形式语言自动机理论基础

2.2.3 NFA确定化
I
I ∑1
I∑2
…
I ∑n
ε-closure(S0)
I11 I12
I11
I12
… … …
I1n I2n
I3n
…
I1n
…
Step2:求I ∑ n
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
Step3: 重新命名 对求得的矩阵（DFA M）的第一列各状态子集 重新命名，然后代入相应的状态矩阵元素； 第一列第一行为DFA M 的初态； 含有原M’终态的I为M终态。
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
例2.20: 一个单部电梯对3层楼进行控制的电梯控制 系统的DFA描述。 问题分析： 用户请求 （输入） 状态设置 （所处楼层） 上1、上2、上3 下1、下2、下3 1层 2层 3层 S1 S2 S3
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2.2 自动机基础
2.2.2 非确定的FA(NFA)
定义2.25
一个非确定的有限自动机M ( NFA M)是一个五 元组
M =（S, ∑, f, S0, Z）
其中：
S， ∑， Z同DFA。
S0：M的非空初始状态集，S0 S。
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2.2 自动机基础
2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
上2/下2 上2 下1 下 上 3 上1/下1
S2
S1
上3 下1
2
S3
上3/下3
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
二. DFA的等价表示
DFA形式定义 状态转换图 状态矩阵
例2.21:
DFA M = （{0,1,2,3}, {a,b}, f , {0}, {3}）
S f（0,a）=1 f（1,a）=3 f（2,a）=1 f（3,a）=3 Σ f（0,b）=2 f（1,b）=2 f（2,b）=3 f（3,b）=3 S0 Z
f
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
a 0 b b a b a a 3 b 1
2
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1
1
p
0|1 0
1
q
0|1
r
0
s
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
I 0* 1 2 {p} {q, s} 1 3 3 6 7 8 8 6
I0 {q, s} {r} {r} {s} { q,r,s } { r,s } { r,s } {s}
2.2.2 非确定的FA(NFA)
f：状态转换函数。 从S×∑*→2S的映射。其中∑* = ∑∪ε 。注意这里 的后继状态不是惟一的，它可以是状态集S的子集。 a 0 a ε 2 1
3
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2.2 自动机基础
2.2.2 非确定的FA(NFA)
例2.23: 设有一个非确定的有限自动机M
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
∑：输入字符的有限集合(或有穷字母表)。每个元 素是一个输入字符。 f：状态转换函数：从S×∑→S的部分映射。 例如, f（p,a）=q, q、p∈S, a∈∑。表示了状态 p在输入字符a之后转入状态q。 其中q也称为后继状态。 S0：M的惟一初态（也称开始状态），S0∈S。 Z： M的终态集（或接受状态） ZS。
NFA M=（{q0, q1, q2, q3, q4},{0,1}, f , {q0}, { q2,q4}） S ∑ S0 Z 其中状态转换函数f为： f（q0，0）= q0 f（q0，1）= q0 f（q1，0）= Φ f（q2，0）= q2 f（q3，0）= q4 f（q4，0）= q4 f（q0，0）= q3 f（q0，1）= q1 f（q1，1）= q2 f（q2，1）= q2 f（q3，1）= Φ f（q4，1）= q4
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
例2.26: 有NFA M如例2.25所示。 设I={1} 则 Ia =ε-closure（J） =ε-closure（{3 , 4 , 5}） = { 2, 3, 4, 5, 6,7,8 } 设I={2,5} 则 Ia =ε-closure（J） =ε-closure（{3}） = { 3,8 }
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
例2.27: 有NFA M’如下图所示。
ε ε ε
a 4 2 a 3 6
5 a 1
ε
8
ε
7
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
I
0 ε-closure(S0)={1,2} 1* 2* {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
NFA S0
多个初态S0 S ∑* ( ε∈∑* )
DFA
惟一 S0∈S ∑字集 f ( S×∑ )
f
f ( S×∑* )
f ( S×∑* )
2S
f ( S×∑)
S
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2.2 自动机基础
2.2.2 非确定的FA(NFA)
例2.24: 给出一个接收字符串aa*|bb*的NFA M，
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
∴ 有限状态自动机所接受的语言为：
L(M) = {α | f(S0, α) ∈Z & α ∈VT* }
与文法等价概念类似： 设有FA M 和 FA M' ， 若L(M) = L(M') , 则称M 和 M' 等价。
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
定义2.27
（状态集合I的a弧转换Ia ）
设 NFA M' =(S，∑，f，S0，Z) 假定I S，a∈∑，则定义Ia=ε-closure（J）， 其中J是所有从ε-closure(I)出发，经过一条a弧 而到达的状态集。
J = Move(I , a)
2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
状态矩阵表示 Σ
a
S S0 Z
b 2 2 2 3 f
0 1 2 3*
1 3 1 3
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
三 . FA的识别机制 例2.22:
有DFA M1，它可以识别偶数个0或偶数个1。 DFA M1=({q0, q1, q2, q3}，{0,1}，f，{q0}，{q0}) 其中： f(q0，0)= q2 f(q1，0)= q3 f(q2，0)= q0 f(q3，0)= q1 f(q0，1)= q1 f(q1，1)= q0 f(q2，1)= q3 f(q3, 1)= q2
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
子集法
对NFA M’ =（S, {∑1, ∑2, … , ∑n }, f, S0, Z） 设一矩阵形式的表：
I ε-closure(S0) I ∑1 I∑2 … I∑n
Step1:初始化
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
$1=110101，其M1对$1的识别过程是： f（q0 ,1）= q1 f（q0 , 11）= f(f（q0 ,1），1)= f（q1 ,1）= q0 f（q0 , 110）= f(f（q0 ,11） ,0)= f（q0 ,0）= q2 f（q3 , 1101）= f(f（q0 ,110），1)= f（q2 ,1）= q3 f（q3 , 11010）= f(f（q0 ,1101），0)= f（q3 ,0）= q1 f（q3 , 110101 ）= f(f（q0 ,11010） ,1)= f（q1 ,1）= q0
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
例如， 1） 电梯的控制系统； 2） 人的大脑也是有限控制系统； （235） 3） 计算机自身也是有限控制系统。 注意： 1） DFA是具有离散输入、输出系统的一个纯数 学模型； 2） DFA的技巧在于状态的设置； 3） DFA映射的唯一性和初态的唯一性 。
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
一. 确定的有限自动机（ DFA）
( DFA：Deterministic Finite Automata )
定义2.24
一个确定的有限自动机M ( DFA M)是一个五元组
M =（S, ∑, f, S0, Z）
其中： S：状态的有限集合，每个元素Si (Si S) 称为一 个状态。
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
例2.25: 有NFA M如下图所示。
5 a 1 ε a 4 ε 7 2 ε ε a 3 ε 8 6
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
设 I={5} 则 ε-closure(I) = ε-closure({5}) = {5, 6, 2} 设 I={1} 则 ε-closure({1}) = {1, 2} 设 I= {1,5} 则 ε-closure({1,5})={1,2,5,6}
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2.2.2 非确定的FA(NFA)
一. NFA的定义
DFA的确定性表现在其映射函数是一个单值函 数。但是实际问题中，映射函数往往是一个多值函 数。 例如，源程序中扫描到一个字母时，不同的语言 对应多种情况： FORTRAN中： 标识符/格式转换码：E、D…/ .AND./.OR./… C语言中：标识符/ %S / \n / if / switch ….
Ia
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} { 3, 8} Φ 1 2
{ 3, 8}
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
a 0 1* 2* 1 2
a
0
a
1
2
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
例2.28: 有NFA M’如下图所示。
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2.2 自动机基础
2.2.1 确定的FA（DFA）
综述： 1） 对于Σ上的任何字α，如果存在一条从初态到
某一终态结的路径，且该路径上所有弧的标记符连接 成的字等于α, 则称α为DFA M所识别 （接受）。 2）若DFA仅一个状态结，该状态结既是初态又是 终态，则空字集合{ε}为DFA M所接受。 3） 一个DFA M所能接受的字的全体记为L(M)。
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2.2 自动机基础
2.2.2 非确定的FA(NFA)
0,1 1
0
0
3
0
4
0,1
0
1
0 1 2*
{0,3}
{0,1} {2}
1
1
{2} {4}
{2}
2
0,1
3
4* {4}
状态子集
{4}
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2.2 自动机基础
2.2.2 非确定的FA(NFA)
二. NFA和DFA的区别
如下图所示。 ε start 0 ε 3 1 a 2 a
b
4
a
对字符串aaa的接受路径为0，1，2，2，2，接受 路径中边的标记是ε，a，a，a，它们的连接为字符串
aaa，ε在连接中消失。
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
定理2.1
对任何一个NFA M，都存在一个DFA M ' , 使 L(M' )=L(M)。
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2.2 自动机基础
2百度文库2.1 确定的FA（DFA）
DFA M1状态图 对1010:
1 q0 1 q1 0 q3 1 q2 0
q0
q0
0 0
1
q1 接受！
0 0
对11001:
q0 1 q1 1 q0 0 q2 0 q0 1
1
q2
1
q3
q1
拒绝！
Ch2 形式语言自动机理论基础
定理2.1说明： 对任何一个NFA M，都存 在一个DFA M' ，由于M和M'所识别的字的全 体相同，所以 M' =M。
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2.2 自动机基础
2.2.3 NFA确定化
NFA确定化的算法 — 子集法。 定义2.26
假设I是NFA M' 状态集S的一个子集。（即I∈S） ，则定义ε-closure(I)为 ： (1) 若Si∈I，则Si ∈ε-closure(I)； (2) 若Si ∈I，则从Si出发经过任意条ε弧而能到达 的任何状态Sj ，则Sj ∈ε-closure(I)。