山东建筑大学结构力学研究生专业课考试复习6位移计算2

1/ a 1/ a 1/ a 1/ a
1
2a
1
0
Ni
2a
AB = at0 N il
= a t (1/ a)a 4
= 4a t( )
静定结构由于支座移动而产生的位移计算
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以=0，=0，=0。代入
D =
M 2 Q 2 N 2 ds Rk ck
二、Δ=
MM P ds EI
NN P l
EA
R •c
K
K
刚架、梁
桁架
支座移动
组合结构、拱 •各项含义
•虚设广义单位荷载的方法
三、图乘法求位移
D
=
MM P EI
dx
=
w y0
EI
•图乘法求位移的适用条件
•y0的取法
例. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2 MP A l/2
A
D
B
ΔD
a/2
a/2
a
3Pa/32 P
Wab=0= Wba=P·ΔD+RC· ΔC RC=－3P/32
C 0.02m
(a)
(b)
Rc
小结
一、虚功原理We=Wi 力：满足平衡 位移：变形连续
虚设位移 虚设力系
虚位移原理（求未知力） 虚功方程等价于平衡条件
虚力原理（求未知位移） 虚功方程等价于位移条件
2
（3）
3
4
4
6
6 9
3
2 9
S = 6 9 ( 2 2 1 3) 4 9 ( 1 2 2 3)
23 3
23 3
= 33
（4）
2
3
69 2 1 S = ( 2 3)
23 3
6 9
= －9
b)非标准抛物线乘直线形
a h
c l
b ＝a
+
b h
d = al 2c d bl c 2d 2hl c d 2 3 3 23 3 3 2
得到： Dic = RK •cK
仅用于静定结构
h
11
l/2 l/2 a
b
X
A
=
1 h
YA =0
D
=
R
c
=
a h
弧度
YB
=
X 0
B
=
1 h
例： 求图示桁架制造误差引起的A竖向位移.
1
1cm
3
A
a
4a
Ni
解：构造虚拟状态
DN = N d
D AV = 3 (1) = 3cm
D =
M 2 Q 2 N 2 ds Rk ck
EI l
MP
ql B
l
M1
D BV
=
1 EI
1 2
3ql 2 2
l
2l 3
2l 3
ql 2 8
l 2
=
11ql 4 24 EI
求θB 12kN.m
A
4m
5kN
12
4kN2kN/m 4kN.m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI
4m
B
MP kN.m
4
8 M kN.m
4 1 1
B
=
1 EI
4
2
1 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
2EI
EI
l/2
l/2
ql2/2
ql2/4
ql2/8
l
l/2
M
2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。
A
AB杆的转角
P=1/ l
l ④
P=1/ l
（
A P=1/ l
l
⑤
B
P=1/ l
P=1/l P=1/l P=1/l
）
B l
l
C
A
AB连线的转角
P=1/ l B
解：W12=W21 ∵ W21=0 ∴ W12=PΔC－3Pl/16× θ ＝0
ΔC=3lθ /16
例：图示同一结构的两种状态， 求Δ=？
Δ=θA+ θB
3Pl/16
P
①
C
A l/2
l/2
θ ②
ΔC
A
θA
m=1
P=1
B① θB
m=1 ②
Δ
已知图a梁支座C上升0.02m引起的ΔD=0.03m/16，试绘图b的M图.
例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土
q=625 N/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
2.2m
0.8m
容重为25000N/m3，求C点的挠度。
解：q=25000×1×0.025＝625 N/ m E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2
§5-5 图乘法 位移计算举例
MiMk
直杆
ds
MiMk
EI =C
dx
1
EI
EI
EI
M iM k dx
M i是直线
1
EI
B
A M k xtanadx
=1 EI
tana
B
A xM k dx
x
dω
Mk
ω
dx
= tana
B
xdw
EI A
=
1 EI
tana ×w
x0
y
x0
=
1 EI
w y0
α Mi=xtanα
200 0.8
=
53.3
MP
0.8
P=1
y2
y1
y3
3
M
y3 = 4 0.8 = 0.6
DC
=
1 0.85EI
(w1 y1来自百度文库
w2 y2
w3 y3 )
= 1 2200.5335550.453.30.6=2103 m=0.2cm
3.6465
求B点竖向位移。
3ql2/2
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1 2
5 50 •
5 10 1
6
2
5 50 •
2 10 3
2 5 3
25 • 4
1 2
10
1 5 25 • 2 10 1 1010 2 10 1 20 1 10 20 1 10 2 20
2
=
32
3187.5 =
1.594
3
102
3
m
2
3
3
EI
ql2/2 A
ql2/8 q MP
Dit =
Nat0ds
M aDtds
h
= at0
Nds aDt
h
M ds
N拉为正，t0升温为正；Dt、wM
使杆件弯曲方向相同时取正。
=
a t0w N
aDt
h
w M
该公式仅适用于静定结构
例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.
t t t t B
a
1/ a
A
4a
解：构造虚拟状态
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。
P
A
EI
B
l/2
Pl/4 l/2 MP
例：求梁B点竖向线位移。
ql2/2
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4
1/2 M
B
=
1 EI
1 2
Pl 4
l•
1 2
= Pl 2 16 EI
M
1 1 ql2 3 ql4
DB = EI 3
1 3
4 40 3
1 2
1 80 4 ( 2 1 1 2) 1 4 120 ( 2 2 1 1)
2
33
2
33
1 120 2 2 2 2 2 10 1 2)
2
33
2
作业
• 5-22，5-23
§5-6 温度作用时的位移计算
1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。
AB杆和AC杆的 相对转角
习题5-20：求C点挠度 EI=2×108kNcm
40kN
40kN
20kN / m
20kN / m
2m
4m
解：设单位载荷状态
作MP、M 图
40 10
40
C
4m
2m
120 10
80
2
1
40 10
40
80
1
120 10
2
11
11
22
1
D CV
=
EI
( 40 4 2
1 3
80 4 2
2 8 22
= 17 ql4 () 384 EI ql2 / 8 q
q ql / 2 ql2 / 8
ql2 / 4
ql / 2
ql2 / 8
ql2 / 8
15
M
6
1
M1
= R12×c1 R22×0 R11
R21
R21 c1 = R12 c2
rij = Rij cj
R12
R22
称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。
r12 = r21
反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相
应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数 r12 。或者说,由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位 移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12 。
2）假设：温度沿截面高度为线性分布。
t0 = (h1t2 h2t1) / h
t1
Dt = t2 t1
3）微段的变形
t0
= at0
= d / ds
=
[a (t 2
t1)ds
/
h]
/
ds
t2
h h1 h2 ds
αt1ds
dθ αt0ds αt2ds
= aDt / h
γ=0
D =
M 2 Q 2 N 2 ds Rk ck
Mi
ql2 / 2
ql2 / 2
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
Dc =
wyc
EI
1 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l = (
EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
C q
1 l ql2 1 l ) 22 8 32
ql2 / 8 17 ql4
Mi y0 y0=x0tanα x
D
= MM P
dx
=w
y 0
EI
EI
D
=
MM P
dx
=w
y 0
EI
EI
注：①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；
c）两个弯矩图至少有一个是直线。
③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）
图形的形心处。
④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，
最一般情况： 外力、温度变化、支座移动、 制造误差（视误差为已知变形）
D = DP DT DC
DP =
MMP ds EI
NNP ds EA
kQQP ds GA
DT
=
a t0w N
aDt w
hM
Dc = RK • cK
c1 c2
三、反力互等定理
R11×0 R21×c2
1 3
12
2 3
8
4 8 2
2 3
1 2
1 3
1
44 2
1 3
1 2
2 3
1
2 3
4
4
•
0.75
= 20 3EI
5m 5m 5m
7kN 求A点水平位移。
F 2kN/m
35 D
50kN.m B
10
10
10
C
25
10
G
10kN
E 20
A
1kN 20
5m 5m
15kN
2kN
D AH
=
1 EI
折减抗弯刚度
q=625N/m
0.85EI=3.6465 ×104Nm2
w1
=
1 2
200 2.2
=
220
y1
=
2 3
0.8
=
0.533
w2
=
2 3
378 2.2
=
555
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
2.2m
0.8m
200
378
ω2
ω1
ω3
y2
=
1 2
0.8 =
0.4
w3
=
1 3
= ()
384 EI
ql2 / 32
ql2 / 8
ql2 / 2
q ql2 / 8
MP A l/2
Mi
l/2C l/2 B
1 C
Dc =
wyc
EI
= 1 (1 l ql2 3 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2
l ql2 1 l )
注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。
2）反力互等定理仅用于超静定结构。
4. 反力位移互等定理:
单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发 生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向
的位移，但符号相反。-----反力位移互等定理
r12 = 21
例：已知图①结构的弯矩图 求同一结构②由于支座A的转动 引起C点的挠度。
2
l• l= 4 8EI
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同 侧乘积取正，否则取负。
（1）
4 6
2 3
9
S
=
9
4
1 (
2
2
3)
9
6
2 (
2
1
3)
23 3
23 3
=111
S = 2 9 ( 2 6 1 4) 3 9 (1 6 2 4)
23 3
23 3
=15
（2）
否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
2/3
1/3
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)