3]盛祥耀．高等数学[M]，北京：高等教育出版社，2001．[4]郭计敏．介值性定理的证明及应用[Ｊ]．科技信息职校论坛，2009，（23）：616-617． [5]高金泰．介值定理的几点推广应用[Ｊ]．甘肃广播电视大学学报，1999，（2）：53-56．。

介值定理百科

介值定理百科
介值定理是大学数学中一个很重要的概念，它是解析几何学的基础之一。

下面将介绍关于介值定理的定义、定理和应用。

一、概念简介
介值定理是研究连续函数的一个定理，它描述了连续函数连续区间上
取遍其最大值和最小值的现象。

具体来说，介值定理指出，如果
$f(x)$是定义在闭区间$[a, b]$上的连续函数，那么$f(x)$在$[a,
b]$上至少取到一切介于$f(a)$和$f(b)$之间的值。

二、定理表述
介值定理可表述为：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必取到最大值$M$和最小值$m$。

即，存在$c_1, c_2 \in [a, b]$，使得$f(c_1)=M$，$f(c_2)=m$。

三、应用举例
应用介值定理可以解决很多实际问题，如：
1. 证明存在一条最靠近地球表面的航线。

假设地球表面是一个球体，
并且我们知道X到Y两点距离，那么可以把这个问题看成是寻找到一
条连接X和Y的函数路径，使得路径的长度最短。

这种情况下，我们
可以把地球表面看成一个连续函数，于是应用介值定理就可以证明存
在一条最靠近地球表面的航线。

2. 找到函数的极值。

我们可以通过介值定理来证明函数在某一区间内
存在极大值或极小值，这对于求导很有帮助。

3. 求解方程。

对于某些复杂方程，我们可以通过应用介值定理来证明方程在某个区间内存在解。

总之，介值定理作为解析几何学的基础之一，在数学中有着广泛的应用，是数学学习的重点之一。

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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==介值定理的证明篇一：用介值定理证明原函数的存在性用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?证明F(x??x)?F(x)??x??xxf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?xF(x??x)?F(x)值定理）。

lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?篇二：介值定理的一些应用介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。

本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。

介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。

文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。

最后举例说明介值定理在生活中的应用。

关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。

此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。

介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。

介值性定理：设函数f(x)在闭区间?a,b?上连续。

并且函数f?a?与函数f?b?不相等。

如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a??f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f???f?b?或f?a????x.0???.推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。

1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。

介值定理的应用分析

介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。

本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。

介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。

文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。

最后举例说明介值定理在生活中的应用。

关键词：介值定理方程不等式应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。

此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。

介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。

介值性定理：设函数()f x 在闭区间[]b a ,上连续。

并且函数()f a 与函数()f b 不相等。

如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()f a <μ<()f b 或()f a >μ >()f b ，则至少存在一点0x (),a b ∈使得().0f x =μ.推论：根的存在定理如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，并且()f a 和()f b 满足()f a ()f b <0，那么至少存在一点0x ，使得().0f x =0. 即是方程()f x =0在(),a b 内至少有一个根。

1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。

可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。

1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程()f x =()g x 在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数()F x =()f x -()g x 的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。

例1 证明：函数()f x 在区间[]a 2,0上连续并且函数()0f =()2f a 。

那么方程()f x =()f x a +在[]0,a 内至少有一个根。

介值定理证明题

介值定理证明题
介值定理是一种重要的数学定理，可以用来证明某些数学问题。

下面是一个介值定理的证明题。

已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f(a)≠f(b)，证明：对于任意介于f(a)和f(b)之间的数k，都存在一个点c∈(a,b)，使得f(c)=k。

证明：
由于f(x)在区间[a,b]上连续，根据介值定理，f(x)在[a,b]上可以取到其最大值M和最小值m。

又因为f(a)≠f(b)，所以M≠m。

不妨设M>f(a)且m<f(a)。

根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]上必须取到介于f(a)和M之间的所有值，即对于任意介于f(a)和M之间的数k，都存在一个点c ∈[a,b]，使得f(c)=k。

同样地，根据连续函数的性质，f(x)在[a,b]上也必须取到介于m和f(b)之间的所有值，即对于任意介于m和f(b)之间的数k，都存在一个点d∈[a,b]，使得f(d)=k。

因为M>f(a)且m<f(a)，所以f(a)介于m和M之间，根据上述结论，存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)=f(a)。

同理，因为M>f(b)且m<f(b)，所以f(b)介于m和M之间，根据上述结论，存在一个点d∈[a,b]，使得f(d)=f(b)。

由于f(a)≠f(b)，所以c≠d。

因此，对于任意介于f(a)和f(b)之间的数k，都存在一个点c
∈(a,b)，使得f(c)=k。

[精品]考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明.doc

关于等式与不等式的基本证明—、考试内容(一)介值定理介值定理：若/(X)在［d,S上连续，且f(a) f(b),对于f(a\ f(b)之间的任一个数C,丐W(G,历，使/© = C ・(*b)介值定理推论1 (零点定理):若/(兀)在［a9b］±连续,且f(a)f(b) < 0, 则玮w(d,b),使/© = 0.("")介值定理推论2 (零点定理)：若/G)在(d,b)内连续，且/(a+W)<0, 则址(讪,使/(^) = 0.(,恥)介值定理推论3 (零点定理)：若/⑴在(-oo,+oo)内连续，且lim f(x) lim f(x) < 0 ,XT-oo .V—>+<»则珈(a,b),使f(^) = 0 .(如,0)介值定理推论4：若/(x)在［讪上连续，f min (x) = m , f max (x) = M,且M 冷, 对于(二)代基本定理：任何一個非零的一元n次实系数多項式，都至多有n個实数零加,M之间的任一个数C ,则使f© = C・(§可能取到cz或方)点.(三)积分中值定理定积分中值定理:若/⑴在［讪上连续，则昨(讪，使ebf f(x)dx = f(^(b-a)・J a定积分中值定理推论1:设/(Q,g(Q在［d,勿上连续，且g(Q在S"］上不变号, 则 m兵(ci,b)，使£ f(x)g(x)dx = /(^)f g(x)dx.对于定积分中值定'理及其推论1, 能取到Q或方.(四)微分中值定理罗尔中值定理：若/(兀)在［恥］上连续,在(a,方)内可导,f(a) = f(b), 则m兵(a,b),使f(^) = 0 .罗尔中值定理的推广形式1：若/(兀)在［a.b］±连续,在(％)内可导,且/(兀)有71 >2个不同的零点，则广(兀)在(Q,/?)内至少存在斤-1个不同的零点.罗尔中值定理的推广形式2：若/(劝在⑺")内可导，且f(a+) = A = /0-), 则日兵(⑦历，使广©二0.罗尔中值定理的推广形式3：若/(x)在S,+oo)内连续，在(G,+oo)内可导，K lim /(x) = f(a) 9则日兵⑺使/@) = 0.罗尔屮值定理的推广形式4：若/(兀)在［°,切上连续，在⑺力)内可导，且广⑴工0, 则/(无)在(Q,历内为单调函数.拉格朗日中值定理：若/(兀)在［a.b］±连续，在(d,b)内可导, 则北w(67, b),使f(b) - f(a) = #©(b - a)・(五)不等式定理凹凸性不等式定理：若r(x)<(»o,则/⑴+/(刃5㈢/(土).2 2积分不等式定理：若/(x)> g(x),则『/(x)dxnf'g (兀皿(a<b ),但反Z 不然. 积分估值定理：若/(兀)在 f ］ (°<方)上连续，则 Zwn ⑴® - d) W 『fMdx < /max (x)(b - a) •J a 积分绝对值不等式定理：<£|/(x)|^t ( dVb )•二、典型例题题型一恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法r a+T/(x)可积 R T 例 1、求证：(1) | f(x)dx = I f(x)dx, (2)J"f(x)=f(x^T)J 0 JrnT/(x)可积 C T| f(x)dx = n\ f{x)dx.J。

罗尔定理的证明过程

罗尔定理的证明过程罗尔定理，是微积分中重要的定理之一。

它有一个非常简单、易于理解的表述：如果一个函数 f 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b)内可导，并且满足 f(a) = f(b)，那么至少存在一个 c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。

这个定理的证明过程非常有趣，涉及到了微积分的一些重要概念和技巧。

下面我们来一步一步地分析。

首先，我们需要明确一个概念：若 f 在区间 [a, b] 上连续，并且在 (a, b) 内可导，那么在 [a, b] 内至少存在一点 c，使得 f'(c) = 0。

这个概念被称为介值定理（Intermediate Value Theorem），是微积分中很基础的一部分。

证明介值定理的思路是：首先，如果函数 f 在区间 [a, b] 上的最大值（或最小值）出现在了端点 a 或者 b 上，那么这个点就是我们要找的点 c；否则，我们不断地使用拐点定理，将区间 [a, b]分成两半，然后在其中一半中找到一个最大值（或最小值）的点，这个点即为我们要找的点 c。

了解了介值定理，我们现在回到罗尔定理本身。

我们要证明，如果函数 f 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，并且满足 f(a) = f(b)，那么至少存在一个 c∈(a, b)，使得 f'(c) = 0。

为了证明这个定理，我们需要用到另一个重要的概念：拉格朗日中值定理。

这个定理与罗尔定理形式相似，但前者要求函数在区间 [a, b] 内可导，而后者则要求在 (a, b) 内可导。

具体地说，拉格朗日中值定理指出：若 f 在区间 [a, b] 内连续，在 (a, b) 内可导，那么至少存在一个c∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)这个公式的证明思路很简单：我们用介值定理找到一个点d∈(a, b)，使得 f(d) = (f(b) - f(a)) / (b - a)，然后应用罗尔定理在 [a, d] 和 [d, b] 上分别找到一个点 c1、c2，使得 f'(c1) = f'(c2) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

导函数的介值定理即布达定理(老黄学高数第142讲)

证明：若函数f在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)=k，
f’+(a)·f’-(b)>0，则在(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=k. 证：不妨设f’+(a)>0，f’-(b)>0，即
由极限保号性质，分别有正数δ1, δ2<(b-a)/2，使得
当x∈U+⁰(a,δ1)时，
>0，即f(x)>k；
老黄学高数
第142讲布达定理即导函数的介值定理
区间上连续函数的介值性定理
设函数f在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)≠f(b). 若μ为介于f(a)与f(b)之间的任意实数 (f(a)<μ<f(b)或f(a)>μ>f(b))，则至少存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)=μ. 即[f(a),f(b)](或[f(b),f(a)])⊂f([a,b]).
且f’(x)=2xsin -
=0.
但 f’(x)= -
不存在.
∴f’(x)在[a,b]上不一定连续.
证：设F(x)=f(x)-kx，则F(x)在[a,b]上可导，且F’+(a)·F’-(b)=(f’+(a)-k)(f’-(b)-k)<0. ∴存在点ξ∈(a,b)，使得F’(ξ)=f’(ξ)-k=0.
即f’(ξ)=k.
若函数f在[a,b]上可导, f’(x)在[a,b]上连续吗？如果连续，请证明；如果不连续，请举出反例. 解：不一定成立. 如, 函数f(x)=x2sin 在R上的任何闭区间[a,b]上可导,
当x∈U-⁰(b,δ2)时，
>0，即f(x)<k；
取x1∈U+⁰(a,δ1), x2∈U-⁰(b,δ2), x1<x2, 则f(x1)>k,f(x2)<k.

1-25零点定理与介值定理

零点定理与介值定理定义。

零点的是就称如果~~~~~~~00)(,0=)(x f x x f 。

根的是方程也称~~~~~~~~~~~~~~00=)(x f xa xyy = f (x )f (a )b f (b )Of (x )∈C ( [a , b ] ),f (a ) f (b ) < 0,ξf (ξ)＝0.先看一个图描述一下这个现象(根的存在定理或零点定理)则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)＝0.设f (x ) ∈C ( [a , b ] ), 且f (a )f (b ) < 0,a xy y = f (x )f (a )b f (b )Oξ如何证明？定理1证明的思想方法—区间套法将区间[a ,b ]等分为[a ,a 1]和[a 1,b ],在这两个区间中,选择与[a ,b ]性质相同的一个,例如,若f (a 1)f (b )<0,则选取区间[a 1,b ],如此下去,小区间的长度趋于零,并且总保持函数区间端点值反号然后,对[a 1,b ]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值, 就是要求的ξ∈(a , b ).f (a ) =Af (b ) =Byy = f (x )ξC y =f (ξ) = C下面看看, 坐标平移会产生什么效果.x x x x Oab ξx abxO 如何描述这个现象?定理2(介值定理)设f (x)∈C ( [a, b] ), f (a)＝A, f (b)＝B,且A ≠B, 则对于A, B 之间的任意一个数C,至少存在一点ξ∈(a, b), 使得f (ξ) = C.令ϕ(x ) = f (x ) -C故由零点定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ) 使则ϕ(x )∈C ( [a , b ] )C 在A , B 之间∴ϕ(a )⋅ϕ(b ) = ( f (a ) -C )⋅( f (b ) -C )= ( A -C ) ( B -C ) < 0y B C A O a bξξbxxϕ(ξ)= 0, 即 f (ξ) = C .证最大、最小值定理介质定理？引入设f (x ) C ( [a , b ] ), 则f (x ) 取得值m 之间的任何一个值.推论介于其在[a , b ] 上的最大值M 和最小.)(++)(+)(=)(21nx f x f x f ξf n 设f (x )∈C ( [a ,b ] ),证明: 至少存在一点ξ∈[x 1, x n ], 使得a < x 1< x 2< … < xn< b ,例1故由 ]),,([)(b a C x f ∈ , M x f x f m x f b a x b a x =)(max )(=)(min ],[],[∈∈≤≤, M n x f x f m n ≤≤)(++)(1 从而由介值定理, 至少存在一点ξ∈( x 1, x n ), 使. nx f x f ξf n )(++)(=)(1 证证明方程x 5 –3x =1, 在x =1 与x =2 之间令 f (x ) = x 5 –3x –1, x ∈[1, 2],则f (x )∈C ( [1, 2] ),又f (1) = –3, f (2) = 25, f (1) ⋅f (2)< 0,即方程在x =1 与x =2 之间至少有一根.故至少存在一个ξ∈(1, 2), 使得f (ξ) = 0,至少有一根.例2证至少有一个不超过a + b 的正根.证明方程x = a sin x + b ( a > 0, b > 0 )设f (x ) = x -a sin x -b , x ∈[ 0, a + b ],则f (x )∈C ( [ 0, a + b ] ),而 f (0) = 0 –a sin 0 –b = –b < 0,f (a + b ) = (a + b ) –a sin (a + b ) –b = a ( 1 -sin (a + b ) ) ≥0,.]+,0(上求方程的根的问题问题归结为在 b a 例3证1) 如果f (a + b )＝0, 则ξ= a + b 就是方程的根.2) 如果f (a + b) > 0, 则f (0)⋅f (a + b) < 0,由根的存在定理, 至少存在一个ξ∈( 0, a + b ), 使得f (ξ) = 0.综上所述, 方程在( 0, a + b ] 上至少有一个根,即方程至少有一个不超过a + b 的正根.证明：任何实系数奇次多项式方程必有实根.令 f (x ) =a 0x n + a 1x n-1+…+a n -1x+a 0,不妨设a 0 > 0,)1++1+1(=)(0010n n n xa a x a a x a x f 当x→+∞ 时, f (x ) →+∞,,0>1x ∃使得;0>)(1x f 当x→ -∞时, f (x ) → -∞,,0<2x ∃使得;0<)(2x f ]),,([)(12x x C x f ∈由于由零点定理，存在),(120x x x ∈使得,0=)(0x f 即方程有根.例4证小结2个定理:根的存在性定理; 介值定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;。

二次型中的介值性定理

二次型中的介值性定理
王明军
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2012(032)002
【摘要】介值性定理[1]是闭区间上连续函数的—个重要性质,它在证明不等式、判断方程根等方面具有广泛的应用.本文给出介值性定理应用于二次型中的典型例题,同时在二次型中证明了与介值性定理类似的结论.
【总页数】1页(P19)
【作者】王明军
【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院,陕西渭南714000
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于积分第二中值定理介值点的讨论
2.关于二次型的介值性
3.介值性定理的应用
4.积分第一中值定理中间点渐进性定理及等价性定理的证明
5.利用压缩映像原理证明连续函数的介值性定理
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f
a2x??1
a3x??3a1x??1
???
a1x??1
?
a2x??2
?
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，
a2x??2
和
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有界。
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,
同理当x????时，所以
和有界。
f
?x????,
于是存在充分靠近?1的x1??1和充分靠近?2的x2??2，使得f?x1??0,f?x2??0，
由介值定理可以推出f?x?=0，在?x1,x2?有一个根，从而在??1,?2?有一个根。同理可以证明??2,?3?有一个根。例6 证明：方程围。
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介值定理的证明
篇一：用介值定理证明原函数的存在性
用介值定理直接证明[?f(t)dt]'?f(x) a?
证明F(x??x)?F(x)??x??x
xf(t)dt,因为f(t)在[a,b]上连续，从而m?f(x)?M，
F(x??x)?F(x)F(x??x)?F(x)?M，从而存在x???x??x，使得=f(?)（介?x?x
F(x??x)?F(x)值定理）。lim=f(x) 所以F’(x)=f(x) ?x?0?xm?
篇二：介值定理的一些应用
介值定理的一些应用
摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。最后举例说明介值定理在生活中的应用。关键词：介值定理方程不等式应用
介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数f(x)在闭区
间?a,b?上连续。并且函数f?a?与函数f?b?不相等。如果?是介于f?a?和f?b?之间的任何实数f?a?
x???
limf?x????可得任给M?0，存在N'?0，当X?N'时，f?x??M?' Nhomakorabea0，
'
?上连续，并且f?N'?1??0,f?N'?1??0。又f?x?在?N?1,N?1??
根据根的存在定理即存在一点x0??N'?1,N?1?，使得
f?x0??0,
所以f?x?至少有一个实根。 1.2介值定理推断方程根个数
?f?b?，则至少存在一点x0??a,b?使得f
???f?b?
或f?a?
??
?x.0???.
推论：根的存在定理如果函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，并且f?a?和
f?b?满足f?a?f?b??0，那么至少存在一点x0，使得f?x.0??0.
即是方程f?x?=0在?a,b?内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用
f
?x?=a0xn?a1xn?1???an?1x?an,
则
?anan?
limf?x??lixm?a0????????x???x???xxn??
n
x???
limf
?x??
?aa?n
lixm?a0?n???n????x???xxn??
x???
limf
?x????可得任给M?0，存在N?0，当X?N时，f?x??M?0，
如果f?0??f?a?=0，那么x=0就是方程f?x?=f?x?a?的一个根；如果f?0??f?a??0，那么F?0?F?a??0。根据根的存在定理可以得到，在
?a,b?内至少存在一点c，使得
c?a?0,F?c??f??c??f?
所以方程f?x?=f?x?a?在?0,a?至少存在一个根。
例2 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。证明：设
在这3个区间??3,?2?，??2,0?，?0,4?个有一个零点，但是f?x?是3次多项式，最多有3个零点。所以方程x3??x?1=0，恰好有3个实根。
1.3介值定理推断方程根的范围
根据介值定理我们已经能够判断出方程根的存在性和根的个数，而且还可以根据这一定理推断出方程根的范围。
例5 a1,a2,a3为正数，?1??2??3，证明：f?x??在??1,?2?和??1,?2?各有一个根。证明：当x????时，所以
利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。 1.1介值定理证明方程根存在性
证明类似方程f?x?=g?x?在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数F?x?=f?x??g?x?的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。
22????
又函数f?x?是单调递增的，所以只有一个根。例4 证明：方程x3??x?1=0，恰好有3个实根。证明：设
f
?x?=x3?9x?1,
计算可以得到
f??3???1?0，f??2??9?0，f?0???1?0，f?4??27?0，
??2,0?，?0,4?分别对连续函数f?x?用根的存在定理，在区间??3,?2?，推断出f?x?
x???
根据介值定理，?c??a,b?，使得f?c??0，即c3?pc?q?0。在由p?0，对
?x2?x1，有
33
f?x2??f?x1??x2?x1?p?x2?x1?
=?x2?x1??x22?x1x2?x12??p?x2?x1?
222
??x12?x2?x1?x2?
?p??0,?x1x2????x2?x1???,
利用介值定理我们已经解决了方程根是否存在的问题，我们不但能判断存在性的问题，我们还可以利用这个定理来推断出方程根的个数的问题。例3 证明：方程x3?px?q?0,p?0，有且只有一个根。证明：设
f
?x?=x3?
px?q?0,
则
x???
lim???，所以?b?0.使得f?b??0.lim???，所以?a?0.使得f?a??0.
例1 证明：函数f?x?在区间?0,2a?上连续并且函数f?0?=f?2a?。那么方
程f?x?=f?x?a?在?0,a?内至少有一个根。证明：设
F?x?=f
?x??f?x?a?,
函数F?x?在区间?0,a?上面连续，并且
F?0?=f?0??f?a?,
F?a??f?a??f?2a?=f?a??f?0?,