定比分点公式的向量形式及应用

定比分点公式的向量形式及应用
马洪炎　吴文尧
(宁波市北仑中学,浙江　315800)
众所周知,向量法是解决平面几何问题
的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1　定理及其推论
定理　(定比分点公式的向量形式)设点P 分P 1P 2的比为λ(即P 1P =λPP 2,λ≠-1),Q 为平面上的任意一点,则
QP =11+λQP 1+λ
1+λQP 2.
证明　∵P 1P =λP P 2,
∴QP -QP 1=λ(QP 2-QP ),
即(1+λ)QP =QP 1+λQP 2,
即QP =11+λQP 1+λ
1+λQP 2.推论1　设点P 为■O AB 的边AB 上的点,且AP =m ,P B =n ,则
OP =n m +n OA +m
m +n
OB .
推论2　设点P 为■O AB 的边AB 的
中点,则OP =1
2
(OA +OB ).推论3　■OAB 中,点P 在直线AB 上的充要条件是:存在实数t ,使OP =t OA +(1-t )OB 成立.推论4　(定比分点公式)在直角坐标平面中,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P (x ,y ),且点P 分P 1P 2的比为λ(其中λ≠-1),则x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 2
1+λ.2　应用举例2.1证明比例线段关系
例1　如图1,在■ABC 中,D ,E 是BC 边的三等分点,D 在B 和E 之间,F 是AC
的中点,G 是AB 的中点,设H 是线段D F
与EG 的交点,求比值E H ∶HG .
分析　要求比值E H ∶HG 的大小,只须得到向量E H 与向量EG 之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底使向量E H 、向量EG 都可用这组基底的线性组合表示,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.
图1　例1图
解　设CB =a ,CA =b ,连结CG ,EF ,由于BE =2EC ,由推论1可知:
GE =23GC +13GB
=23GC +13(CB -CG )=1
3CB -CG =13CB -1
2(CB +CA )=-16a -12b ,
即EG =16a +1
2
b ;
∵D ,H ,F 三点共线,∴E H =t ED +(1-t )EF
=t ED +(1-t )(CF -CE )=t 3a +(1-t )(12b -13a )=2t -13a +1-t 2
b .
∵EG 与E H 是共线向量,∴16·1-t 2-12·2t -13=0,即t =3
5,
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数学通讯 2007年第24期
故E H =25(16a +12b )=25
E G ,
∴E H ∶H G =2∶3.评注　①由于本题的相关点均“生长”在■ABC 的三边上,所以选择以向量CB =a ,CA =b 作为基底比较合理.
②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.
例2　(第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCD EF 的两条对角线,点M ,N 分别内分AC ,CE ,使得AM ∶AC =CN ∶CE =r ,如果B ,M ,N 三点共线,求r 的值.
分析　①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“B ,M ,N 三点共线”翻译成关于r 的一个方程.
②由于B ,M ,N 三点所在直线过顶点B ,因此选择向量B A 、
BC 作为基底比较合理,再把向量B M ,B N 用基底表示之,则不难得到关于r 的方程.
图2　例2图
解　∵AM ∶AC =CN ∶CE =r ,∴AM ∶MC =CN ∶N E =r ∶(1-r ).由推论1可知BM =r BC +(1-r )B A ,B N =r BE +(1-r )BC .∵ABCDEF 是正六边形,∴B E =2(B A +BC ),∴B N =2r (B A +B C )+(1-r )BC
=(1+r )B C +2r B A .∵B ,M ,N 共线,∴r ·2r -(1-r )(1+r )=0,解得r =
3
3
.评注　由于本题的“情景”与推论1的使
用条件非常吻合,因此上述解法通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度.2.2　证明三角形的面积关系
例3　如图3所示,已知■AB C 的面积为14cm 2,D ,E 分别是边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =B E ∶EC =2∶1,求■P AC 的面积.
分析　由于已知■AB C 的面积,因此要计算■P AC 的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到■ABC 与■P AC 是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量B A =a ,BC =c 为基底,再把向量BQ ,B P 用基底表示之,则就大功告成了.
图3　例3图
解　连结BP 并延长交AC 于Q ,设B A
=a ,BC =c .
∵C ,P ,D 三点共线,∴B P =t BD +(1-t )BC ,
又∵BD =13B A =1
3
a ,
∴B P =t 3
a +(1-t )c .
∵A ,P ,E 三点共线,∴B P =λ
B A +(1-λ)B E ,即B P =λa +2(1-λ)3
c .由平面向量基本定理可知t
3=λ且1-t =2(1-λ)3,解得λ=17,∴B P =17a +47
c .
设BQ =μBP =μ7a +4μ
7
c ,因为A ,Q ,C
三点共线,所以μ7+4μ7=1,即μ=75,
∴B P =57BQ ,PQ =2
7BQ ,
S ■PAC =27
S ■BAC =4cm 2
.
评注　在用向量方法解决平面几何问题时,除注意基底的合理选择外,还需注意方程
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思想的应用,虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导,则思路还是比较自然.
2.3证明三点共线问题
例4　(2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)设O,P是平面上的两个不同的点,四边形AB CD是平行四边形,两条对角线相交于点O,点P不在直线AB关于直线CD 对称的图形上,M,N分别是线段P A,PB的中点,Q是直线MC与直线ND的交点.证明:P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD的选择无关.
分析　要证明P,Q,O三点共线,只须证明PO=λPQ,注意到O是AC的中点,即
有PO=1
2
(P A+P C)成立,故
可选择向量
P A,PC为基底,再设法把向量PQ也用基底表示之即可.
图4　例4图
证明　∵M,N分别是线段PA,PB的中点,
∴MN瓛1
2
AB.
∵ABCD是平行四边形,∴AB瓛C D,即
MN瓛1
2
CD,∴Q C=2MQ,由推论1可知
PQ=2
3
PM+
1
3
PC=
1
3
P A+
1
3
P C.
又因为O是线段AC的中点,由推论2
可知PO=1
2
(P A+PC),所以PQ=2
3
PO,
即PQ,PO共线,且PQ=2
3
PO,即P,Q,O三
点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.
评注　证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之的思路自然且易于操作.
2.4证明平面几何中的定值问题
例5　已知G是■ABC的重心,过点G 任作一条直线l,分别交边AB,AC于点D, E,若AD=x AB,AE=y AC.
求证:
1
x
+1
y
为定值.
分析　当点D与点B重合,即x=1时,且E为AC之中点,即y=
1
2
,此时1
x
+1
y
=
3,因此只须证明1
x
+1
y
=3即可.所以只须得到关于x,y应满足的方程即可,注意到D,G
,E三点共线及G是■ABC的重心,因此可选择以向量AB,AC为基底,由向量AG 的两种不同的表示方法得到此方程.
图5　例5图
证明　∵D,G,E三点共线,
∴AG=λAD+(1-λ)AE
=λx AB+(1-λ)y AC,
又∵G是■ABC的重心,所以
AG=2
3
AF=1
3
AB+1
3
AC,
由平面向量基本定理可知λx=
1
3
,
且(1-λ)y=
1
3
,
∴1
x
+1
y
=3λ+3(1-λ)=3(定值).
通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:1)把平面几何问题转化为平面向量问题;2)合理选择一组基底;3)把问题涉及的向量用基底表示之;4)得到需要的结论并回归到平面几何问题.
(收稿日期:2007-09-04)
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