非线性动力学-复杂网络
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大数据表明:
WWW 和 Internet 都 既是小世界网络也是无标度网络
R. Albert et al., Nature (1999)
Z. P. Fan, G. R. Chen (2005-2015)
真实互联网 Internet
双对数图
P(k) k 2.14 ~ 2.21
自治层
Z. P. Fan and G. R. Chen (2011)
欧洲铁路
均匀网络
东京地铁
脸书：Facebook
www.bbc.co.uk (24 Dec 2010)
社会网络
生物网络
动物世界
Königsberg 七桥问题
Königsburg
(1736 )
年
市 区
地
图
河中有两个岛，两岸和两岛之间共有七座桥， 一个人能否在一次散步中走过所有七座桥， 并且每座桥只经过一次，最后回到原地？
小世界实验
MA NE
设定一个“收信人”（在 Boston） 随机邀请 300 个“发信人”（在 Omaha, Nebraska) “发信人”把信件发给可能在 Boston 有联络的朋友 结果：平均 6 人
新近大规模的小世界实验
例 1: Duncan Watts 在 Science （August 2003）报告说：他 们在历时一年多的社会试验中，联络了 60,000 个志愿者 （来自 166 国家），给 18 个“收信人”（分散在 13 个国家 里）发电子邮件 ， 最后成功到达的电子邮件都经过了 5 ~ 7 个用户的传递。 例 2: Facebook Data Team 在2011年11月21 日宣布，他们调 查了 7.21亿 个 Facebook 活跃用户（占全球人口的 10%）， 通过用户 690亿 条联络，发现两两用户之间的联络平均只有 4.74 个朋友的间隔。
H. Jeong et al., Nature, 407: 651-654, 2000
大脑神经网络
小世界特性
社团结构
D. D. Bock et al., Nature, 2011
D. Krioukov et al., Scientific Reports, 2012
社会网络
节点的度(degree)
规则网络
规则网络指的是每个节点按照确定的规则产生连线。这种 网络是秩序的象征，在各种复杂的网络里面最简单，因此 在研究复杂网络初期也最易于被拿来研究。
(a) 全连接网络 (b) 环状网络 (c) 星形网络 (d) 链状网络
(d)
随机图理论
Random Graph Theory
Paul Erdös
度和聚类系数之间的相关性
网络中度和聚类系数之间的相关性指的是度大节 点的聚类系数偏高还是偏低。 实证表明，在社会网络(演员合作网络、公司董事 网络、电子邮箱网络)中节点度分布与其聚类系数 之间具有负的相关性；其它类型的网络(信息网络、 技术网络、生物网络)则相反。
同配性(Assortativity)
“Emergence of scaling in random networks”
--- Science, 286: 509 (1999)
A.-L. Barabási
R. Albert
圣母大学 Norte Dame University
BA 无标度网络 模型
ER 随机网络和 WS 小世界网络度都服从泊松分布。 但是 大量实证网络说明大多数真实网络的度都服从幂律分布。 因此度服从幂律分布的无标度网 络极其重要。
BA 无标度网络 模型
主要特征：
连接性：节点度分布服从 幂率(Power-Law)
非均匀性：小部分节点很 多连线；大部分节点很少 连线
增长性：节点数不断增加
BA 无标度网络 模型
P(k) ~ k
slope
幂率 Power-Law
双对数 Log-Log
无标度: 节点度分布与网络规模的大小无关
万维网 World Wide Web 互联网 Internet
同配性是指网络中的各节点按照节点之间度的相似程度进 行连接。相互连接的节点之间度的相似程度越高，这个网 络的同配性就越强。度大的节点更愿意与度大的节点相连 接，度小的节点也更倾向于连接到度小的节点上。复杂网 络的这种特性叫做同配性(Assortativity)，在社会网络中尤 其常见。比如，电影演员很有可能和跟他有差不多合作者 数目的演员进行合作(实际上合作者数目也一方面反映了 该演员的受欢迎程度)；转校的新学生大多愿意和跟自己 有差不多社会关系的同学成为好朋友。
世界将变得越来越小
Kevin Bacon 网络
美国电影明星 Kevin Bacon 和其他影星的“距离” = ?
如果两个演员在同一部电影里演出，就 认为他们之间有一条连边( ―距离‖= 1)
1994 年, CNN TV 的 Stewart Show 节 目讨论了这样一个问题：从荷里活中随 机地挑出一个演员，问他（她）和 Bacon 之间的“距离”是多少ຫໍສະໝຸດ Baidu即，有 多少个其他演员把他们联系起来）？
结果: 平均来说，好莱坞中任何一个演 员和Bacon 的“距离”为 2 ~ 3
Kevin Bacon 网络的6度分离
Mike Myers Tom Cruise
小世界网络 !
Marilyn Monroe 梦露
Charlie Chaplin 卓别林
Bacon Number
(as of 2015-1-1)
Alfred Rényi
1960年代数学图论的突破性发展
ER 随机网络
ER 随机网络
主要特征：
连接性： 节点度分布服从泊松 均匀性： 所有节点有大致相同的度 非增长性： 节点数不增加
小世界网络
Small-World Networks
“Collective dynamics of 'small-world' networks”
Nature 408 307 (2000)
p53 基因控制癌细胞的生与死。 它的发现被认为是癌症研究中最 重要的成果之一。 ——了解 p53 网络的方法是把 它与互联网做直接对比。这基 因和互联网一样，是个无标度 网络‖
新陈代谢网络
人体具有43个器官的 新陈代谢 (化学反应) 网络是无标度网络和 小世界网络
--- Nature, 393: 440-442, 1998
D. J. Watts
S. H. Strogatz
康奈尔大学 Cornell University
WS 小世界网络
规则网络和随机网络代表了复杂网络有序和混乱的两个极端。 然而人们发现绝大多数大规模实际网络结构并不是这两种形 式，而是具有某些统计特性。
WS 小世界网络
主要特征：
连接性： 节点度分布服从泊松 均匀性： 所有节点有大致相同的度 非增长性： 节点数不增加
新发现: 小世界特性 ! ―任意两点之间的距离都很短”
WS 小世界网络
p=0 0<p<1 p=1
最近邻网络 小世界网络 完全随机的网络
无标度网络
Scale-Free Networks
平均路径长度 (average path length)
在一个网络中，两个节点之间的距离定义为连接它们的最 短路径所包含的边的数目。
一个网络的平均路径长度定义为网络中任意两个点间距离 的平均值。 网络中任意两个节点间的距离的最大值称为网络的直径。 研究发现，尽管许多实际的复杂网络的节点数目巨大， 但网络的平均路径长度却惊人的小，即使在稀疏连接的网 络中情况也是如此。这就是网络的小世界特性，或者所谓 的“六度分离原则”。
介数(Betweeness)
介数分为点介数和边介数。 节点的介数为网络中所有的最短路径中经过该节点的数量 的比例；边的介数是网络中所有的最短路径中经过该条边 的数量的比例。 介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用和影响 力，具有很强的现实意义。例如, 在社会关系网络或技术 网络中，介数的分布特征反映了不同人员、资源和技术在 相应生产关系中的地位。
欧拉 Euler (1707-1783)
―Father of Graph Theory‖
欧拉从此创立了数学图论
他把问题抽象为 4 个节 点和 7 条连边的图
然后证明了
此题无解
复杂网络构成
网络基本元素： 节点、连边 计算机网络: 节点 – 电脑 连边 – 光纤 神经网络: 节点 – 神经元 连边 – 神经线 社会网络: 节点 – 个人 连边 – 关系 ……
非线性动力学
——复杂网络
周进
jzhou.math@whu.edu.cn
我们生活在网络世界之中
如果随意地在世界上某个角落 找出一个人，他（她）会通过 多少中间朋友和你连接在一起？
2
著名的“六度分离”
美国著名社会心理学家米尔格伦在20世纪60年代 提出了著名的 “六度分离”理论，即地球上任 意两个人之间的平均距离是6。这就是“小世界 效应”，属于我们要研究的复杂网络的范畴。简 单的说，复杂网络是由大量节点和复杂连边构成 的。复杂网络在节点中往往会引入动力学机制， 这样，复杂网络可以看作是由大量动力系统按照 某些规则演化而形成的，它是刻画系统复杂性的 一种非常重要的范式。
同配性(Assortativity)
类似地，如果度小的节点更易于与度大的节点相连，而度 大的节点更易于与度小的节点相连，我们就说这个复杂网 络具有异配性 (Disassortativity) 。一般而言，生物网络和 技术网络 (比如 Internet网) 往往是异配的。 反映复杂网络同配性强弱的是同配性系数 r。根据不同需 要，对于同配性系数的定义也不尽相同，但是它们从本质 上来说都是一致的。 如果 r>0，那么就说复杂网络具有同配性；相反 r<0 代表 的是具有异配性的复杂网络；随机网络中 r=0 。
节点的度定义为与该节点连接的其它节点的数目。在有向 网络中，一个节点的度分为出度和入度。直观地看，一个 节点的度越大就意味着这个节点在某个意义上越重要。网 络中所有节点度的平均值称为网络的节点平均度。
一个函数称为是“ 无标度”的，如果该函数具有如下性质： 对于任意给定的常数a，存在常数b使得f(ax)=bf(x)成立。 而幂律函数正是具有这种性质的唯一的函数，这表明幂律 度分布的网络没有明显的特征标度，所以我们称它为无标 度网络。
https://oracleofbacon.org/onecenter.php?who=Kevin+Bacon
Michael Jackson 网络
科研合作网络
节点：科学家
连边：合作写文章
我的 David J. Hill Number
瑞典皇家科学院院士、澳大利亚科学院/工程院院士、 IEEE/SIAM Fellow、悉尼大学 David J. Hill教授与我 的距离是 2
聚类系数 (clustering coefficient)
聚类系数 (clustering coefficient)
平均聚类系数总是小于等于1。等于1当且仅当网 络是全连接的。
对于 N 个节点的完全随机网络，其聚类系数 C=O(1/N) 。而许多大规模的实际网络都具有明 显的聚类效应，它们的聚类系数虽然远小于1，但 是却比 O(1/N) 要大得多。这告诉我们，实际的复 杂网络并不是完全随机的。
互联网:
Internet
(K. C. Claffy)
万维网:
WWW
(William R. Cheswick)
股票网络： Hang Seng Index
Xiaofan Liu, HK PolyU, 2010
飞机航班图： Airlines Route Maps
非 均 匀 网 络
铁路、公路、地铁 路线图
社会科学
小世界实验 (1967)
Stanley Milgram, 哈佛大学 Harvard University
问题：在美国随机地找两个人，他们会通 过多少个中间朋友连接在一起？
答案: 6
Alice B C D E F George
S. Milgram, The small world problem, Psychology Today, May 1967, 60-67.
David J. Hill
Jinhu Lü
Jin Zhou
你的 Obama Number 是多少 ?
4
WWW 和 Internet 都 既是小世界网络也是无标度网络
R. Albert et al., Nature (1999)
Z. P. Fan, G. R. Chen (2005-2015)
真实互联网 Internet
双对数图
P(k) k 2.14 ~ 2.21
自治层
Z. P. Fan and G. R. Chen (2011)
欧洲铁路
均匀网络
东京地铁
脸书：Facebook
www.bbc.co.uk (24 Dec 2010)
社会网络
生物网络
动物世界
Königsberg 七桥问题
Königsburg
(1736 )
年
市 区
地
图
河中有两个岛，两岸和两岛之间共有七座桥， 一个人能否在一次散步中走过所有七座桥， 并且每座桥只经过一次，最后回到原地？
小世界实验
MA NE
设定一个“收信人”（在 Boston） 随机邀请 300 个“发信人”（在 Omaha, Nebraska) “发信人”把信件发给可能在 Boston 有联络的朋友 结果：平均 6 人
新近大规模的小世界实验
例 1: Duncan Watts 在 Science （August 2003）报告说：他 们在历时一年多的社会试验中，联络了 60,000 个志愿者 （来自 166 国家），给 18 个“收信人”（分散在 13 个国家 里）发电子邮件 ， 最后成功到达的电子邮件都经过了 5 ~ 7 个用户的传递。 例 2: Facebook Data Team 在2011年11月21 日宣布，他们调 查了 7.21亿 个 Facebook 活跃用户（占全球人口的 10%）， 通过用户 690亿 条联络，发现两两用户之间的联络平均只有 4.74 个朋友的间隔。
H. Jeong et al., Nature, 407: 651-654, 2000
大脑神经网络
小世界特性
社团结构
D. D. Bock et al., Nature, 2011
D. Krioukov et al., Scientific Reports, 2012
社会网络
节点的度(degree)
规则网络
规则网络指的是每个节点按照确定的规则产生连线。这种 网络是秩序的象征，在各种复杂的网络里面最简单，因此 在研究复杂网络初期也最易于被拿来研究。
(a) 全连接网络 (b) 环状网络 (c) 星形网络 (d) 链状网络
(d)
随机图理论
Random Graph Theory
Paul Erdös
度和聚类系数之间的相关性
网络中度和聚类系数之间的相关性指的是度大节 点的聚类系数偏高还是偏低。 实证表明，在社会网络(演员合作网络、公司董事 网络、电子邮箱网络)中节点度分布与其聚类系数 之间具有负的相关性；其它类型的网络(信息网络、 技术网络、生物网络)则相反。
同配性(Assortativity)
“Emergence of scaling in random networks”
--- Science, 286: 509 (1999)
A.-L. Barabási
R. Albert
圣母大学 Norte Dame University
BA 无标度网络 模型
ER 随机网络和 WS 小世界网络度都服从泊松分布。 但是 大量实证网络说明大多数真实网络的度都服从幂律分布。 因此度服从幂律分布的无标度网 络极其重要。
BA 无标度网络 模型
主要特征：
连接性：节点度分布服从 幂率(Power-Law)
非均匀性：小部分节点很 多连线；大部分节点很少 连线
增长性：节点数不断增加
BA 无标度网络 模型
P(k) ~ k
slope
幂率 Power-Law
双对数 Log-Log
无标度: 节点度分布与网络规模的大小无关
万维网 World Wide Web 互联网 Internet
同配性是指网络中的各节点按照节点之间度的相似程度进 行连接。相互连接的节点之间度的相似程度越高，这个网 络的同配性就越强。度大的节点更愿意与度大的节点相连 接，度小的节点也更倾向于连接到度小的节点上。复杂网 络的这种特性叫做同配性(Assortativity)，在社会网络中尤 其常见。比如，电影演员很有可能和跟他有差不多合作者 数目的演员进行合作(实际上合作者数目也一方面反映了 该演员的受欢迎程度)；转校的新学生大多愿意和跟自己 有差不多社会关系的同学成为好朋友。
世界将变得越来越小
Kevin Bacon 网络
美国电影明星 Kevin Bacon 和其他影星的“距离” = ?
如果两个演员在同一部电影里演出，就 认为他们之间有一条连边( ―距离‖= 1)
1994 年, CNN TV 的 Stewart Show 节 目讨论了这样一个问题：从荷里活中随 机地挑出一个演员，问他（她）和 Bacon 之间的“距离”是多少ຫໍສະໝຸດ Baidu即，有 多少个其他演员把他们联系起来）？
结果: 平均来说，好莱坞中任何一个演 员和Bacon 的“距离”为 2 ~ 3
Kevin Bacon 网络的6度分离
Mike Myers Tom Cruise
小世界网络 !
Marilyn Monroe 梦露
Charlie Chaplin 卓别林
Bacon Number
(as of 2015-1-1)
Alfred Rényi
1960年代数学图论的突破性发展
ER 随机网络
ER 随机网络
主要特征：
连接性： 节点度分布服从泊松 均匀性： 所有节点有大致相同的度 非增长性： 节点数不增加
小世界网络
Small-World Networks
“Collective dynamics of 'small-world' networks”
Nature 408 307 (2000)
p53 基因控制癌细胞的生与死。 它的发现被认为是癌症研究中最 重要的成果之一。 ——了解 p53 网络的方法是把 它与互联网做直接对比。这基 因和互联网一样，是个无标度 网络‖
新陈代谢网络
人体具有43个器官的 新陈代谢 (化学反应) 网络是无标度网络和 小世界网络
--- Nature, 393: 440-442, 1998
D. J. Watts
S. H. Strogatz
康奈尔大学 Cornell University
WS 小世界网络
规则网络和随机网络代表了复杂网络有序和混乱的两个极端。 然而人们发现绝大多数大规模实际网络结构并不是这两种形 式，而是具有某些统计特性。
WS 小世界网络
主要特征：
连接性： 节点度分布服从泊松 均匀性： 所有节点有大致相同的度 非增长性： 节点数不增加
新发现: 小世界特性 ! ―任意两点之间的距离都很短”
WS 小世界网络
p=0 0<p<1 p=1
最近邻网络 小世界网络 完全随机的网络
无标度网络
Scale-Free Networks
平均路径长度 (average path length)
在一个网络中，两个节点之间的距离定义为连接它们的最 短路径所包含的边的数目。
一个网络的平均路径长度定义为网络中任意两个点间距离 的平均值。 网络中任意两个节点间的距离的最大值称为网络的直径。 研究发现，尽管许多实际的复杂网络的节点数目巨大， 但网络的平均路径长度却惊人的小，即使在稀疏连接的网 络中情况也是如此。这就是网络的小世界特性，或者所谓 的“六度分离原则”。
介数(Betweeness)
介数分为点介数和边介数。 节点的介数为网络中所有的最短路径中经过该节点的数量 的比例；边的介数是网络中所有的最短路径中经过该条边 的数量的比例。 介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用和影响 力，具有很强的现实意义。例如, 在社会关系网络或技术 网络中，介数的分布特征反映了不同人员、资源和技术在 相应生产关系中的地位。
欧拉 Euler (1707-1783)
―Father of Graph Theory‖
欧拉从此创立了数学图论
他把问题抽象为 4 个节 点和 7 条连边的图
然后证明了
此题无解
复杂网络构成
网络基本元素： 节点、连边 计算机网络: 节点 – 电脑 连边 – 光纤 神经网络: 节点 – 神经元 连边 – 神经线 社会网络: 节点 – 个人 连边 – 关系 ……
非线性动力学
——复杂网络
周进
jzhou.math@whu.edu.cn
我们生活在网络世界之中
如果随意地在世界上某个角落 找出一个人，他（她）会通过 多少中间朋友和你连接在一起？
2
著名的“六度分离”
美国著名社会心理学家米尔格伦在20世纪60年代 提出了著名的 “六度分离”理论，即地球上任 意两个人之间的平均距离是6。这就是“小世界 效应”，属于我们要研究的复杂网络的范畴。简 单的说，复杂网络是由大量节点和复杂连边构成 的。复杂网络在节点中往往会引入动力学机制， 这样，复杂网络可以看作是由大量动力系统按照 某些规则演化而形成的，它是刻画系统复杂性的 一种非常重要的范式。
同配性(Assortativity)
类似地，如果度小的节点更易于与度大的节点相连，而度 大的节点更易于与度小的节点相连，我们就说这个复杂网 络具有异配性 (Disassortativity) 。一般而言，生物网络和 技术网络 (比如 Internet网) 往往是异配的。 反映复杂网络同配性强弱的是同配性系数 r。根据不同需 要，对于同配性系数的定义也不尽相同，但是它们从本质 上来说都是一致的。 如果 r>0，那么就说复杂网络具有同配性；相反 r<0 代表 的是具有异配性的复杂网络；随机网络中 r=0 。
节点的度定义为与该节点连接的其它节点的数目。在有向 网络中，一个节点的度分为出度和入度。直观地看，一个 节点的度越大就意味着这个节点在某个意义上越重要。网 络中所有节点度的平均值称为网络的节点平均度。
一个函数称为是“ 无标度”的，如果该函数具有如下性质： 对于任意给定的常数a，存在常数b使得f(ax)=bf(x)成立。 而幂律函数正是具有这种性质的唯一的函数，这表明幂律 度分布的网络没有明显的特征标度，所以我们称它为无标 度网络。
https://oracleofbacon.org/onecenter.php?who=Kevin+Bacon
Michael Jackson 网络
科研合作网络
节点：科学家
连边：合作写文章
我的 David J. Hill Number
瑞典皇家科学院院士、澳大利亚科学院/工程院院士、 IEEE/SIAM Fellow、悉尼大学 David J. Hill教授与我 的距离是 2
聚类系数 (clustering coefficient)
聚类系数 (clustering coefficient)
平均聚类系数总是小于等于1。等于1当且仅当网 络是全连接的。
对于 N 个节点的完全随机网络，其聚类系数 C=O(1/N) 。而许多大规模的实际网络都具有明 显的聚类效应，它们的聚类系数虽然远小于1，但 是却比 O(1/N) 要大得多。这告诉我们，实际的复 杂网络并不是完全随机的。
互联网:
Internet
(K. C. Claffy)
万维网:
WWW
(William R. Cheswick)
股票网络： Hang Seng Index
Xiaofan Liu, HK PolyU, 2010
飞机航班图： Airlines Route Maps
非 均 匀 网 络
铁路、公路、地铁 路线图
社会科学
小世界实验 (1967)
Stanley Milgram, 哈佛大学 Harvard University
问题：在美国随机地找两个人，他们会通 过多少个中间朋友连接在一起？
答案: 6
Alice B C D E F George
S. Milgram, The small world problem, Psychology Today, May 1967, 60-67.
David J. Hill
Jinhu Lü
Jin Zhou
你的 Obama Number 是多少 ?
4