管理运筹学教案_排队论2

120×0.8 120×0.8 120×0.8 4 5 = 1+ + + + 120×0.8 + 120×0.8 24 6 2 1 = = 0 . 0073 136 . 8 管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239 14
−1
(2) 五台机器都出现故障的概率
m! 5 5! P5 = ρ ⋅ P0 = ×0.85 × 0.0073= 120×0.85 ×0.0073= 0.287 (m− 5)! 0!
( N + 1)ρN +1 0.75 8 × 0.758 ρ Ls = − = − = 2.11 N +1 8 1− ρ 1− ρ 0.25 1 − 0.75 Lq = Ls − ρe = 2.11− (1 − P0 ) = 2.11− (1 − 0.2778) = 1.39
(3) 求有效到达率 求有效到达率:
λ e = µ(1 − P0 )
λ e = λ(1 − PN )
此种情况的公式与 前类似,只有 不同,λ 只有L 前类似 只有 s不同 λe 不同。 与λ 不同。求λe必须 先求得P 才行。 先求得 0或PN才行。
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ρ ( N + 1) ⋅ ρN +1 − Ls = 1− ρ 1 − ρN +1
(ρ≠1,n≤N) (ρ≠1,n≤N)……(10) n≤N) (10)
注：当ρ=1时，试讨论其概率Pn。 ρ=1 试讨论其概率P 其运行指标： 其运行指标： (1) 平均队长 s： 平均队长 队长L
1− ρ n Ls = ∑n⋅ Pn = ∑ ⋅ρ ⋅n N+1 n=0 n=0 1 − ρ
N N
练习试证ρ=1 练习试证ρ=1 时,Ls=N/2
经满员 就离去？ 就离去？ Lq Wq = = 1.39 = 0.48h = 28.86 min 2.89 λe
(5) 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？ 在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？
1− ρ 1 − 0.75 N P7 = ⋅ρ = × 0.757 = 3.71% 1 − ρ N +1 1 − 0.758
m
m! λ n P0 = ≤ ≤ ( ) ⋅ P0 (1≤n≤m) i P = n m (m − n)! µ m! λ ∑ (m − i)! µ i=0
1
各项运行指标为： 各项运行指标为：
µ Ls = m − (1 − P0 ) λ (µ + λ )(1 − P0 ) Lq = Ls − (1 − P0 ) = m − λ
2
情 况 A B
时刻 t 的顾 客 N N-1
区 间 [ t, t+Δ t ] Δ 去（ 无 离 去（ 肯 定 不 到 达 ） 一人到达（无离去）
时 刻 t+Δ t Δ 的顾客数 N N
概率
(t)(1P n (t)(1 - μ Δ t) (t)· P n - 1 (t) · λ Δ t
∴ PN (t + ∆t ) = PN (t ) ⋅ (1 − µ∆t ) + PN −1 (t )λ∆t
= 3.76 × 12
0.9927
= 46
分钟
15
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(3) 出故障的平均台数
5 µ Ls = m − (1 − P0 ) = 5 − (1 − 0.0073) = 3.76 4 λ
台
(4) 等待修理的平均台数
Lq = Ls − (1 − P0 ) = 3.76 − 0.9927 = 2.77
台
(5) 平均停工时间
Ws =
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Ls
µ(1 − P0 )
1− ρ N ( N + 1) ⋅ ρN +1 ρ n ⋅ ρn = = − N+1 ∑ 1 − ρ n=0 1− ρ 1 − ρN +1
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(ρ≠ ρ≠1) ρ≠
5
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(2) 有效到达率λe 有效到达率λ 系统容量有限，当满员时，顾客将被拒绝， 系统容量有限，当满员时，顾客将被拒绝，实际 有效到达率为λ 。 有效到达率为λe。 的顾客到达率与λ不一样， 的顾客到达率与λ不一样， 可以证明： 可以证明： 还可验证： 还可验证：
λ e = µ(1 − P0 ) = 4 × (1 − 0.2778) = 2.89
(4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值:
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L Ws = s = 2 .11 0 .73 h = 43 .8 顾客为何不等待 2.89 =因为系统已 min λe
dP (t) n = λP (t) + µP +1(t) − (λ + µ)P (t) n n n dt
但当n=N时 有下面两种情况： 但当n=N时，有下面两种情况： n=N
……(1) (1)
(n=1,2,…N (n=1,2, N-1)
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m! i P0 = ∑ ρ i = 0 ( m − i )!
m −1
5! 5! 5! 5! 5! 2 3 4 5 = 1 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 + × 0.8 3! 2! 1! 0! 4!
2 3
−1
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m 1 Ls Ws = − = µ (1 − P0 ) µ (1 − P0 ) λ
1 = Lq Wq = Ws − µ µ(1 − P0 )
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某车间有5台机器 台机器， 例3 某车间有 台机器，每台机器的连续运转时间服 从负指数分布。平均连续运转时间15分钟 分钟， 从负指数分布。平均连续运转时间 分钟，有一个 修理工，修理时间服从负指数分布，平均每次12分 修理工，修理时间服从负指数分布，平均每次 分 钟。求：(1) 修理工空闲时间 解:(1) ∵m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=4/5=0.8
dPN (t ) = − µPN (t ) + λ PN −1 (t ) dt
其状态转移图为: 其状态转移图为
λ 0 μ
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………(8) (8)
λ 1 μ 2
λ
λ n-1
λ μ n
λ μ n+1
λ μ
λ
λ μ
3
... ...μ μ
... ... N-1
μ
N
状态转换图
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(1) 求某一顾客到达就能理发的概率 求某一顾客到达就能理发的概率:
1− ρ 1 − 0.75 P0 = = = 0.2778 N +1 8 1− ρ 1 − 0.75
(2) 求需要等待的顾客数的期望值 求需要等待的顾客数的期望值:
∑ P =∑ ρ
n=0 n n=0
N
N
n
⋅ P0 = P0 ∑ ρ = 1
n n=0
−1 n
N
1− ρ 而等比数列 ∑ ρ = 1 − ρ N +1 n =0
N
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4
∴
1− ρ P0 = 1 − ρ N +1 1− ρ n Pn = ρ N +1 1− ρ
P0=0.27780 P1=0.20836 P2=0.15627 P3=0.11720 P4=0.08790 P5=0.06593 P6=0.04944
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λ − λ e 3 − 2.89 = = 0.037 3 λ
= 0.9629=96.29% 故拒绝的概率为3.71% 故拒绝的概率为
...
(m-n+1)λ(m-n)λ(m-n-1)λ n+ ... n-1 ... n μ μ 1μ μ 状态转换图
λ
...
μ
m-1
μ
m
这样λe是随系统内顾客数而变化的。 这样 是随系统内顾客数而变化的。其状态转 是随系统内顾客数而变化的 移方程为： 移方程为： 0状态 状态
µPn+1 + λ(m − n +1)Pn−1 = [(m − n)λ + µ]Pn n状态 状态
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§3.3
顾客源有限的模型 [M/M/1/∞/m] [M/M/1/∞/m]
以机器修理模型为例，设有m台机器(总体)，故障 待修表示机器到达，修理工是服务员。机器修好后有可能 再坏，形成循环。虽然系统没有容量限制，但系统中的顾 客也不会超过m，故又可写成：[M/M/1/m/m]
λe Lq = Ls − = Ls − ρe µ
WS = Ls λe
∴
Wq =
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Lq
λe
例2．某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无 ．某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队， 座时将离去，顾客平均到达率为3人 ， 座时将离去 ， 顾客平均到达率为 人 /h，理发时间平 均为15分钟 分钟， 均为 分钟，求： (1) 求某一顾客到达就能理发的概率 求某一顾客到达就能理发的概率; (2) 求需要等待的顾客数的期望值 求需要等待的顾客数的期望值; (3) 求有效到达率 求有效到达率; (4) 求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间 平均值; 平均值 (5) 在可能到来的顾客中， 有百分之几不等待 在可能到来的顾客中 ， 就离开？ 就离开？ 解： N=? N=6+1=7，λ=3，μ=4 ，λ=3 μ=4
mλ (m-1)λ (m-2)λ 0 μ 1 μ 2 μ
...
(m-n+1)λ(m-n)λ(m-n-1)λ n+ ... n-1 ... n 1μ μ μ μ 状态转换图
λ
...
μ
m-1
μ
m
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mλ (m-1)λ (m-2)λ 0 μ 1 μ 2 μ
m状态 状态
µ P1 = m λ P0
µ Pm = λ Pm −1
1≤n≤m-1 ≤ ≤
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用递推方法解此差分方程，并注意条件， 用递推方法解此差分方程，并注意条件， Pi = 1 ∑ i=0 可以得到如下公式： 可以得到如下公式：
1
现在研究系统中有n个顾客的概率Pn(t)。
对于P (t)，前面的（ 式仍然成立。 对于P0(t)，前面的（2）式仍然成立。
dP (t) 0 = −λP (t) + µP (t) 0 1 dt
………(2) (2)
对于(1)式 也仍能成立。 对于(1)式，当n=1,2,…N-1时，也仍能成立。 (1) n=1,2, N
在稳态情况下有： 在稳态情况下有：
− λP0 + µP1 = 0 λP −1 + µP +1 −(λ + µ)P = 0 n n n
− µPN + λPN −1 = 0 解（9）式得： P = ρ ⋅ P ）式得： 1 0 2 P = ρ ⋅P 2 0
P = ρN ⋅ P 0 N
∵ ………
………(9) (9)
系统容量有限制的模型 §3.2 系统容量有限制的模型 [M/M/1]：[N/∞/FCFS] ： /∞/FCFS] 当系统容量最大为N时，排队多于N个的顾客将被拒绝。当 N=1时，即为损失制，N→∞时，即为容量无限制的情况。
排队系统 服务台 顾客 被拒绝 N … 4 3 2 1
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顾客源 .......
队列 ....... n m 服务台
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设每个顾客的平均到达率是相同的λ。 设每个顾客的平均到达率是相同的λ 这里λ (这里λ的含义是单台机器在单位时间里发生故 障的概率或平均次数) 障的概率或平均次数) 设系统内顾客数为L 则系统外的顾客为m-Ls。 设系统内顾客数为 s，则系统外的顾客为 。 对于有限源应按每个顾客单独考虑， 对于有限源应按每个顾客单独考虑，求出其有 效到达率λ 效到达率λe。 ∴ λ e = λ(m − Ls ) = µ(1 − P0 ) 这样λ 是随系统内顾客数而变化的。 这样λe是随系统内顾客数而变化的。其状态转 移图为： 移图为：