动力气象-第三章(尺度分析与方程简化)
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m 3 N h P ~ 10 h P 2 ~ 10 P z P ~ 10 N
5
P0 ~ 105 N
2
(1000hPa)
2
m
， 1N 10 gms
3
2
z P 0 ~ 10 m2 P
17
水平尺度：大尺度为106m；中尺度为105m；
小尺度为104m。
L ~ 10 s U
目的：对方程进行简化，突出主要因子，研
究运动的主要特征。
途径：分析各因子（各项）大小， 大——重要； ——次要
简化的方程一方面在数学形式上变得简单 和容易处理，另一方面突出了某种运动型 式的本质特征，其结果便于从物理上进行
解释和在实际工作中应用。
一、尺度分析
特征尺度是指某种特定型式运动的空间范围和时
运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）
运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）
连续方程的尺度分析
热力学方程简化（绝热）
热力学方程简化（绝热）
28
三、大尺度运动的基本性质 零级简化方程（只保留量级最大项，得
1 p x fv 0 到的方程）为： 1 p y fu 0 1 p g 0 z u v 0 y x T T T u u 0 x y t
u v CU U w CW UW ~ ~ ~ , ~ ~ t t L L t L L
2
尺度分析数量级运算规则
大气运动的尺度分类
水平 气压梯度力是一真实力，它应是运动方程
中的主要项。观测表明，在水平特征尺度相差
很大的气旋、反气旋和龙卷、飑线、飓风（台
风）中的水平气压变动尺度可达到同样的量级，
P( z)
dP gdz
z H z
H
PH P ( z ) gdz P ( z ) gdz
z H
推论：垂直气压梯度力＝浮力
连续方程的零级简化形式：
u v 0 x y
——水平无辐散
热力学方程的零级简化形式（绝热） ：
T T T u v 0 t x y
中纬度大尺度运动是准水平、 准地转平衡、准静力平衡、 准水平无辐散、缓慢变化的 涡旋运动。
诊断方程、平衡简化方程组。
一级近似简化方程组（保留量级最大项，
和次一级的项，得到的方程）
u u 1 p u t u x v y x fv 0 准水平，非定常 t u u 1 p u t u x v y y fu 1 p 准静力平衡 g 0 z w u v w 0 密度变化准定常 ( ) 0 z x y z T T T 非平衡方程组。 u ( d ) w 0 u x y t
间区间以及气象要素或者其他特性的一般大小。
各物理场变量的时空变化有一个范围，具有代表
意义的量值——特征值——尺度。 例：水平风速在 5~25m/s之间，特征值 ( U ) 取为 10m/s。u=Uu*，v=Uv*，则U~101m/s，u*和v*为 数值在0.5~2.5之间的无量纲量。
将任一物理量q 写作： q = Q q*
不计摩擦的局地直角坐标系x方向的运动方程为：
u u u u 1 p u v w fv t x y z x
给出特征尺度引入无量纲量，记为： ( x, y ) L( x, y ) (u , v) U (u , v) h p h P h p z Dz 带上标 的为无量纲量，量级为 1 。 t t w Ww f f f 0
u x u ~ x u ~ z w ~ x w ~ z
u U ~ x L u v v U ~ ~ ~ y x y L v U ~ z D w W ~ y L W D
时间尺度：运动系统演变经历一个阶段所
需要的特征时间，用符号τ表示。
τ=L/C，如果τ=L/U，则称为平流时间尺度。
南半球：
0, f 0
在南半球：高压—反气旋—逆时针
2. 垂直方向上：
1 p g 0 p g z z
—静力平衡
不仅适用于大尺度系统，
还适于中小尺度系统。
dP gdz
—Z坐标向P坐标的转换的物理基础
对上式从Z高度积分到大气顶H：
PH
U
*
u u 是 的特征量， * 是其无量纲量。 t t
*
特征尺度的选取和记号
运动的水平尺度 L ：对于波状式的运动取其 1/4 的波长，对于涡旋运动则取其半径；
铅直（垂直）尺度 D ：是指系统的垂直厚度；
时间尺度：系统发生到消亡所经历的时间； 水平速度尺度U：是指水平速度的量级；
垂直速度尺度W：则是指垂直尺度的量级。
其中： Q —特征量，表示该物理量的
一般大小；常量；有量纲。
q* —无量纲量，量级在 100，表示该
物理量的具体大小；变量；没有量纲。
这里的q是广义的，不仅包括气象要素，
还包括方程各项。
比较物理量的大小，可比较特征量的大小。
已知：u Uu , t t
*
*
u U u 则： * t t
101 0 R0 10 101
大尺度 中尺度 小尺度
中纬度大尺度运动：
f 0 ~ 104 s, U ~ 101 m s
L ~ 106 m
U 1 R0 ~ 10 1 f0 L
——准地转
中纬度中小尺度运动：
f 0 ~ 10 s, U ~ 10 m
4 1
s
L ~ 10 m
特征尺度的选取和记号
尺度分析法的基本规定
(1) 速度（水平、垂直）变化尺度与速度尺度相
同： hU ～ zU ～ U， hW ～ zW ～ W (2) 经过时间尺度，物理量F的时间变化尺度 tF与水平变化尺度hF相同： tF ～ hF (3) 气压和密度的水平变化尺度比其本身的尺度 小，但是气压和密度的垂直变化尺度与其本身 的尺度相当： hP＜P ， h ＜； zP～P ， z ～ 。
使得它们的水平气压梯度相差好几个量级。说 明大气运动的特征与水平尺度关系密切，因此 常根据运动的水平特征尺度对大气运动进行分 类。通常分为大、中、小尺度运动。
各类运动的特征尺度—基本物理量
各类运动的特征尺度—辅助物理量
在中纬度大尺度大气运动，各物理 量的特征量为：
U ~ 101 ms 1; W ~ 102 ms 1; L ~ 106 m; H ~ 104 m
5
时间尺度：大尺度为105s；中尺度为104s；
小尺度为103s。
对方程组进行尺度分析
基本方程的简化方法
1.零级简化方程
零级简化：保留方程中数量级最大的各项， 而其他项都略去不计。
2.一级简化方程
一级简化：除保留方程中数量级最大的各项
外，还保留比最大项小一个量的各项。
二、大尺度运动方程组简化
运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）
——大尺度运动中温度的局地变化 主要是由温度平流引起的
大尺度运动的基本性质
大尺度零级近似方程组（无绝热方程）
1 p fv 0 x 1 p y fu 0 1 p g 0 z u v 0 x y
5
U R0 ~ 100 f0 L
——非地转
热带大尺度运动：
f 0 ~ 10 s, U ~ 10 m
5 1
s
L ~ 10 m
U 0 R0 ~ 10 f0 L
6
——非地转
Ri为理查逊数，这是一个与大气层结稳定度和
风速切变有关的动力学参数。
g ln / z g g D2 Ri ~ 2 2 (v / z ) (v / z ) U2
1. 水平方向上：
1
Leabharlann Baidu
h p fk V 0
水平气压梯度力＋水平科氏力＝0
—地转平衡
地转平衡运动的特征：
动力学特征：水平压力梯度力与科氏力相
平衡
运动学特征：风沿等压线吹；背风而立， 高压在右，低压在左（南半球相反）。
地转风的表达式： 1 1 Vg k h P Vg k h f f
为什么要简化基本方程组？
原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂
物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出
数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难
因此，需要简化：
物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用；
数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程
简单，容易求解
最终结果：使简化的方程反映的物理规律更加清晰，
V u U 2 / L U R0 ~ 为罗斯贝参数，表示为水平 fv f 0U f0 L
惯性力与科氏力的尺度之比
当R0<<1水平惯性力相对于科氏力可以略去； 反之当 R0>>1 ，科氏力相对于水平惯性力可以略去。 由于各类运动中的图中水平速度变化不大，因此， R0的大小主要依赖于各种运动的水平尺度。 大尺度运动中， R0<<1，科氏力是不能忽略的； 小尺度运动中， R0<<1，科氏力可以被忽略不计。
热力学方程由位温( )来表示为： ln ln ln ln u v w 0 t x y z ln 1 ( d ) 令 z T 众所周知，层结越不稳定、风速越强，则有利于对
流的发展；反之不利于对流的发展。所以，Ri当用来 表示大气中对流（扰动）导致的条件。
四、无量纲方程与无量纲参数
进行尺度分析的步骤： 1）把方程各项写作 “特征量×无量纲量”的形式。
2）化为“无量纲方程” ： 用方程中某一项的特征量同除方程 的每一项（量纲齐次性原理） ——无量纲方程 ——各项前面的系数－无量纲（数） ——体现各项的相对重要性。
利用特征尺度将基本方程组进行无量纲化。
e 1 f 0
因此，又可以理解为惯性运动的时间尺度与 所研究的运动时间尺度之比，其大小反映运动 变化过程的快慢程度。 即的量级表示运动地转平衡近似程度。
u t ~ = 1 fv f 0U f 0 U
因此，当 <<1 时， u/t 相对于fv 可以略去。
讨论各参数的物理意义？
第三章 尺度分析与基本方程组的简化
一．尺度分析
二．大尺度运动方程组简化 ★
三．大尺度运动的基本性质 ★ 四．无量纲方程及动力学参数
引 言
大气运动方程组是非常复杂的，它是具有6个
变量的非线性偏微分方程组，因此在研究具体的大
气运动过程时，需要对方程进行简化。
所谓简化就是在运用运动方程之前，针对所研
究的运动形势的特点，正确区分影响运动过程的主 要因素和次要因素，然后略去方程中次要项，而保 留其中主要项。
求解起来更加方便。
名词解释：
1、（准）地转近似；2、天气尺度；3、行星尺度；4、
大尺度：5、尺度分析；6、（准）静力平衡；7、诊断
方程；8、预报方程；9、罗斯贝数；10、基别尔数
思考题：
1、大尺度运动有哪些主要特点？
2、热带的风不是准地转的。
3、大气分类的原则？
讨论各参数的物理意义？
1 为基别尔参数：定义为局地 f 0
惯性力与科氏力的尺度之比：
u t ~ = 1 fv f 0U f 0 U
f0 是大气中惯性运动的特征频率，所以，f0-1可以理解
为惯性运动的特征时间尺度（e），也是地转适应过程
的特征时间尺度。
讨论各参数的物理意义？
5
P0 ~ 105 N
2
(1000hPa)
2
m
， 1N 10 gms
3
2
z P 0 ~ 10 m2 P
17
水平尺度：大尺度为106m；中尺度为105m；
小尺度为104m。
L ~ 10 s U
目的：对方程进行简化，突出主要因子，研
究运动的主要特征。
途径：分析各因子（各项）大小， 大——重要； ——次要
简化的方程一方面在数学形式上变得简单 和容易处理，另一方面突出了某种运动型 式的本质特征，其结果便于从物理上进行
解释和在实际工作中应用。
一、尺度分析
特征尺度是指某种特定型式运动的空间范围和时
运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）
运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）
连续方程的尺度分析
热力学方程简化（绝热）
热力学方程简化（绝热）
28
三、大尺度运动的基本性质 零级简化方程（只保留量级最大项，得
1 p x fv 0 到的方程）为： 1 p y fu 0 1 p g 0 z u v 0 y x T T T u u 0 x y t
u v CU U w CW UW ~ ~ ~ , ~ ~ t t L L t L L
2
尺度分析数量级运算规则
大气运动的尺度分类
水平 气压梯度力是一真实力，它应是运动方程
中的主要项。观测表明，在水平特征尺度相差
很大的气旋、反气旋和龙卷、飑线、飓风（台
风）中的水平气压变动尺度可达到同样的量级，
P( z)
dP gdz
z H z
H
PH P ( z ) gdz P ( z ) gdz
z H
推论：垂直气压梯度力＝浮力
连续方程的零级简化形式：
u v 0 x y
——水平无辐散
热力学方程的零级简化形式（绝热） ：
T T T u v 0 t x y
中纬度大尺度运动是准水平、 准地转平衡、准静力平衡、 准水平无辐散、缓慢变化的 涡旋运动。
诊断方程、平衡简化方程组。
一级近似简化方程组（保留量级最大项，
和次一级的项，得到的方程）
u u 1 p u t u x v y x fv 0 准水平，非定常 t u u 1 p u t u x v y y fu 1 p 准静力平衡 g 0 z w u v w 0 密度变化准定常 ( ) 0 z x y z T T T 非平衡方程组。 u ( d ) w 0 u x y t
间区间以及气象要素或者其他特性的一般大小。
各物理场变量的时空变化有一个范围，具有代表
意义的量值——特征值——尺度。 例：水平风速在 5~25m/s之间，特征值 ( U ) 取为 10m/s。u=Uu*，v=Uv*，则U~101m/s，u*和v*为 数值在0.5~2.5之间的无量纲量。
将任一物理量q 写作： q = Q q*
不计摩擦的局地直角坐标系x方向的运动方程为：
u u u u 1 p u v w fv t x y z x
给出特征尺度引入无量纲量，记为： ( x, y ) L( x, y ) (u , v) U (u , v) h p h P h p z Dz 带上标 的为无量纲量，量级为 1 。 t t w Ww f f f 0
u x u ~ x u ~ z w ~ x w ~ z
u U ~ x L u v v U ~ ~ ~ y x y L v U ~ z D w W ~ y L W D
时间尺度：运动系统演变经历一个阶段所
需要的特征时间，用符号τ表示。
τ=L/C，如果τ=L/U，则称为平流时间尺度。
南半球：
0, f 0
在南半球：高压—反气旋—逆时针
2. 垂直方向上：
1 p g 0 p g z z
—静力平衡
不仅适用于大尺度系统，
还适于中小尺度系统。
dP gdz
—Z坐标向P坐标的转换的物理基础
对上式从Z高度积分到大气顶H：
PH
U
*
u u 是 的特征量， * 是其无量纲量。 t t
*
特征尺度的选取和记号
运动的水平尺度 L ：对于波状式的运动取其 1/4 的波长，对于涡旋运动则取其半径；
铅直（垂直）尺度 D ：是指系统的垂直厚度；
时间尺度：系统发生到消亡所经历的时间； 水平速度尺度U：是指水平速度的量级；
垂直速度尺度W：则是指垂直尺度的量级。
其中： Q —特征量，表示该物理量的
一般大小；常量；有量纲。
q* —无量纲量，量级在 100，表示该
物理量的具体大小；变量；没有量纲。
这里的q是广义的，不仅包括气象要素，
还包括方程各项。
比较物理量的大小，可比较特征量的大小。
已知：u Uu , t t
*
*
u U u 则： * t t
101 0 R0 10 101
大尺度 中尺度 小尺度
中纬度大尺度运动：
f 0 ~ 104 s, U ~ 101 m s
L ~ 106 m
U 1 R0 ~ 10 1 f0 L
——准地转
中纬度中小尺度运动：
f 0 ~ 10 s, U ~ 10 m
4 1
s
L ~ 10 m
特征尺度的选取和记号
尺度分析法的基本规定
(1) 速度（水平、垂直）变化尺度与速度尺度相
同： hU ～ zU ～ U， hW ～ zW ～ W (2) 经过时间尺度，物理量F的时间变化尺度 tF与水平变化尺度hF相同： tF ～ hF (3) 气压和密度的水平变化尺度比其本身的尺度 小，但是气压和密度的垂直变化尺度与其本身 的尺度相当： hP＜P ， h ＜； zP～P ， z ～ 。
使得它们的水平气压梯度相差好几个量级。说 明大气运动的特征与水平尺度关系密切，因此 常根据运动的水平特征尺度对大气运动进行分 类。通常分为大、中、小尺度运动。
各类运动的特征尺度—基本物理量
各类运动的特征尺度—辅助物理量
在中纬度大尺度大气运动，各物理 量的特征量为：
U ~ 101 ms 1; W ~ 102 ms 1; L ~ 106 m; H ~ 104 m
5
时间尺度：大尺度为105s；中尺度为104s；
小尺度为103s。
对方程组进行尺度分析
基本方程的简化方法
1.零级简化方程
零级简化：保留方程中数量级最大的各项， 而其他项都略去不计。
2.一级简化方程
一级简化：除保留方程中数量级最大的各项
外，还保留比最大项小一个量的各项。
二、大尺度运动方程组简化
运动方程的尺度分析（不考虑摩擦力）
——大尺度运动中温度的局地变化 主要是由温度平流引起的
大尺度运动的基本性质
大尺度零级近似方程组（无绝热方程）
1 p fv 0 x 1 p y fu 0 1 p g 0 z u v 0 x y
5
U R0 ~ 100 f0 L
——非地转
热带大尺度运动：
f 0 ~ 10 s, U ~ 10 m
5 1
s
L ~ 10 m
U 0 R0 ~ 10 f0 L
6
——非地转
Ri为理查逊数，这是一个与大气层结稳定度和
风速切变有关的动力学参数。
g ln / z g g D2 Ri ~ 2 2 (v / z ) (v / z ) U2
1. 水平方向上：
1
Leabharlann Baidu
h p fk V 0
水平气压梯度力＋水平科氏力＝0
—地转平衡
地转平衡运动的特征：
动力学特征：水平压力梯度力与科氏力相
平衡
运动学特征：风沿等压线吹；背风而立， 高压在右，低压在左（南半球相反）。
地转风的表达式： 1 1 Vg k h P Vg k h f f
为什么要简化基本方程组？
原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂
物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出
数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难
因此，需要简化：
物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用；
数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程
简单，容易求解
最终结果：使简化的方程反映的物理规律更加清晰，
V u U 2 / L U R0 ~ 为罗斯贝参数，表示为水平 fv f 0U f0 L
惯性力与科氏力的尺度之比
当R0<<1水平惯性力相对于科氏力可以略去； 反之当 R0>>1 ，科氏力相对于水平惯性力可以略去。 由于各类运动中的图中水平速度变化不大，因此， R0的大小主要依赖于各种运动的水平尺度。 大尺度运动中， R0<<1，科氏力是不能忽略的； 小尺度运动中， R0<<1，科氏力可以被忽略不计。
热力学方程由位温( )来表示为： ln ln ln ln u v w 0 t x y z ln 1 ( d ) 令 z T 众所周知，层结越不稳定、风速越强，则有利于对
流的发展；反之不利于对流的发展。所以，Ri当用来 表示大气中对流（扰动）导致的条件。
四、无量纲方程与无量纲参数
进行尺度分析的步骤： 1）把方程各项写作 “特征量×无量纲量”的形式。
2）化为“无量纲方程” ： 用方程中某一项的特征量同除方程 的每一项（量纲齐次性原理） ——无量纲方程 ——各项前面的系数－无量纲（数） ——体现各项的相对重要性。
利用特征尺度将基本方程组进行无量纲化。
e 1 f 0
因此，又可以理解为惯性运动的时间尺度与 所研究的运动时间尺度之比，其大小反映运动 变化过程的快慢程度。 即的量级表示运动地转平衡近似程度。
u t ~ = 1 fv f 0U f 0 U
因此，当 <<1 时， u/t 相对于fv 可以略去。
讨论各参数的物理意义？
第三章 尺度分析与基本方程组的简化
一．尺度分析
二．大尺度运动方程组简化 ★
三．大尺度运动的基本性质 ★ 四．无量纲方程及动力学参数
引 言
大气运动方程组是非常复杂的，它是具有6个
变量的非线性偏微分方程组，因此在研究具体的大
气运动过程时，需要对方程进行简化。
所谓简化就是在运用运动方程之前，针对所研
究的运动形势的特点，正确区分影响运动过程的主 要因素和次要因素，然后略去方程中次要项，而保 留其中主要项。
求解起来更加方便。
名词解释：
1、（准）地转近似；2、天气尺度；3、行星尺度；4、
大尺度：5、尺度分析；6、（准）静力平衡；7、诊断
方程；8、预报方程；9、罗斯贝数；10、基别尔数
思考题：
1、大尺度运动有哪些主要特点？
2、热带的风不是准地转的。
3、大气分类的原则？
讨论各参数的物理意义？
1 为基别尔参数：定义为局地 f 0
惯性力与科氏力的尺度之比：
u t ~ = 1 fv f 0U f 0 U
f0 是大气中惯性运动的特征频率，所以，f0-1可以理解
为惯性运动的特征时间尺度（e），也是地转适应过程
的特征时间尺度。
讨论各参数的物理意义？