形式语言与自动机的关系

形式语言与自动机的关系研究

新疆师范大学数理信息学院数学03-6班摘要：

形式语言的直观意义，自动机的直观意义，形式语言的定义，

形式语言的特征，语法的分类，自动机的定义，自动机的分

类，各种自动机的定义，形式语言和自动的的关系，自动机

的对语言的例子

基本关键词：

形式语言的定义；自动机的定义；形式语言和自动机的关系

1，形式语言的直观意义

α→的直观地讲，形式语言是用来精确描述语言和它结构的手段。它一重写规则β

α,均为字符串。重写规则就是在包含α的字符穿中遇见规则左边的形式来表示，其中，β

α时，α部分重新写为右边的β。这样一个初设的字符串通过不断地运用重写规则，就可以到另一个字符串。通过选择不同的规则并且以各种不同的顺序来运用最这些规则，如果指

定一个初始符，某规则以其为左部，一组规则就可以构成一个语法。

2，形式语言的定义

形式语法是一个四元组G=（N, V , P, S ）,其中N 是非终结符的有限集合，有时也称变量，它们相当于各种句法范畴。V 是终结符的有限集合，若语法生成的是自然语言，这些终端语符就相当于这种语言中具体的词，终端 语符集 这种语言的词库，P 是以重写规则的有限集合，基本形式P }{βα→，即""βα改写为，其中箭头表示指令，一条规则就是一个机械性的操作程序，用来演算它联系着的两侧语符集或语符序列之间的关系，而S 是一个特定的初始符；

3，语法的分类

乔姆斯在他的著名【文章】中根据重写规则将语法分成四类：正则语法，上下文有关语法，上下文无关语法；有这些语法生成的语言是正则语言，，上下文有关语言，上下文无关语言，递归数集合。

a 如果P 中的规则，满足如下的形式：x A Bx A →→或，，其中，A,B 是非终结符，x 是终结符，则G 称为正则语法（简称为FSG ）。

b 如果P 中的规则，满足如下的形式：α→A ,其中，A 是非终结符, α是由N 和V 中字符所组成的字符串（或可表示为()*∈V N α,*意味着它右边的字符可以重复0到任何 多次），则G 称为上下文无关语法（简称为CFG ）。

d 如果P 中的规则，满足如下的形式：αγββα→A ,其中，A 是非终结符,γβα,,,是字符串，且γ至少包含一个字符，则G 称为上下有无关语法（简称为CSG ）。

d 如果P 中的规则，满足如下的形式：其中，α，β是字符串，则G 称为无限制重写系统。

对于以上任何一种语法，两个字符串之间一次派生关系⇒可定义为：

如果y x →是P 中的规则，βαβαy x ⇒。

字符串α，β有多次派生关系*

⇒则是说，通过多次应用一次派生关系，从α可派生出β，并记为α*

⇒β： n αβαα==,0，而对n i i n i +⇒-=αα,1,....0。

给定以语法，其语言定义为所有合法终结字符串的集合。合法终结字符串是指由初始符S 出发，运用重写规则而派生得终结字符串，即，

(){}ααα**;⇒∈=S V G L

例子：假设G=(N, V , P, S), N={S, A} , V={0, 1}, P={0,0,1→→→A A A A S } 则 ，{}110)(≥=m G L m

是正则语法，在V={0, 1}上它所对应的正则表达式是100*。 形式语言的特征：

⑴ 高度抽象化（采用形式化的手段，专用符号，数学公式来描述语言的，结构关系，这种关系是抽象的）。

⑵是一套演绎系统（形式语言本身的目的就是要用有限的规则来推导语言中无限的句子）。 ⑶具有算法的特点

4，自动机的直观意义

，如果说语法时用来精确描述语言的和它的结构，那么自动机便是用来机械地刻画对输入字符串的处理过程。最初，自动机（automation ）得得提出时用来解决一个数学上的难题，后来又被试图模仿人的感觉和思维。自动机有非常简的部件和操作组成：输入/输出带时用来存放输入字符串以及输出字符（它们可以时同一带，也可以是不同一条带），读/写头用来阅读输入/输出带上目前所处理的字符及位置，在带上写下一个字符，并可以在带上向左或向右移动一个位置，让读/读写头做出相应的操作，改变自己的状态，并最终决定是否接受输入字符串为合法。当给定以字符串时，自动机通过自己的读/写头扫描，修改这一字符串，并改变自己的状态。如果自动机顺利地进入终止状态，且输入/输出带 满足一定的条件，我们称自动机接受这一字符串。这个过程称为识别。

5，自动机的定义

5.1定义：确定有限自动机是以个 七元组()F U I Q M ,q ,,,,,σδ=,其中

{}是自动机内部状态s s Q =，且Q 是有限集合 }{

是输入字符αα=I ，且I 是有限集合

{}是输出字符u u U =，且U 是有限集合

δ是 定义域为 I Q ⨯，值域为Q 的状态转移函数 σ是 定义域为 I Q ⨯，值域为U

的有限集合

q 为初始状态 Q F ⊆为终止状态

给定一字符串 n a a a a ...10=初始时，有限自动机M 处于状态0q ，从0a 开始，根据状态转移函数δ转移到另一状态),(001a q q δ=，根据输出函数σ在一输出带上印出字符()00,a q σ，并 将读/写头在输入/输出带上各向右移动一格。此时，M 便处于状态1q ，读字符1a 。重复以上步骤，一直到M 读完n a ，如果，M 处于某中移终止状态，即F 的一个元素，那么，我们就称M 接受字符串a ；否则，M 读完n a 但不处于任一终止状态，或者，在其过程中δ没有定义，我们称M 不接受字符串a 。

由M 定义的语言()M T 就是被M 接受的字符串全集

5.2定义：下推自动机是一个()∑Γ=F Z q Q M ,,,,,0,0δ,其中 }{

是一个内部状态s s Q =，且Q 是有限集合 }{∑=是输入带上字符u u ，且∑是有限集合

{u u =Γ是栈上字符}，且 Γ是有限集合

Q q ∈0为初始状态

Γ∈0Z 为栈中一个特殊符号，表明栈底

Q F ∈为终止状态集

}{()Γ⨯⨯∑εδ Q 是定义域为,值域为∑⨯*Q 的有穷子集的状态转移映照。

5.3定义：图灵机是一个七元组 ()∑-Γ=F q Q M ,0,,,,,δ,其中

}{

是一个内部状态

s s Q =，且Q 是有限集合 }{∑=是输入带上字符u u ，且∑是有限集合 }{∑=ΓB ,B 表示空白字符；

δ是定义域为∑⨯Q ,值域为}{∑⨯⨯S L R Q ,,转移函数，R, L 和 S 分别指右移一格，左移一格以及停止不动；

— 属于Q-I 的空格元素

0q 为初始状态；

Q F ∈为终止状态集

给定字符串a ，存放域 它的输入/输出带上，开始时，M 处于状态0q ，它的读/写头扫描着a 的最左字符。根据转移函数δ的定义，即对于目前状态及正扫描着的字符，M 改变当前状态，读/写头扫描的字符，以及读/写头的位置。重复这个步骤直至M 进入某一终止状态；或者，在其过程中δ没有定义，即M 停止工作。前者称之为M 接受字符串a ，后者称之为M 不接受字符串a 。

严格地讲，我们对于M 的每个情况，定义格局为（q ，a ，i ），这里，Q q ∈,a 是字符串，i 是整个数，表示读/写头相对于a 左端的距离。图灵机M 通过如下转移动作引起格局变化；