金融数学公式

公式汇总

复利的累积函数：()()()

()

()

⎰==⎥

⎦⎤

⎢⎣

⎡-=-=⎥

⎦⎤

⎢⎣

⎡+=+=--t

t dt

t

mt

m t

mt

m t

e e m d d m i i t a 0

1111δδ

单利的累积函数：()it t a +=1 各种利息度量工具之间的关系：

（1）()()

n

n n d v i i i

d ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=⋅=+=

111 （2）()1111-=-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=-=δe m i d d i m

m （3）d v -=1

（4）id d i =- （5）()

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=111

m m i m i

（6）()

()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n n n v n d n d

11111 （7）()()n

n m

m n d m i -⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+11

（8）()i +=1ln δ

第一章 利息基本计算

1.1 利息基本函数 1.1.1 累积函数 实利率：)

()

()(112,21t a t a t a i t t -=

1.1.2 单利和复利 单利：it t a +=1)( 复利：()t

i t a +=1)(

1.1.3 贴现函数

贴现函数： 单利 ()()dt it t a -=+=11-1

-1

复利 ()()()t

t

d i t a -=+=11--1

实贴现率：)

()

1()(n a n a n a d n --=

贴现因子：()i

i v -+=1 关系式：

（1）d d i -=

1 i i

i d <+=1 （2）iv d = （3）v d -=1 （4）id d i =-

1.1.4 名利率和名贴现率

名利率：()m

m m i i ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+11

名贴现率：()p

p p i d ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-11

关系式：(1)

()

()

m

i d m m 1

11=-

(2)()()()()2m d i m d m i m m m m ⋅=- 1.1.5 连续利息函数 利息力函数：()()

t a t a t '=

δ

利息力：()()d v i --=-=+=1ln ln 1ln δ

累积函数：()δ

δe ds t a t

s =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎰0exp

贴现力函数：()

[]()

[]

t a t a t 11--'-=δ

贴现函数：()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎰-t s ds t a 01

exp δ 关系式：

（1）()

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=1m m e m i δ (2)()⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-p p e p d δ1 (3)()()δ==∞

→∞

→p p m m d i lim lim (4)()()i i d d m p ≤<<≤δ

1.2 利息基本函数

1.2.1 时间单位的确定 1.2.2 价值方程 1.2.3 等时间法 1.2.4 利率的计算

第二章 年金

2.1 基本年金 2.1.1 期末年金 现值：i

v v v v a n

n

i

n -=+++=12

终值：()()()()i

i i i i s n

n n i

n 1

111112

1

-+=+++++++=--

关系式：(1)()n

i n i n i a s +=1 (2)

i s a i

n i n +=1

1 2.1.

2 期初年金

现值：d

v v v v a

n

n i n -=++++=-111

2

终值：()()()()d

i i i i s n

n n

i n 1

11112

-+=++++++=-

关系式：(1)()n

i n i n i a s +=1

(2)d s

a i n i n += 1

1 (a)()i n i n i n i n a a a i a

111-+=+= ，

(b)()111-=+=+i n i n i n i n s s s i s ，

2.1.3 递延年金

i n m i m i n m a v a a =-+

2.1.4 永久年金

期末年金现值：i a v v a i n n i 1

lim 2==++=∞→∞

期初年金现值：d

a v v a

i n n i 1

lim 12==+++=∞

→∞ 2.1.5 剩余付款期不是标准时间单位的计算

2.2 广义年金

2.2.1 付款周期为利息换算周期整数倍的年金

1、付款总次数为有限的情形(共付款k

n

次)

期末年金

现值：i k i n n

k k s a v v v =+++ 2 终值:()i

k i

n i k i n n s s s a i =

+1 期初年金

现值：i k i n a a 终值： i

k i

n a s

2、付款总次数为无限的情形 期末年金现值：i

k k k is v v 1

2=

++ 期初年金现值：i

k k k ia v v 112=

+++ 2.2.2 利息换算周期为付款周期整数倍的年金

1、付款总次数为有限的情形(共付款mn 次) 期末年金

现值：()

()m n n

m n m m m i

n i v v v v v m a -=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++++=-11121 终值：

()()

()()()

m n

n

m i

n m i n i

i i a s 111-+=+=

期初年金