2.5--矩阵的秩及其求法知识讲解

例8 设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n 证： ∵ (A+E)+(E-A)=2E ∴ R(A+E)+ R(E-A)≥ R(2E)=n 而 R(E-A )=R( A-E) ∴ R(A+E)+R(A-E)≥n
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作业
P109 1 2 3
18
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 记作R(A)或秩(A)。
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规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R(A)R(AT).
D
0
3
4
0 0 0
1 2
1 1 0
B 0 1 C 0 1 0
0 0
0 0 1
2 1 2 3 5
E
0
8
1
5
3
0 0 0 7 2
0
0
0
0
0
RA3 RB2 RC3 RD 2 R E 3
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
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例2
设
a A 1
R A nA ~ E
R A n A ~E n
例如 1
A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0 0 1 0 E
0 0 1
R A 3
A为满秩方阵。 15
关于矩阵的秩的一些重要结论：
定理5
R(AB) R(A), R(AB) R(B),即
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对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换， 相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的 定理
定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1,P2,,Ps. 使得 P sP s 1 ,P 2P 1A E
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对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
1、子式判别法(定义)。
例1
设
B
1 0
2 2
3 7
4 0 为阶梯形矩阵，求R(B)。
0 0 0 0
1
解 由于
2 0 ，存在一个二阶子式不为0，而
02
任何三阶子式全为0， 则 R(B) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
6
例如 1 2 3 0 A 0 1 0 1 0 0 1 0
1 2 5
5 3 6
1 A 3
1
1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A)2,
50,10
5,1
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三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
RAn, 称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
RAn, 称 A 是降秩阵，（奇异矩阵） 可见：R A n A 0
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2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A)R(B)
说明：1.ri rj 只改变子行列式的符号。
2. kri 是 A 中对应子式的 k 倍。 3. ri krj 是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
1 a
1 1
如果 RA3 , 求 a .
1 1 a
a11
解 R A 3A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 a 1 (a2)a (1)20
11a
a1 或 a 2
8
例3
K 1 1 1
A
1 1 1
K 1 1
1 K 1
1
1 K
R A 3 则 K 3
11 1 1
AK31 K 1 1 (K1)3(K3)
11 K1
11 1 K
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
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二、矩阵秩的求法
R(AB) min{R(A)，R(B)}。
设A是 mn矩阵，B是 nt 矩阵，
性质1 R (A )R (B )nR (A)B . 性质2 如果 A B = 0 则 R(A)R(B)n. 性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B均为 mn 矩阵，则
R (A B ) R (A ) R (B ). 16
第四节
第二章
矩阵的秩及其求法
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、满秩矩阵
1
一、矩阵的秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 Aaijmn在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k(1 k m m ,in n )
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
2
2. 矩阵的秩
定义2 设 Aaij mn，有r 阶子式不为0，任何r+1阶
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
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例4
1 0 A 2 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
Arr 23 2rr11
0 0
0 1 1
2 1 1
4 2 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
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例5
设 A1 3
1
1 1
2 2,且 R（ A） 2，求 ,