管理运筹学教案7_灵敏度

m ax Z = − x1 + 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + 0 x 5 s.t x1 + x 2 + x 3 + x 4 2 x1 − x 2 + x5 = 4 x1 , ⋯ , x 5 ≥ 0 =6
其最优单纯形表如下表所示。 问：1、当c1由-1变为4时，求新问题的最优解 2、讨论c2在什么范围内变化时，原有的最优解仍是最优解
§7 灵敏度分析
系数b 变化， 系数 i、cj 及技术条件 变化，最优 解的最优性、可行性是否变化？ 解的最优性、可行性是否变化？ 本 节 重 点 系数在什么范围内变化， 系数在什么范围内变化，最优解 或最优性不变？ 或最优性不变？ 如何求新的最优解？ 如何求新的最优解？
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a rj < 0}
C B 变为C B = (C B + ∆C B ) 时，检验数都满足
σ 'j ≤ 0
则最优基不变。
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6
（2）当cj是非基底变量xj的系数，检验数为
σ j = c j − C B B −1 Pj
或σ j = cj −
0 x6 1 －1/6 1/6
−
20 ∆c2 + 3 6
由
−4 −
∆ c2 ≤0 10
−2 −
3∆ c2 ≤0 10
−
20 ∆c2 + ≤0 3 6
即
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20 ≤ ∆c2 ≤ 40 3
时，最优基不变
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（2）若c3由20变为20 ＋∆c3则变化后的检验数为
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练习1 已知线性规划问题
Max
4x1 + 3x2 ≤ 120 2x1+ x2 ≤ 50 x1, x2 ≥ 0
最优单纯形表 cj
z = 50 x1 + 30 x2
50 b x1 20 0 15 1 0
= (−1, c′2,1,0,0) − (c′2, c′2, c′2, c′2,0) = (−1− c′2,0,1−c′2, −c′2,0) ≤ 0
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即
− 1 − c ′2 ≤ 0 1 − c ′2 ≤ 0 − c ′2 ≤ 0
0 1/10
* * 0 -3/2 x1 = 2, x2 = 3, z * = 9
σ
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(2)设 c 2 = 1 + λ 反映到最终单纯形表中 如下
cj CB 0 2 XB x3 x1 x2 b’ 15/ 2 7/2 3/2 2 x1 0 1 0 0
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -9/4 -6
θ
15 / 2 5/4 7 /2 1/4
0 1.5 2
x3 x1 x2
z=17/2
σ
0 1.5 2
j
x4 x1 x2
j
6 2 3
0 1 0 0
由于将c1，c2的变化直接反映到最终单纯 0 -1/5 0 1 形表后，变量x4的检验数大于0，故需继 1 续迭代单纯列表。最后得到最优解为 1/5 0 0
其最终单纯形表如下表所示
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cj CB 0 30 70 XB x4 x2 x1 －Z b 180 15 75
70 x1 0 0 1
30 x2 0 1 0
20 x3 － 4/5 1/10 3/10 －4
0 x4 1 0 0
0 x5 － 12/5 3/10 － 1/10 －2
ij
y
* i
（2）检查原问题是否仍有可行解。 （3）检查对偶问题是否仍有可行解。 （4）按表2-5所列情况得出结论和决定继续计算的步 骤
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表2-5 原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 问题的最优解或最优基 不变 用单纯形法继续迭代求 最优解 用对偶单纯形法继续迭 代求最优解 引进人工变量
c
得
' 2
≥ 1
c2 + ∆c2 ≥ 1
∆ c2 ≥ − 1
故当x1的价值系数改变量 ∆c 2 ≥ −1 时，原有最优解 仍能保持为最优解。
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例2-8 已知线型规划问题为
min Z = 70 x1 + 30 x 2 + 20 x3 3 x1 + 9 x 2 + x3 + x 4 ≥ 540 5 x + 5 x + 2 x + x ≥ 450 1 2 3 5 9 x1 + 3 x 2 + 3 x3 + x 6 ≥ 720 x j ≥ 0， j = 1, 2, ⋯ , 6
∑a
i =1
m
ij
yj
当cj变化∆cBiblioteka Baidu后，检验数应要小于或等于零，即
σ 'j = c j + ∆c j − CB B −1 Pj ≤ 0
c j + ∆c j ≤ YPj ∆c j ≤ YPj − c j
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例2-7已知线性规划问题的标准形式为
cj CB 2 0 XB x2 x5 6 10
-1 x1 1 3 -3
2 x2 1 0 0
1 x3 1 1 -1
0 x4 1 1 -2
0 x5 0 1 0 z=1 2
当c1由-1变为4时，新的线型规划问题的最优解变为
X = (10 / 3,8 / 3,0,0,0 )
∗
T
z = 56 / 3
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σ ′1 = c′1 − z′1 = (c + ∆c1) − CBB −1 p1 = (c1 − CBB −1 p1) + ∆c1
= σ 1 + ∆c1 = ( −3) + 5 = 2 > 0
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最优性准则已经不满足，重新迭 代，得到新问题的最优解
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−1
σ ≤0
' j
arj < 0, arj > 0,
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∆c r ≤ ∆c r ≥
σj
arj
; , j为非基变量
5
σj
arj
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∆cr的变化范围
max {
j
σ
j
a rj
a rj > 0} ≤ ∆ c r ≤ min {
j
σ
j
a rj
∗
（2）要使原最优解仍为最优解，只要在新的条件下仍满足最 优性准则： σ ≤ 0
c′2 = c 2 + ∆c 2
σ = C −CBB−1A = (c1, c′2, c3, c4, c5) −C′BB−1( p1, p2, p3, p4, p5)
1 = (−1, c′2,1,0,0) − (c′2, c5) 1 1 = (−1, c′2,1,0,0) − (c′2,0) 3 01 1 1 1 0 1 2 -1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1
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cj CB 2 0 XB x2 x5 6 10
-1
2 x2 1 0 0
1 x3 1 1 -1
0 x4 1 1 -2
0 x5 0 1 0
b
x1 1 3 -3
θ
σ
z=12
j
(1)由上表可知，当c1由－1变为4时，因为c1是非基变量x1 c 1 4 c x 解 (1) 的价值系数，因此由c1的改变受影响的只是自己的检验数σ 1 ，因 ∆c1 = c1' − c1 = 4 − (− 1) = 5
j
1+ λ
x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 －4
0 x4 5/4 1/4 -1/4
0 x5 －15/2 － 1/2 3/2
1+ λ
σ
− 1 / 4 + 1 / 4λ
−1/ 2 − 3/ 2λ
为使表中的解为最优解，则 σ j ≤ 0
1 1 − 4 + 4 λ ≤ 0 1 则c2的变化范围 2 / 3 ≤ c 2 ≤ 2 ⇒ − ≤ λ ≤1 3 − 1 − 3 λ ≤ 0 2 2
−4/5 R3 = 20 + ∆c3 − ( 0,30,70) 1/10 = −4 + ∆c3 ≤ 0 3/10
得∆c3≤4时，最优基不变。若∆c3＞4则我们可用单 纯形法继续计算。
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例2-9 某公司生产两种产品，最优生产计划采用有如下 线性规划模型
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cj
CB
0 2 1
XB
x3
x1
b
'
2
1
0
0
0
x1
0 1 0 0
x2
0 0 1 0
x3
1 0 0 0
x4
5/4 1/4 -1/4 -1/4
x5
-15/2 -1/2 3/2 -1/2
θ
15/2 7/2 3/2
x2
σ
j
17/2
cj CB 0 30＋∆c2 ＋ 70 －Z XB x4 x2 X1 b 18 0 15 75 7 0 x1 0 0 1 0 30＋ ＋ ∆c2 x2 0 1 0 0 20 x3 －4/5 1/10 3/10
−4 − ∆c2 10
0 x4 1 0 0 0
0 x5 －12/5 3/10 －1/10
−2 − 3∆ c2 10
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1、目标函数中价值系数C的变化 、目标函数中价值系数 的变化
（1）当cr是基变量xr的系数，即cr∈CB，cr变化∆cr后，有
σ ' j = σ j − ∆cr arj ( j = 1,2,..., n)
最优解不变
⋯, ∆Cr ,⋯,0) B −1 A CBB A + (0, − 1 = C B B A + ∆Cr (ar1 , ar 2 ,⋯, arn )
解：（1）将c1，c2的变化直接反映到最终的单纯形表 上如下表
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cj
CB XB
1.5 b’ 15/2 7/2 3/2 x1 0 1 0 0
2 x2 0 0 1 0 0
0 x3 1 0 0 0 4/5
0 x4 [5/4] 1/4 -1/4 1/8 1
0 x6 1 －1/6 1/6 － 20/3
0
0
0
问（1）c2在什么范围变化，最优基不变？ （2）c3在什么范围内变化，最优基不变？
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解：（1）设c2变化为 c2 = c2 + ∆c2 ，则变化之后得到的最 终单纯形表如下表
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灵敏度分析的步骤
（1） 计算出由参数aij,bi,cj的变化而引起的最终单纯形表上 有关数字的变化。
XB = B b ' −1 Pj = B Pj −1 σ = C − CB B A ≤ 0
−1
∆ b ' = B −1∆ b ' − 1 ∆ Pj ∆ Pj = B m σ ' = C a j j − ∑ i=1
max z = 2 x 1 + x 2
5 x 2 ≤ 15 6 x + 2 x ≤ 24 1 2 s .t . x1 + x 2 ≤ 5 x1 , x 2 ≥ 0
* 已知该线性问题的最优解为 x1* = 7 / 2, x 2 = 3 / 2, z * = 17 / 2
最终单纯形表如下表所示。 （1）若c1由2降至1.5，c2由1升至2，最优解会有什么变化？ （2）若c1不变，c2在什么范围内变化，最优解不发生变化？
1
7.1 灵敏度分析的原理
XB X = X N XS
B − 1b ≥ 0 CN − CBB −C B
−1
是最优解， 是最优解，则
bi
N ≤ 0
可行性条件 最优性条件
基变量c 基变量 B 一个非基变量
正则性
B −1 ≤ 0
增加新变量j 非基变量c 非基变量
系数a 的变化，要视a 系数 ij的变化，要视 ij对应的变量是基变量 或非基变量而定。 或非基变量而定。