4.5.3函数模型的应用-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共34张PPT)

方法规律 选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差 距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模 的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
位:天)的数据如下表:
t/天
【例 4】 某个体经营者把开始六个月试销 A,B 两种
商品的逐月投资与所获纯利润整理成下面两个表:
投资 A 种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元
0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资 B 种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元
0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以 排除选 项A.将x =2.01,y =0.98 代入计 算可以 排除选 项B,C,故 选D.
D.y=log2x
2.00 )
答案:D
二、用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
解:若把 f(x)=px2+qx+r(p≠0)作为模拟函数,
则依题意,得
解得
所以 f(x)= x2+ x. 若把 g(x)=abx+c 作为模拟函数,
则
解得
所以 g(x)= ×( )x-3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的 单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5. 因为|f(4)-12|>|g(4)-12|, 故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据 较为接近, 所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p, 第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率 为( )
A. B.
C.
D.
-1
解析:设两年前的年底该市的生产总值为 a,则第二年 年底的生产总值为 a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平 均增长率为 x,则 a(1+x)2=a(1+p)(1+q).因为连续两年持续
答案:√
探索点一 指数函数模型
【例 1】 目前某县有 100 万人,经过 x 年后为 y 万人. 如果年平均增长率是 1.2%,请回答下列问题:
(1)写出 y 关于 x 的函数解析式; (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万 (精确到 1 年).
该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种商品,请你 帮助做一个资金投资方案,使该经营者能获得最大纯利润, 并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结 果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散 点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
A.y=0.2x
B.y= (x2+2x)
C.y=
解析:将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入 验证即 可.
D.y=0.2+log16x
答案:C
2.在某个物理实验中,测得变量 x 和变量 y 的几组数 据如下表:
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98
【思考】 (1)哪些实际问题可以用指数函数模型来解决?
提示:人口增长、银行利率、细胞分裂 等增长 率问题 可以用 指数函 数模型 来解决.
(2)哪些实际问题可以用对数函数模型来解决?
提示:地震震级的变化规律、溶液pH值 的变化 规律等 可以用 对数函 数模型 来解决 .
[基础测试] 1.某地区最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公 顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加数 y(单位:万公 顷)关于年数 x(单位:年)的函数关系比较接近 ( )
解:(1)根据题表中提供的数据,知描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数,
因此用函数 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 中的任何一个进行描 述时都应有 a≠0,
而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格中所提供 的数据不符,
所以应选取函数 Q=at2+bt+c(a≠0,因为当 a=0 时,该函数为 单调函数,与表中提供的数据不符)进行描述.
答案:×
(2)对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数 模型的模拟效果越好. ( )
解析:数据越多,模拟效果越好.
答案:√
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(3)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数 选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果 较好.( )
解析:根据散点图选择函数模型,针对性 较强, 得到的 函数模 型的模 拟效果 较好.
增加,所以 x>0,因此 x=
答案:D
-1,故选 D.
2.某食品的保鲜时间 y(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃) 满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718 28…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 h,在 22 ℃的保
24
鲜时间是 48 h,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是 h.
B 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规律是线性的,可以用一
次函数模型进行拟合.
设 y=kx+m(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,得
解得
所以 y=0.25x,经检验,符合要求.
所以前六个月所获纯利润 y 关于月投入 A 种商品的金额 x 的函数解析式是 y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润 y 关于月投 入 B 种商品的金额 x 的函数解析式是 y=0.25x. 设下月投入 A,B 两种商品的资金分别为 xA(单位:万元),xB(单位:万元),总利润为
探索点三 选择函数模型
【例 3】 据调查,人类在能源利用与森林砍伐中使 CO2 浓度 增加.调查数据显示,2016 年,2017 年,2018 年大气中的 CO2 浓度分别 比 2015 年增加了 1 个单位,3 个单位,6 个单位.
若用一个函数模拟每年 CO2 浓度比 2015 年增加的单位数 y 与 年份增加数 x 的关系,模拟函数可选用二次函数 y=px2+qx+r(其中 p, q,r 为常数,p≠0)或函数 y=abx+c(其中 a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1),又知 2019 年大气中的 CO2 浓度比 2015 年增加了 12 个单位,请问用以上 哪个函数作为模拟函数较好?
方法规律
函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据和表格绘出散点图. (2)通过观察散点图,作出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测 和控制,为决策和管理提供依据.
解得 x=log1.012 ≈16.
故大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万.
方法规律 解决有关增长(衰减)率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义. (2)具体分析问题时,应严格计算,先通过观察归纳出 规律,再概括为数学问题,最后求解数学问题即可.
【跟踪训练】
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
律可以用二次函数模型进行拟合.
设 y=a(x-h)2+b(a≠0),取(4,2)为最高点,则 y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)代
入,得 0.65=a(1-4)2+2,解得 a=-0.15,所以 y=-0.15(x-4)2+2,经检验,符合要求.
50
110 250
Q/(元/百千克)
150 108 150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述该 农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系:
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt; (2)利用(1)中选取的函数,求该农产品种植成本最低 时的上市时间及最低种植成本.
[知识梳理] 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
【思考】
根据实际问题如何构建函数模型?
提示:分析和理解实际问题的增长情况, 根据增 长情况 选择函 数类型 构建函 数模型 .
[基础测试] 3.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的. ( )
解析:对于一个实际问题,可以选择不同 的函数 模型, 只是模 拟效果 有所差 别.
(2)将题表所提供的三组数据分别代入 Q=at2+bt+c,
得
解得
所以 Q= t2- t+ = (t-150)2+100,
当 t=150 时,Q 取得最小值,Qmin=100. 即该农产品种植成本最低时的上市时间为 150 天,最低种 植成本为 100 元/百千克.
探索点四 建立拟合函数模型解决实际问题
解:(1)当 x=1 时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 当 x=2 时, y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2; 当 x=3 时, y=100(1+1.2%)2+100(1+2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y=100(1+1.2%)x(x∈N*). (2)当 x=10 时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人. (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万, 即 100×(1+1.2%)x=120,
为声强(单位:W/m2). (1)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝,求能听到
的最低声强为多少? (2)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50 分贝,已知
熄灯后两名学生在宿舍说话的声强为 5×10-7 W/m2,问这 两名同学是否会影响其他同学休息?
解:(1)当 Y=0,即 10lg =0 时, =1, 则 I=10-12 W/m2,则能听到的最低声强为 10-12 W/m2. (2)当声强 I=5×10-7 W/m2 时, 声强级 Y=10lg =10lg(5×105)=50+10lg 5>50, 所以这两名同学会影响其他同学休息.
解析:依题意有 192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以 e22k= =
= ,所以 e11k= 或- (舍去),于是该食品在 33 ℃的保鲜时
间是 e33k+b=(e11k)3·eb=( )3×192=24(h).
探索点二 对数函数模型
【例 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产 卵.记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼耗氧量的单位数为 Q,
研究中发现 v 与 log3 成正比,且当 Q=900 时,v=1. (1)求出 v 关于 Q 的函数解析式. (2)当一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时,耗氧量的单位数是
多少? (3)一条鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量的单位数
应怎样变化?
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.声强级 Y(单位:分贝)由公式 Y=10lg 给出,其中 I
W(单位:万元).那么
所以 W=-0.15(xA- )2+0.15×( )2+2.6.
当 xA= ≈3.2 时,W 取得最大值,约为 4.1,此时 xB=8.8,即该经 营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资 A 种商品,8.8 万元投资 B 种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为 4.1 万元.
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
[学习目标] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量 关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合 适的函数模型刻画问题的变化规律.
2.能将具体的实际问题划归为函数问题,并能通过分析
函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数 函数等的变化差异,正确选择合适的函数模型解决实际问题,
提升数学抽象、数学建模等素养.
一、指数函数模型和对数函数模型 [知识梳理] 1.指数函数模型 (1)表达形式:f(x)=abx+c. (2)条件:a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1. 2.对数函数模型 (1)表达形式:f(x)=mlogax+n. (2)条件:m,n,a 为常数,m≠0,a>0,a≠1.