高观点下——代数学练习题

《高观点-代数》练习题一

1、 由A →B 的单映射σ的定义是什么?

2、由A →B 的满映射σ的定义是什么？

3、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件是什么？

4、y=lg x 是上凸函数还是下凸函数？

5、比较121()2Sin x x +与1212

Sinx Sinx +的大小？

6、若a>b>c>0，且a+b+c=1，求（1）、2abc 的极大值。（2）a ×b ×c=1， 求2a+b+4c 的极小值。

7、若|A|=m ，|B|=n ，则A →B 的所有不同映射的个数为多少？

8、皮阿罗公理中的归纳公式是什么？

9、自然数a 与b 加法的定义中两个条件是什么？

10、若f(x) =k x 为上凸函数则k 的范围是什么？

11、若x>0,y>0,z>0且满足92x +122y +52

z =9 , 求3x+6y+5z 的极大值。

12、求证半径为R 的圆内接n 边形以正n 边形的面积最大。

13、求多项式124321)(x x x x +++展开合并同类项后 （1）共有多少项？（2）335241x x x 的系数为多少？

14、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射.

15、自然数a>b 的定义是什么？

16、f(x)=3..0x ，g(x)=Sin x （0

中那几个函数为上凸函数？那几个函数为下凸函数？

17、已知x>0,y>0,z>0。且满足32x +2y +2

z =15 求2x+3y+4z 的极大值。 18、若0

i k i i k

n n x q x q x q x q 12211)...(其中n q q q +++...21=1, i=1,2,…n

19、皮阿罗公理中没有前元的元素是什么？

20、柯西不等式))(()(1

21221∑∑∑≤n i n i n i

i b a b a 等号成立的条件是什么？

21、令+Q 为正有理数集合，若规定2b a b a +=⊕ ，ab b a =•。 问

（1）{+Q ,⊕}是否构成代数体系，是否满足结合律。

（2）{+Q ,•}是否构成代数体系，是否满足结合律。

22、分别利用归纳法与反归纳法证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个

数的几何平均值。

23、在整数集合中求两个数的最大公因数是不是代数运算？

24、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有多少种？

25、f(x)为上凸函数的定义是什么？

26、给出自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射的例子。

27、求证代数系统(+R ,⨯)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，

R 表示实数集合，⨯与+就是通常的实数乘法与加法。

28、若x>0,y>0,z>0且满足32x +42y +52z =20 求9x+16y+7z 的极大值。

求证: 11a α+22a α+…+n n a αn n a a a α

αα...2121≥其中1α+2α+…+n α=1

0≥i α,0≥i a , i=1,2…n

《高观点-代数》第二次离线作业

1、环的理想定义是什么？

2、剩余类环12Z 中可逆元素是什么？

3、π为有理数域上的代数元还是超越元?

4、++21x x ……+n x =m 的非负整数解的个数为多少个？

5、n 个数码的扰乱排列总数为多少？

6、上11阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有多少种不同的法？

7、在}2,1,0{3=Z 中，求一个多项式f(x)使得f(1)=0，f(2)=0

8、n 对夫妻一起跳舞，问刚好有K 对夫妻为舞伴的方法有多少种？

9、从8个数字中取3个数字，但不准取连续两个数字的方法有多少种？（其中1和8这两个数字也算连续数字）。

10．若R 是因式分解唯一环，求证：

（1）、((a,b),c) ~ (a,(b,c)) （2）、(ab, ac) ~ a(b,c)

11、在二阶方阵环（实数域上）中给出两个零因子的例子？

12、素元素的定义为是什么？

13、不可约元素的定义是什么？

14、r n C 1-与11--r n C 的和等于多少？

15、在剩余类环8Z 中不可逆的元素是什么？

16、若环R={

m k 2

| m ∈Z ，k ∈Z} ，求证R 是整环，并求出R 中的所有可逆元素和不可约元素。

17、求在剩余类环12Z 中，（2-x ）(3-x )=0的根。

18、求多项式124321)(x x x x +++展开合并同类项后 （1）共有多少项？（2）3

35241x x x 的系数为多少？

19、从不大于100的正整数中，能被2，或3，或5整除的自然数共有多少个？ 20、8Z 中的可逆元素是什么？

21、1x +2x +3x =10方程的非负整数解的个数为多少？

22、在整环R={a+b 3 | a ∈Z ，b ∈Z }中2是不可约元素还是素元素？

23、上12阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有多少种不同的上法？

24、求出1---10000中，能被3，或5，或7整除的自然数共有多少个？

25、若环R={m

k 2| m ∈Z ，k ∈Z}找出所有可逆元素和不可约元素。 26、若数域F 含有无穷多个元素，求证：域F 上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。

27、给出整环中因式分解不是唯一的例子。

28、π是有理数环上的代数元还是超越元？

29、有理系数n 次多项式在有理数域内最多有多少根？

30、从n 个元素中取n+1个元素（允许重复取）有多少种方法？

31、求证整数环是主理想环。

32、举出一个整环例子，在这个环中因式分解不是唯一的，且有的不可约元素不是素元素（这里要说明整环为什么是整环，且该元素为什么是不可约元素）。

33、求从不大于1000中，能被3，或5，或11整除的自然数共有多少个？

34、展开多项式后合并同类项12

)(t z y x +++共有多少项？732t y x 的系数为多少？ 35、在8Z 中, 012

=-x 共有几个根?