《圆的基本性质》教案-01

《圆的基本性质》教案

单元导航

本章是在学习了三角形、四边形内容的基础上进行学习的，是初中几何知识的深化和延续．同时，圆往往结合三角形或矩形、菱形、正方形、梯形这些特殊的四边形，使得几何图形得到了进一步的补充和完善．本章的主要内容是圆的有关概念、圆的轴对称性、圆心角和圆周角、弧长及扇形的面积以及圆锥的侧面积和全面积的计算，这些内容是今后学习旋转体、直线和圆的位置关系以及两圆位置关系的基础．

圆的有关性质是学好本章的基础和关键，也是今后继续学习几何的基础，是本章的教学重点；而掌握垂径定理及其推论以及圆心角、圆周角等定理，需要学生有较好的抽象思维能力和逻辑思维能力，是本章的教学难点．

在教学过程中，要充分利用学生对圆的熟悉度引导学生观察、动手、思考，尽量体现教学手段的直观性，激发学生学习的兴趣，以便学生更好地理解和掌握所学的知识，降低难度，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力．

3.1 圆（一）

教学目标

知识目标

1．理解圆、弧、弦等有关概念，学会圆、弧、弦等的表示方法．

2．理解直径和半径的关系，点与圆的位置关系并能正确判断．

能力目标：通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力．

情感目标：通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情．教学重点难点

重点：弦和弧的概念，弧的表示方法和点与圆的位置关系．

难点：点与圆的位置关系及判定．

课堂教与学互动设计

【创设情境，引入新课】

1．展示一些类似圆的形状的物体图片，例如高压锅封圈、?玉手镯……你觉得这些物体与哪种图形很类似呢？你能再举出一些例子吗？

2．你知道圆是怎样定义的吗？怎样作出适合某种需要的圆？

【合作交流，探究新知】

一、自主探索

1．师生一起用圆规画一个圆，其圆心为点O．

2．教师示范：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，?另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就得到一个圆．（课本图3-1）

3．圆上的任意一点P（铅笔尖）到定点O（图钉）的距离相等吗？

二、概念形成（一）

1．圆的定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点旋转一周（如图3-1-1所示），另一端点P所经过的封闭曲线叫做________，定点O叫做圆心，?线段OP?叫做圆的_________．

图3-1-1 图3-?1-2

2．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”．

3．弦的定义：连结圆上任意两点的___________叫做______________（如图3-?1-2中的AB）．经过圆心的弦叫做__________．显然，直径等于半径的______倍（?如图3-1-2所示）．

三、做一做

已知点O和线段a（如图3-1-3所示），请以O为圆心，线段a为半径作一个圆，并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦．

四、概念形成（二）

1．弧的定义：圆上任意两点间的__________叫做__________，简称弧．2．半圆、劣弧、优弧的概念及表示方法：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做________．小于半圆的弧叫做_________，?劣弧用符号“”和弧两端的字母表示，如图3-1-4中的劣弧BC记作BC，读作“弧BC”；大于半圆的弧叫做

_________，?优弧用符号“”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如图3-1-4中的优弧BAC，记作BAC，读作“弧BAC”．

图3-1-4 图3-1-5 图3-1-6

3．如图3-1-5所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？

?4．?等圆：?半径相等的两个圆能够完全重合，?因此，?把半径相等的两个圆叫做_________，如图3-1-6中的⊙O和⊙O是等圆．

5．想一想：等圆的半径相等吗？

6．补充：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做________．

五、议一议

同一平面内的点与圆有几种位置关系？怎样确定点与圆的位置关系？请你与你的同伴议一议．

结论：一般地，如果点P是圆所在平面内的一点，d表示点P到圆心的距离，r表示圆的半径，则有：

例1（课本例1）如图3-1-7，在A地往北80m的B处有一幢民房，正西100m的C?处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑．因施工需要必须在A处进行一次爆破，?为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？

图3-1-7

练一练（课本练习）

在直角三角形ABC中，∠C=Rt∠，AC=3cm，AB=5cm，若以点C为圆心，?画一个半径为3cm的圆，试判断点A，点B和⊙C的相互位置关系．

例2已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如图3-1-8所示．

（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？

（2）若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是多少？

图3-1-8

练一练

如图3-1-9，△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，AD是高线，AE是中线．

（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？

（2）以点A为圆心作⊙A，使点B，D，E，C四点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．

图3-1-9

课外同步训练

【轻松过关】

1．⊙O的直径为6，P为⊙O平面上一点，当OP=_______时，点P在⊙O上；?当OP_____时，点P在⊙O外；当OP_______时，点P在⊙O内．

2．圆内最大的弦长为12cm，则此圆的半径为_______cm．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以点A为圆心，11.5cm?长为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是________．

4．半径为7的圆，其圆心坐标是坐标原点，下列四个点A（3，4），B（4，4），C（4，5），D（4，6）在圆外的点是_______．

5．下列说法正确的是（）

A．优弧一定比劣弧长 B．与圆心距离相等的点都在这个圆周上

C．圆中的直径都互相平分 D．两条弦相等，则它们是等圆

6．下列说法中错误的是（）

A．直径是弦 B．半圆是弧

C．圆内最长的弦是直径 D．弧小于半圆

7．两圆的圆心都是点O，半径分别为r1，r2（r1

A．点P在大圆外 B．点P在大圆内

C．点P在小圆外 D．点P在大圆内小圆外

8．如图3-1-10，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，?则圆中不大于半圆的弧有（）

A．4条 B．5条 C．6条 D．7条

图3-1-10

9．任意画一条线段，然后以这条线段为直径画圆．

10．如图3-1-11，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上．（1）试写出图中所有的弦和劣弧．

（2）在△ABC中，∠BAC=90°，AO是BC边上的中点，BC为⊙O的直径，判断点A是

否在圆上？并说明理由．

图3-1-11 【适度拓展】

11．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以点C为圆心，

长为半径画圆，则点A，B，C，M与圆有怎样的位置关系？试说明理由．

12．如图3-1-12，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于⊙O外一点E，且DE=OB．

（1）试说明∠C=2∠E的理由；（2）如果∠AOC=60°，求∠E的度数．

图3-1-12

【探索思考】

13．如图3-1-13，AB为⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，?自上半圆一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P的位置如何？

图3-1-13

14．如图3-1-14，点B，E，G，M在半圆O上，四边形ABCO，ODEF，OHMN都是矩形，?设AC=a，DF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）．

A．a>b>c B．a=b=c C．c>a>b D．b>c>a

图3-1-14

【趣味阅读】:圆的历史

古代人最早是从太阳，从阴历十五得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？

18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，?再从另一面钻．石器的尖是圆心，它的宽度的一半是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔．

到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．

6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了．

古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲．后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样比扛着走省劲得多．

大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子──圆的木轮．约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子．

会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000年前，是由我国墨子给了圆的概念：“一中同长也”．意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早100年．