广东省新高考高中数学必修一第二章《2.1指数函数》全套教案

广东省新高考高中数学必修一第二章《2.1指数函数》全套教案§2.1.1指数与指数幂的运算一、教材分析我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.二、教学目标1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.三、重难点四、课时安排2课时五、教学过程作业1. 2x =-，则x 的取值范围是（ ）A.0x >B.0x <C.0x ≥D.0x ≤2．计算20032004⋅的值是（ ）A.13．化简：()⎪⎭⎫⎝⎛<+-2391246322b a bab a 的结果是（ ）A.23a b -B.32b a -C. (23)a b ±-D.32ba - 4下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 有意义； ④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义． 其中正确的是( ) A ．①③④ B ．②③④ C ．②③ D ．③④5．求值（1）3= ；（2= ；（3= ．6．当810x <<时，= ______．7．化简：02)+-= ．89化简：1212--+-+x x x x ） (12)x <<．10．化简：211 12．【补充练习】１．下列运算中，正确的是（ ）A.5552a a a ⋅=B.56a a a +=C.5525a a a ⋅= D.5315()a a -=-２．下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ ）A.12()(0)x x =->13(0)y y =<C.340)xx -=>D.130)x x -=≠ 3．式子a化简正确的是（ ）A.111144a b B.111142a b C.114a D.114b 4． 3216842111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++的值等于（ ） A.64112- B.63122- C.651122- D.32314(1)2-5．化简：（1）131121373222[()()()]ab ab b ---⋅⋅⋅= ．（2） 21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅= ．（3)20a >= ．6．若103,104xy==，则10x y-= ． 7.计算：π0＋2－2×21412⎪⎭⎫⎝⎛＝________. 8.已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b ＝________. 9．求值： 341681⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12100-， 314-⎛⎫⎪⎝⎭10．已知0,0a b >>，化简：11112244()()a b a b -÷-11．化简求值： (1)()31064.0-－(－18)0＋4316＋2125.0；(2)a －1＋b －1(ab )－1(a ，b ≠0)．12．(能力提升)化简1111124242(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+．13．(能力提升)已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2；(2)2121--aa .【提升练习】1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a ∙等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4 (4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a-b)52- B.-2(a-b)25- C.-2(a 52--b 52-) D.-2(a 25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a 2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________. 3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-.§2.1.2指数函数及其性质一、教材分析有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.二、教学目标1．知识与技能①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.三、重难点四、课时安排2课时五、教学过程利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；例题讲解1.函数y=a |x|（a ＞1）的图象是（ ）图2-1-2-8分析：当x≥0时,y=a |x|=a x 的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数. 答案：B2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（ ）A.y=(31)2-x B.y=x 4-1 C.y=1-0.5x D.y=22x +1 分析：因为（2－x ）∈R ,所以y=（31）2－x ∈（0,+∞）;y=x4-1∈［0,1］;y=1-0.5x ∈［0,+∞);y=22x +1∈［2,+∞).答案：A3.已知函数f （x ）的定义域是（0,1）,那么f （2x ）的定义域是（ ） A.（0,1） B.（21,1） C.（－∞,0） D.（0,+∞） 分析：由题意得0＜2x ＜1,即0＜2x ＜20,所以x ＜0,即x ∈（－∞,0）. 答案：C4.若集合A={y|y=2x ,x ∈R },B={y|y=x 2,x ∈R },则（ ）A.A BB.A BC.A=BD.A∩B=∅ 分析：A={y|y ＞0},B={y|y≥0},所以A B. 答案：A5.对于函数f(x)定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2),有如下的结论: ①f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2);②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2); ③2121)()(x x x f x f -->0;④)2(21x x f +<2121)()(x x x f x f -+.当f(x)=10x 时,上述结论中正确的是.分析:因为f(x)=10x ,且x 1≠x 2,所以f(x 1+x 2)=2110x x +=211010x x ∙=f(x 1)·f(x 2),所以①正确;因为f(x 1·x 2)=2110x x ∙≠211010xx +=f(x 1)+f(x 2),②不正确;因为f(x)=10x 是增函数,所以f(x 1)-f(x 2)与x 1-x 2同号,所以2121)()(x x x f x f -->0,所以③正确.因为函数f(x)=10x 图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.图2-1-2-9答案：①③④ 另解：④∵10x 1>0,10x 2>0,x 1≠x 2,∴2101021x x +>211010x x ∙∴2101021x x +>2110xx +,即2101021x x +>22110x x +∴2121)()(x x x f x f -+>)2(21x x f +.作业1．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ） A.0,1a a >≠ B.1a = C.12a = D.1a =或12a =2．函数y = ） A.(2,)-+∞ B.[1,)+∞ C.(,1]-∞- D.(,2)-∞-3．函数f (x )＝3x -3(1<x ≤5)的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,9) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，27 4．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 5． 若221(2)(2)xxa a a a -++>++，则x 的范围为 ．6已知函数()f x 满足：对任意的12x x <，都有12()()f x f x <，且有1212()()()f x x f x f x +=⋅，则满足上述条件的一个函数是 ．7．将三个数10.20.7321.5,1.3,()3-按从小到大的顺序排列是8．（1）函数y =的定义域是 ；值域是 ；（2）函数y =的定义域是 ；值域是 ．9已知指数函数y ＝f (x )的图象过点M (3,8)，则f (4)＝________，f (－4)＝________.10．已知 2223422(),()(0,1)x x x x f x a g x aa a +-+-==>≠，确定x 的范围，使得()()f x g x >．11．实数,a b 满足11111212a b ++=--，则a b += ．12．(能力提升)若函数2121x x a ay ⋅--=-为奇函数，（1）确定a 的值；（2）讨论函数的单调性．【补充练习】１．如图指数函数①xy a =②xy b =③xy c =④xy d =的图象，则（ ） A.01a b c d <<<<< B.01b a d c <<<<< C.1a b c d <<<< D.01a b d c <<<<<2．在同一坐标系中，函数xy a =与函数1y ax =+的图象只能是 （ ）A B C D3．要得到函数122xy -=的图象，只要将函数1()4xy =的图象 （ ）A.向左移1个单位B.向右移1个单位C.向左移0.5个单位D.向右移0.5个单位4．已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是 ( ) A.22a c > B.22a b > C.22ac -< D.222a c +<5函数y ＝2－x的图象是( )．6．若函数(1)(0,1)xy a b a a =-->≠图象不经过第二象限，则,a b 的满足的条件是_____________．7． 将函数21()3xy =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；8．函数21x y a +=-(0,1)a a >≠的图象过定点 ．9．函数22363xx y -+=的单调递减区间是 ．10．已知函数311()()212xf x x =+-，(1)求()f x 的定义域； 11．如果75+->x xa a (a >0，a ≠1)，(2)讨论()f x 的奇偶性； (3)证明：()0f x >． 求x 的取值范围．12已知指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠，根据它的图象判断121[()()]2f x f x +和12()2x x f +的大小（不必证明）．13．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A.511个B.512个C.1023个D.1024个2．某商场进了A B、两套服装，A提价20%后以960元卖出，B降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后（）A.赚不亏B. 赚了80元C.亏了80元D.赚了2000元3.某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（）A. 25%B.20%C.30%D.15%4.已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )．A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a5．某新型电子产品2019年初投产，计划到2021年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本 .7.某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率是 .8．a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是________．9．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a＝________.10.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄。