机器人机构学作业答案

exp ξ2 θ2 ������ − ������ = ������ − ������ = exp −ξ1 θ1 ������ − ������ 与前相同，定义矢量u=（p-r） ，v=（q-r） ，z=（c-r） 。将其带入上式得 exp ω2 θ2 ������ = ������ = exp −ξ1 θ1 ������ 上式表明 ω2 T ������ = ω2 T ������ 和 ω1 T ������ = ω1 T ������ 且 ������ ������ = ������ ������ = ������ ������ 。因ω1 ，ω2 和ω1 × ω2 是线性独立的，故有 ������ = αω1 + βω2 + γ ω1 × ω2 和 ������ ������ = α2 + β2 + 2αβω1 T ω2 + γ2 ω1 × ω2 2 由上几式能得到含两个未知量得方程 ω2 T ������ = αω2 T ω1 + β ω1 T ������ = α + βω1 T ω2 从而得到 α= β= ω1 T ω2 ω2 T ������ − ω1 T ������ ω1 T ω2 2 − 1
Q' Q 。 Q' 维数的确定，以及并联机器人自由度的确定，需要对机构中的关
节数和构件数做仔细分析。 运动学逆解：并联机器人的运动学逆解问题可以通过对联基座和末端执 行器的各开链机构运动学逆解的处理来解决。
答：
(I - )

-1
1 = 3 2
3
1 1
2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
a1a3 a2 S 1 a1 a2 a3 a 3 S 2 a2 1 a3 S
a3 1 a1
a2 a1 1
=
2 2 1 a12 a2 a3 2(a1a a3 ) 2(a1a3 a2 ) 2 2 2 1 a1 a2 a3 2(a1a3 a1 ) 2(a1a2 a3 ) 2 2 2(a1a a2 ) 2(a2 a3 a1 ) 1 a12 a2 a3 3
答：1）开链机器人的机构特点：各杆循序构成单链相邻连杆间通过转动副或 移动副连接的开链机器人。开链机器人的自由度数等于该机器人的关节数。 运动特点：机器人的关节空间 Q 有机器人的变量的所有可能值构成，这 也是机器人的位型空间，这是因为给定了关节转角也就给定了机器人所有连 杆的位置。对于转动副，关节变量用转角 i 0, 2 给出，对于移动副，用 轴线方向观察线位移 i R 来表示，如果机器人的雅可比矩阵在某一位型降 秩，则此位型为奇异位型，机器人的在这一位型的运动不确定。 运动学正解：运动学把所有的关节变量都看作是转角，当给定彝族关节 转角θ ∈Q，希望确定工具坐标系相对与基础坐标系的位型。运动学正解可 用一个反映此相对关系的映射 gst : Q SE (3) 来表示。 开链机器人的运动学正解映射可以通过将有各关节引起的刚体运动加以 组合构成。如果定义 gli1li (i ) 为相邻连杆坐标系间的变换，那么总的运动方 程为： gst ( ) gsl1 (1 )gl1l2 (2 ) gln1ln (n )glnt ,这是相邻连杆的坐标系的相对 表示的开链操作器运动学正解的一般公式。用各关节的运动由位于关节轴线 的运动旋量产生。 将各关节加以组合， 即得运动学正解映射 gst : Q SE (3) 如 下：g st ( ) e11 e2 2 en n g st (0) ， 此式称为机器人运动学正解的支书积公式。
a1a 3 a 2 S a1 a 2a 3 S 2 1 a3 S
1 a12 S a a a3 -1 则， (I - ) (I + ) 1 2 S a1a3 a2 S
1 1 a
2
a3 a1a2 S 2 1 a2 S a1 a2 a3 S
机器人机构学作业
1. Point out the differences between the open chain robot mechanism and the closed chain robot mechanism in structure characteristics, movement characteristics and forward/inverse kinematics.
’
⟹ θ = αtan2 ωT ������’ × ������ ’ ，������’T ������’ 若������’ = 0，则有无穷多个解，因此此时p=q且两点位于旋转轴上。 问题2:如果这两个轴线不平平，即ω1 × ω2 ≠ 0，并设c是满足下式的点 exp ξ2 θ2 ������ = ������ = exp −ξ1 θ1 ������ 换句话说，c表示p绕ξ2 轴旋转θ2 所得之点。设r是两轴线的交点，那么
ω1 T ω2 ω1 T ������ − ω2 T ������ ω1 T ω2 2 − 1 再由上几式求解γ2 ，并利用 ������ ������ = ������ ������ 得 − α2 − β2 − 2αβω1 T ω2 ω1 × ω2 2 上式可能没有实根， 也有可能有1个或2个实根。 在有根的情况下， 由α、 β和γ可以求得z和c。 γ2 = ������ 为求θ1 和θ2 ，利用问题1解下式exp ξ2 θ2 ������ = ������和exp −ξ1 θ1 ������ = ������ 如果������有多个解，对应于每个c值都能解出相应的θ1 和θ2 。当图3.1中的圆相交于两个点时存 在两个解，圆相切时只有一个解，圆分离时无解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2 1 1 0 2 1 3 1 2 3 a3 = 2 1 a2 a2 0 1 2 3
1 a3 2 = 0 1 a3 0 0 a2 1
0 1 a1 a2 a3 2 1 a3
a1 a2 a3 a3 2 2 a1a3 a2 1 a12 a2 a3 2 2 1 a3 1 a3
0 0 1
2 1 a1 S 1 0 0 a a a3 = 0 1 0 1 2 S 0 0 1 a1a 3 a 2 S
2 2 2 其中，式中： S 1 a1 a2 a3
a 3 a1a 2 S 1 a2 2 S a1 a 2a 3 S

i 必须由基座开始循序编号，但是 g ( ) 给出的工具坐标系的位型与转动和 st
移动的实际循序无关。 运动学逆解：给定工具坐标系所期望的位型，找出该位型的关节转角。 也就是说，给定运动学正解映射 gst : Q SE (3) 和一个期望的位型 g d SE (3) ， 通过求解下式 g st ( ) g d ，获得θ ∈Q。该问题可能有多解、唯一解或无解。
解： 该问题对应于将一点p先绕轴ξ2 旋转θ2 ， 再绕轴ξ1 旋转θ1 ， p点的最后位置能与点q重合。 问题1：如果ξ1 和ξ2 重合，则满足θ1 + θ2 = θ的任意θ1 ，θ2 都是解。如下图所示，ξ1 、ξ2 重合 变成ξ轴。该问题对应于将一点p绕定轴ξ旋转至与第二点q重合。假设r是轴ξ上的一点，定义 u=（p-r）是r与p间的矢量，v=（q-r）是r与q之间的矢量。由exp ξθ p = q和exp ξθ r = r可 得exp ωθ ������ = ������。因此有exp ξθ ������ = exp ωθ ������。
求解运动学逆解问题时，首先要将问题细分为几个子问题。每个子问题可能 无解、有一个解或多个解，这与末端执行器的给定位置有关。如果该位型超 出机器人的工作空间，那么肯定无解，且至少有一个子问题无解。当位型空 间处于工作空间内，且有多组关节转角对应与末端执行器的同一个位置映射， 此时出现多解。如果某个子问题有多解，那么整个求解过程应考虑每个解的 情况。 2） 闭链机器人的机构特点：它是一种在末端执行器与机器人基座之间有 两个或多个分支运动链连接的机器人。相对于开链机器人而言，闭链机器人 具有刚性大和便于布置驱动装置等优点。 运动特点：对于并联机构，如果在某一位型其机构方程降秩，则在该位 型机器人是运动奇异的。在这种情况下，执行器就会失去在某个方向上瞬时 运动的能力。这一点与串联机构奇异位型的描叙。然而在该位型，尚不能确 定机构中那些关节是主动的，那些关节是被动的。如果并联机构的关节都是 主动的，则仅存在所能发生的奇异性。如果并联机器人中仅有部分关节都是 主动的，这样就会导致额外的奇异性，称之为驱动奇异性。 运动学正解：可以通过令每个分支运动链所确定的末端执行器的位置相 等来描叙。假设机器人的第一个分支运动链（包括末端执行器）有 n1 个关 节，第二个分支运动链（包括末端执行器）有 n2 个关节，则运动学正解可 用指数坐标表示为 gst e11 11 e 1n1



1n1
gst ( ) e21 21 e 2 n 2



2 n 2
gst ( ) 。它建立了
机器人关节转角之间的约束，正是由于这些约束的存在，从而仅须确定关节 变量的子集就能控制末端执行器的位置，而其余关节转角的变量的取值必须 满足上式。由于关节变量受到上式的限制，并联机器人的关节空间就不是简 单地象开链机构那样为各关节空间的笛卡儿积。相反，它是满足上式的子集
xB −sinϕB −l0 + l3 sinθ3 − l4 sinθ4 − y cosϕB −l3 cosθ3 − l4 cosθ4 B
图 3.2 为了确定该问题何时有解，定义������ 、������ ’ 为u、v在垂直于轴ξ的平面上的投影。如果ω是ξ轴 方向的单位矢量，那么 ������‘ = ������ − ωωT ������ 和 ������ ‘ = ������ − ωωT ������ 该问题有解当且仅当u、v在ω轴上的投影和在与ω垂直的平面上的投影具有相同的长度。严 格来说，如果将上式在ω生成的空间和ωT 的零空间投影，即得必要条件 ωT ������ = ωT ������ 和 ������’ = ������ ’ 如果上式成立，那么仅由3.2b所示的投影矢量������’ 、������ ’ 就可求得θ。若������’ ≠ 0，则利用如下关系 就可确定θ ������’ × ������ ’ = ωsinϑ ������’ ������’ ������’ ⋅ ������ ’ = cosϑ ������’ ������’
������
解： （1）如下图所示，以B点为原点，AB为x’轴，其垂直方向为y’轴建立Bx’y’坐标轴。对应 于该坐标轴中的任意一点（x’,y’）在oxy轴中的坐标为： x xB cosϕB −sinϕB x′ y = sinϕB cosϕB y′ − yB
而 对 应 于 两 个 脚 在 oxy 的 坐 标 轴 为 （ b ， 0 ） 和 （ a ， 0 ） ， 它 们 在 Bx’y’ 坐 标 轴 的 坐 标 为 −l0 + l3 sinθ3 − l4 sinθ4 ， − l3 cosθ3 − l4 cosθ4 l2 cosθ2 从而有 cosϕB b = sinϕB 0 和 和 l0 + l1 sinθ1 − l2 sinθ2 ， − l1 cosθ1 −