高数第一章复习资料

第一章预备知识

一、定义域

1.已知得定义域为,求得定义域。答案:

2.求得连续区间。提示:任何初等函数在定义域范围内都就是连续得。答案:

二、判断两个函数就是否相同？

1., 就是否表示同一函数？答案:否

2.下列各题中, 与就是否相同？答案:都不相同

三、奇偶性

1.判断得奇偶性。答案:奇函数

四、有界性

,使,则在上有界。

有界函数既有上界,又有下界。

1.在内就是否有界？答案:无界

2.就是否有界？答案:有界,因为

五、周期性

1.下列哪个不就是周期函数(C)。

A. B. C. D.

注意: 就是周期函数,但它没有最小正周期。

六、复合函数

1.已知,求

例:已知,求

解1:

解2:

令, , ,

2.设,求提示:

3.设,求提示:先求出

4.设,求提示:

七、函数图形

熟记得函数图形。

第二章极限与连续

八、重要概念

1.收敛数列必有界。

2.有界数列不一定收敛。

3.无界数列必发散。

4.单调有界数列极限一定存在。

5.极限存在得充要条件就是左、右极限存在并且相等。

九、无穷小得比较

1.时,下列哪个与就是等价无穷小(A)。

A. B. C. D.

十、求极限

1.无穷小与有界量得乘积仍就是无穷小。

, , , ,

2.自变量趋于无穷大,分子、分母为多项式

例如: 提示:分子、分母同除未知量得最高次幂。

3.出现根号,首先想到有理化

补充练习:

(1) (2)

(3) (4)

(5)

4.出现三角函数、反三角函数,首先想到第一个重要极限

例:

作业:P49 7 (1)~(3)

5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,首先想到第二个重要极限

例:

作业:P49 7 (4)~(6)

6.、、、、、、,可以使用洛必达法则

作业:P99 5 (1)~(8)

7.分子或分母出现变上限函数

提示:洛必达法则+变上限函数得导数等于被积函数

例:

补充练习:

(1) (2)

(3) (4)

十一、连续与间断

任何初等函数在其定义域范围内都就是连续得。

分段函数可能得间断点就是区间得分界点。

若,则在处连续,否则间断。

第一类间断点:左、右极限都存在得间断点,进一步还可细分为可去间断点与跳跃间断点。第二类间断点:不属于第一类得间断点,进一步还可细分为无穷间断点与振荡间断点。

1.设在处连续,求

解:

在处连续,

2.作业:P49 4、10 P50 11、12

3.补充练习:

(1)研究函数得连续性: ,

(2)确定常数,使下列函数连续:

, ,

(3)求下列函数得间断点并确定其所属类型:

十二、闭区间上连续函数得性质

零点定理: 在上连续,且,则在内至少存在一点,使得

1.补充练习:

(1)证明方程至少有一个不超过3得正实根。

(2)证明方程在内至少有一个实根。

(3)证明方程在内至少有一个实根。

(4)证明方程至少有一个小于1得正根。

第三章导数与微分

十三、重要概念

1.可导必连续,但连续不一定可导。

2.可导必可微,可微必可导。

3.函数在处可导得充要条件就是左、右导数存在并且相等。

十四、导数得定义

作业:P75 2

十五、对于分段函数,讨论分界点就是否可导？

例: 在处,连续但不可导

1.作业:P75 4、5

2.讨论下列函数在区间分界点得连续性与可导数答案:在处连续、不可导

答案:在处连续、不可导

答案:在处不连续、不可导

3.设,为使在处连续且可导, 应取什么值？

答案:

十六、求导数

1.求函数得导数,特别就是复合函数得导数

作业:P75 6、10

2.利用对数求导法求导数

作业:P76 13

3.求隐函数得导数

作业:P76 12

4.求由参数方程所确定得函数得导数

作业:P76 14

5.求高阶导数

作业:P75 11

6.求切线方程、法线方程

利用导数求出切线得斜率,则法线得斜率为

例:求曲线在处得切线方程。

解: 切线斜率,切线经过点

切线方程:

作业:P75 3

7.求变上限函数得导数

作业:P156 4

十七、求微分

1.,

2.,求

解:

作业:P76 15

十八、利用微分进行近似计算

公式:

作业:P76 16

第四章 中值定理与导数得应用

十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式

定理:设 在 上连续,在 内可导,则在 内至少存在一点 ,使得

证明步骤:(1)根据待证得不等式设函数 (2)叙述函数 满足定理条件 (3)根据定理证明出不等式。

1. 作业:P99 4

2. 补充练习:证明下列不等式:

(1)当 时,

(2)

(3)当 时,

二十、单调性与极值

1. 单调性:(1)确定单调区间可能得分界点(驻点与导数不存在得点) (2)将定义域分成若干个子区间,列表讨论 在各子区间上得符号,从而确定单调性与单调区间

作业:P99 6

2. 极值:(1)确定可能得极值点(驻点与导数不存在得点) (2)将定义域分成若干个子区间,列表讨论 在各子区间上得符号,从而确定单调性与极值

例:确定 得单调区间及极值点

作业:P100 9

二十一、求闭区间上连续函数得最值

步骤:(1)求出所有可能得极值点 (2)计算各可能极值点得函数值以及区间端点得函数值 (3)上述各值中最大得为max,最小得为min

作业:P100 10 (1)

二十二、最值得应用问题

步骤:(1)写出目标函数 (2)求出可能得极值点 (应用问题只有一个可能得极值点) (3)分析就是最大值问题还就是最小值问题。如果就是最大值问题,则写出 ,并且最大值 ;如果就是最小值问题,则写出 ,并且最小值 作业:P100 13

补充作业:从斜边长 得一切直角三角形中,求有最大周长得直角三角形。

第五章 不定积分

二十三、换元法、分部积分法求不定积分

1. 换元法

例:

解1(第一类换元

):

()1132

22221111(4) 412223124u x C x u x C +=---=-⨯+=---++=⎰

解2(第二类换元):