第七讲状态估计-卡尔曼滤波

ˆ X = ∑ hi zi
i =1
m
当h1=h2=…=hm=1/m时， 时
1 m ˆ X = ∑ zi m i =1
ˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量 该式表明， 个采样值的平均值作为被估参量x的 该式表明，估计 X 是用 个采样值的平均值作为被估参量 的
近似值的，故称其为采样平均估值器。 近似值的，故称其为采样平均估值器。
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二、线性均方估计
1、最优非递归估计（标量维纳滤波） 最优非递归估计（标量维纳滤波） 2、递归估计
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1. 最优非递归估计 最优非递归估计 非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ X = ∑ hi zi
i =1
m
ˆ − x ) 2 ] = E[( ∑ hi zi − x ) 2 ] Pε = E[( X
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递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器， 递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉 冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。 冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪 声的基本假设与非递归情况相同。 声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下： 输入输出信号关系如下：
hi (k ) = hi (k + 1) =
所以有
Pε (k )
σ
2 n
= bk = bk +1
Pε (k + 1)
σ
2 n
bk +1 k +b 1 = = bk k + b + 1 1 + 1 /(k + b)
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bk bk +1 = 1 + bk
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于是, 于是
ˆ X k +1 = bk +1 ∑ zi
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根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一 根据数字信号处理我们知道， 种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的， 种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的， 在许多领域有着广泛的应用。 在许多领域有着广泛的应用。 假定用z 表示观测值， 假定用 k表示观测值，
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第七讲 状态估计—卡尔曼滤波 状态估计 卡尔曼滤波
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状态估计的主要内容
应用： 应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态 向量。 向量。 1、确定运动目标的当前位置与速度； 确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。 确定运动目标的固有特征或特征参数。
卡尔曼滤波器的应用特点
对机动目标跟踪中具有良好的性能； 对机动目标跟踪中具有良好的性能； 为最佳估计并能够进行递推计算； 为最佳估计并能够进行递推计算； 只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。 值就能进行状态估计。
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卡尔曼滤波器的局限性
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。 题时，动态方程和测量方程均为线性。
1 2 σn m+b
其中，b=σ2n/σ2x， 在b<<m时，这种估计近似于采样平均。在噪 其中 ， 时 这种估计近似于采样平均。 声方差σ 较大时，其性能明显优于非最佳情况。 声方差 2n较大时，其性能明显优于非最佳情况。这种最小均方 误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。 误差准则下的线性滤波，通常称作标量维纳滤波。 hj与非最优情况的不同，这里的滤波器的加权系数为 与非最优情况的不同，
i =1
k +1
分成二项： 分成二项：
ˆ X k +1 = bk +1 ∑ zi + bk +1 zk +1
i =1
k +1
将第一项同时乘、除一个 将第一项同时乘、除一个bk，则
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bk +1 k +1 bk +1 ˆ ˆ k +1 = X ∑ bk zi + bk +1zk +1 = b X k + bk +1zk +1 bk i =1 k
ˆ X k = (1 − a ) yk
则
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ˆ X k = (1 − a k ) x + (1 − a )∑ a k −i ni
i =1
k
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此时信号x和估值之间只差一个噪声项。 值较大时， 此时信号 和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时， 和估值之间只差一个噪声项 值较大时 估值的均方误差
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估计的均方误差以P 表示， 估计的均方误差以 ε表示，有
1 2 2 ˆ Pε = E (ε ) = E ( X − x ) = E 2 m
[
]
1 ∑∑ n j ni = m2 j =1 i =1
m m
2 σ n δ ji ∑∑ j i
yk = ayk −1 + zk zk = x + nk
式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于 的滤波器加权系数， 式中， 与非递归情况相同； 是一个小于1的滤波器加权系数， 是一个小于 的滤波器加权系数 如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。 如果它大于或等于 ， 该滤波器就不稳定了。
如果E(x)=0，可从零开始递推运算，即 ，可从零开始递推运算， 如果
ˆ X0 = 0
σ 1 b0 = = σ b
2 x 2 n
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三、标量卡尔曼滤波器－时变信号 标量卡尔曼滤波器－
主要作用： 主要作用： 对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。 对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。
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k时刻的输出： 时刻的输出： 时刻的输出
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
中的信号和噪声分开，并代入， 将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 − ak yk = x + ∑ a k −i ni 1− a i =1 由于│a│＜1， 故随着 值的增加 ， yk 趋近于 ＜ ， 故随着k值的增加 值的增加， 趋近于x/(1-a)。 这样 ， 如 由于 。 这样， 果以(1-a)yk作为 的估计值， 作为x的估计值 的估计值， 果以
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状态估计主要内容：位置与速度估计。 状态估计主要内容：位置与速度估计。 位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。 速度估计：速度、加速度估计。
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状态估计的主要方法
^
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最优递归估计器
递推公式
X k +1 = X k + bk +1 ( z k +1 − X k )
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^
^
^
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ˆ 递推开始时的初始条件 X 0 应满足 ：
ˆ ∂E [( x − X 0 )2 ] =0 ˆ0 ∂X ˆ 为最佳值。 解之，得 X = E ( x ) ，这时的 P = σ 2 ˆ0 为最佳值。 解之， 以使 X 0 ε x
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1、模型 、模型
1） 信号模型 ） 信号模型 设要估计的随机信号为由均值为0，方差为σ 设要估计的随机信号为由均值为 ，方差为 2w的白噪声激 励的一个一阶递归过程，即信号对时间变化满足动态方程： 励的一个一阶递归过程，即信号对时间变化满足动态方程： x(k)=ax(k-1)+w(k-1) 式中， 系统参数； 式中，a——系统参数； 系统参数 w(k-1)——白噪声采样。 白噪声采样。 白噪声采样 如果令x(0)=0，E［w(k)］=0， 则 ， ［ 如果令 ］ ，
^
ˆ ) = E 1 ∑ ( x + ni ) = E ( x ) = x0 E( X m i =1
m
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2、递归估值器
一阶递归估值器： 一阶递归估值器：
yk zk ＋ ∑ z－1 1－a
ˆ Xk
＋
a
a为滤波器的加权系数，a<1。 为滤波器的加权系数，a<1。
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卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用: 卡尔曼滤波器的应用: 通信、雷达、导航、自动控制等领域； 通信、雷达、导航、自动控制等领域； 航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、 动控制等。 动控制等。
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一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
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1、非递归估值器
采样平均估值器： 采样平均估值器：
z1 h1 z－1 z2 h2 z－1 z3 h3 ∑
ˆ X
…
z－1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中 估计信号x。
zk=x+nk
式中： x —恒定信号或称被估参量 式中： 恒定信号或称被估参量 恒定信号或称被估参量 nk —观测噪声采样 观测噪声采样 假定， 假定，E(x)=x0，D(x)=σ2x，E(nk)=0，E(n2k)=σ2n。 ，
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h1, h2, …, hm是滤波器的脉冲响应hj的采样，或称滤波器的 是滤波器的脉冲响应 的采样， 加权系数。 加权系数。滤波器的输出
i =1
m
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个参数逐一求导， 对 m个参数逐一求导 ， 令等于零 ， 在均值为零的白噪声的 个参数逐一求导 令等于零， 情况下，可得到最小均方误差和估计： 情况下，可得到最小均方误差和估计：
ˆ Pε = E[( X − x ) 2 ] =
1 m ˆ X= ∑ zi m + b i =1
ˆ − x )2 ] ≈ 1 − a σ 2 Pε = E[( X k n 1+ a
2 2 k 2 n
而一次取样的均方误差
Pε 1 = E[( x + nk − x ) ] = E (n ) = σ
故上一结果的均方误差约为一次采样的（ ） （ 故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。 ）
ˆ X k +1 = ∑ hi zi = ∑ hi ( k + 1) zi
相应的估计误差
i =1 i =1
k +1
k +1
1 2 σn Pε ( k ) = k +b
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1 2 Pε ( k + 1) = σn ( k + 1) + b
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），有 由b=σ2n/σ2x及hi(k)=1/（k+b），有 （ ），
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最后有
或
1 ˆ bk ˆ X k +1 = Xk + zk +1 1 + bk 1 + bk
ˆ ˆ ˆ X k +1 = X k + bk +1 ( Z k +1 − X k )
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最优递归估计器
递推公式
bk 1 ^ X k +1 = Xk+ z k +1 1 + bk 1 + bk
1、α-β滤波 2、α-β-γ滤波 3、卡尔曼滤波 这些方法针对匀速或匀加速目标提出，如目标 这些方法针对匀速或匀加速目标提出， 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。 采用的目标模型不一致 真实运动与采用的目标模型不一致，滤波器发散。
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算法的改进及适应性
状态估计难点： 状态估计难点：机动目标的跟踪 1、自适应α-β滤波和自适应Kalman滤波均改善 自适应α 滤波和自适应Kalman滤波均改善 Kalman 对机动目标的跟踪能力。 对机动目标的跟踪能力。 2、扩展Kalman滤波针对卡尔曼滤波在笛卡儿坐 扩展Kalman滤波针对卡尔曼滤波在笛卡儿坐 Kalman 标系中才能使用的局限而提出。 标系中才能使用的局限而提出。
当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有 时 ， 时 ，
∑∑δ
最后得： 最后得：
ij
=m
2 n
Pε =
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σ
m
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结论
是用m ①估计值 是用m个采样值的平均值作为被 X 的近似值； 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少； 估值器的均方误差随着m的增加而减少； ③该估值器是一个无偏估值器。 该估值器是一个无偏估值器。
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1 h1 = h2 = L = hm = m+b
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2、由最优非递推估计导出递归估计 、由最优非递推估计导出递归估计
由前可知， 由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ X k = ∑ hi zi = ∑ hi ( k ) zi
i =1 i =1
k
k
条件与前面相同。 次取样， 条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量 次取样