有限差分法求解偏微分方程matlab
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(2-50)
，Crank-Nicholson格式的差分格式的截断误差是 。
3.4.1Crank-Nicholson稳定性分析
Crank-Nicholson格式写成矩阵形式如下：
(2-51)
误差传播方程是：
(2-52)
可以得到：
(2-53)
(2-54)
使 即
(2-55)
(2-56)
(2-57)
(2-58)
3.1 精确数值解
上述偏微分方程的精确解是
区域取值范围： 。
用MATLAB对精确解进行编程画出三维图像精确解程序如下：
close all
clc
[x,t]=meshgrid(0:0.01:1,0:0.001:0.2)
u=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x)
mesh(x,t,u);
surf(x,t,u);
4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：
有限差分法（finite-difference methods）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：
(2-1)
求解区域的网格划分步长参数如下：
(2-2)
2.1 古典显格式
2.1.1古典显格式的推导
由泰勒展开公式将 对时间展开得
(2-3)
当 时有
(2-4)
得到对时间的一阶偏导数
(2-5)
由泰勒展开公式将 对位置展开得
(2-6)
当 时，代入式(2百度文库6)得
3.6总结
(1) 古典显格式
古典显格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：当 时，古典显格式稳定。
(2) 古典隐格式
古典隐格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：任意网格比古典隐格式绝对稳定。
(3) Richardson显格式
Richardson显格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：任意网格比Richardson格式绝对不稳定。
(2-31)
，古典显格式的差分格式的截断误差是 。
2.3.2Richardson稳定性分析
将Richardson显格式(2-31)写成如下矩阵形式
(2-32)
误差传播方程矩阵形式
(2-33)
再将上面的方程组写成矩阵形式
(2-34)
系数矩阵的特征值是
(2-35)
解得特征值为
(2-36)
(恒成立) (2-37)
(4)Crank-Nicholson格式
Crank-Nicholson格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：Crank-Nicholson格式对任意网格比绝对稳定。
(5)Du Fort Frankle格式
截断误差： 。
稳定性：Du Fort Frankle格式对任意网格比绝对稳定。
三、MATLAB实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析
同理 , 代入式(2-6)可以得到
(2-44)
所以 ， 处的二阶偏导数用式(2-6)、(2-44)表示：
(2-45)
所以 ， 处的函数值可用下式表示：
(2-46)
原方程变为：
(2-47)
将差分格式代入上式得：
(2-48)
为了方便写成：
(2-49)
最后得到Crank-Nicholson格式的差分格式为
结论：上式对任意的网比都恒成立，即Richardson格式是绝对不稳定的。
4.Crank-Nicholson格式
3.4.1Crank-Nicholson格式的推导
将 代入式(2-9)得
(2-40)
即
(2-41)
得到如下方程
(2-42)
所以 处的一阶偏导数可以用下式表示：
(2-43)
将 , 代入式(2-6)可以得到式(2-9)；
(2-7)
因为 ，代入上式得
(2-8)
得到对位置的二阶偏导数
(2-9)
将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得
(2-10)
为了方便我们可以将式(2-10)写成
(2-11)
(2-12)
最后得到古典显格式的差分格式为
(2-13)
，古典显格式的差分格式的截断误差是 。
2.1.2古典显格式稳定性分析
2.3Richardson格式
2.3.1 Richardson格式的推导
将 ，代入式(2-3)得
(2-25)
即
(2-26)
由此得到可得
(2-27)
将式(2-9) 、(2-27)代入原方程得到下式
(2-28)
为了方便可以把式(2-28)写成
(2-29)
即
(2-30)
最后得到Richardson显格式的差分格式为
上式恒成立。
结论：Crank-Nicholson格式对任意网格比也是绝对稳定的。
5.Du Fort Frankle格式（Richardson格式的改进）
将 代入式(2-31)并化简得到Du Fort Frankle：
(2-59)
(2-60)
可以证明Du Fort Frankle格式是绝对稳定的。因为此格式是Richardson格式的改进格式，因此截断误差还是 。
为了方便把(2-19)写成
(2-20)
(2-21)
最后得到古典隐格式的差分格式为
(2-22)
，古典隐格式的差分格式的截断误差是 。
2.2.2古典隐格式稳定性分析
将古典隐格式(2-22)写成矩阵形式如下
(2-23)
误差传播方程
(2-24)
所以误差方程的系数矩阵为
使 ，显然
恒成立。
结论：对于 ，即任意网格比下，古典隐格式是绝对稳定的。
南京理工大学
课程考核论文
课程名称：高等数值分析
论文题目：有限差分法求解偏微分方程
姓 名：罗 晨
学 号：5
成 绩：
有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容
1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：
具体求解的偏微分方程如下：
2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；
3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；
古典显格式(2-13)写成矩阵形式为
(2-14)
上面的C矩阵的特征值是：
(2-15)
使 ，即
结论：当 时，所以古典显格式是稳定的。
2.2 古典隐格式
2.2.1古典隐格式的推导
将 代入式 (2-3)得
(2-16)
(2-17)
得到对时间的一阶偏导数
(2-18)
将式(2-9)、(2-18)原方程得到
(2-19)
，Crank-Nicholson格式的差分格式的截断误差是 。
3.4.1Crank-Nicholson稳定性分析
Crank-Nicholson格式写成矩阵形式如下：
(2-51)
误差传播方程是：
(2-52)
可以得到：
(2-53)
(2-54)
使 即
(2-55)
(2-56)
(2-57)
(2-58)
3.1 精确数值解
上述偏微分方程的精确解是
区域取值范围： 。
用MATLAB对精确解进行编程画出三维图像精确解程序如下：
close all
clc
[x,t]=meshgrid(0:0.01:1,0:0.001:0.2)
u=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x)
mesh(x,t,u);
surf(x,t,u);
4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：
有限差分法（finite-difference methods）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：
(2-1)
求解区域的网格划分步长参数如下：
(2-2)
2.1 古典显格式
2.1.1古典显格式的推导
由泰勒展开公式将 对时间展开得
(2-3)
当 时有
(2-4)
得到对时间的一阶偏导数
(2-5)
由泰勒展开公式将 对位置展开得
(2-6)
当 时，代入式(2百度文库6)得
3.6总结
(1) 古典显格式
古典显格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：当 时，古典显格式稳定。
(2) 古典隐格式
古典隐格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：任意网格比古典隐格式绝对稳定。
(3) Richardson显格式
Richardson显格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：任意网格比Richardson格式绝对不稳定。
(2-31)
，古典显格式的差分格式的截断误差是 。
2.3.2Richardson稳定性分析
将Richardson显格式(2-31)写成如下矩阵形式
(2-32)
误差传播方程矩阵形式
(2-33)
再将上面的方程组写成矩阵形式
(2-34)
系数矩阵的特征值是
(2-35)
解得特征值为
(2-36)
(恒成立) (2-37)
(4)Crank-Nicholson格式
Crank-Nicholson格式的差分格式为
截断误差： 。
稳定性：Crank-Nicholson格式对任意网格比绝对稳定。
(5)Du Fort Frankle格式
截断误差： 。
稳定性：Du Fort Frankle格式对任意网格比绝对稳定。
三、MATLAB实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析
同理 , 代入式(2-6)可以得到
(2-44)
所以 ， 处的二阶偏导数用式(2-6)、(2-44)表示：
(2-45)
所以 ， 处的函数值可用下式表示：
(2-46)
原方程变为：
(2-47)
将差分格式代入上式得：
(2-48)
为了方便写成：
(2-49)
最后得到Crank-Nicholson格式的差分格式为
结论：上式对任意的网比都恒成立，即Richardson格式是绝对不稳定的。
4.Crank-Nicholson格式
3.4.1Crank-Nicholson格式的推导
将 代入式(2-9)得
(2-40)
即
(2-41)
得到如下方程
(2-42)
所以 处的一阶偏导数可以用下式表示：
(2-43)
将 , 代入式(2-6)可以得到式(2-9)；
(2-7)
因为 ，代入上式得
(2-8)
得到对位置的二阶偏导数
(2-9)
将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得
(2-10)
为了方便我们可以将式(2-10)写成
(2-11)
(2-12)
最后得到古典显格式的差分格式为
(2-13)
，古典显格式的差分格式的截断误差是 。
2.1.2古典显格式稳定性分析
2.3Richardson格式
2.3.1 Richardson格式的推导
将 ，代入式(2-3)得
(2-25)
即
(2-26)
由此得到可得
(2-27)
将式(2-9) 、(2-27)代入原方程得到下式
(2-28)
为了方便可以把式(2-28)写成
(2-29)
即
(2-30)
最后得到Richardson显格式的差分格式为
上式恒成立。
结论：Crank-Nicholson格式对任意网格比也是绝对稳定的。
5.Du Fort Frankle格式（Richardson格式的改进）
将 代入式(2-31)并化简得到Du Fort Frankle：
(2-59)
(2-60)
可以证明Du Fort Frankle格式是绝对稳定的。因为此格式是Richardson格式的改进格式，因此截断误差还是 。
为了方便把(2-19)写成
(2-20)
(2-21)
最后得到古典隐格式的差分格式为
(2-22)
，古典隐格式的差分格式的截断误差是 。
2.2.2古典隐格式稳定性分析
将古典隐格式(2-22)写成矩阵形式如下
(2-23)
误差传播方程
(2-24)
所以误差方程的系数矩阵为
使 ，显然
恒成立。
结论：对于 ，即任意网格比下，古典隐格式是绝对稳定的。
南京理工大学
课程考核论文
课程名称：高等数值分析
论文题目：有限差分法求解偏微分方程
姓 名：罗 晨
学 号：5
成 绩：
有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容
1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：
具体求解的偏微分方程如下：
2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；
3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；
古典显格式(2-13)写成矩阵形式为
(2-14)
上面的C矩阵的特征值是：
(2-15)
使 ，即
结论：当 时，所以古典显格式是稳定的。
2.2 古典隐格式
2.2.1古典隐格式的推导
将 代入式 (2-3)得
(2-16)
(2-17)
得到对时间的一阶偏导数
(2-18)
将式(2-9)、(2-18)原方程得到
(2-19)