机器视觉 空间几何变换

1维射影空间是一条射影直线, 它由我们所看到 的欧氏直线和它的无穷点组成; 2维射影空间是一个射影平面, 它由我们所看到 的欧氏平面和它的无穷远直线组成; 3维射影空间由我们所在的空间与无穷远平面组 成.
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齐次坐标（Homogeneous Coordinates ） 在 n 维空间中, 建立欧氏坐标后, 每一个有限 的点的坐标为 (m1 ,..., mn ) , 对任意 n+1 个 数 x1 ,..., xn , x0 , 如果满足: 则 ( x1 ,..., xn , x0 ) 被叫作这个点的齐次坐标. (m1 ,..., mn ) 被称作非齐次坐标. 不全为0的数 x1 ,..., xn 组成的坐标 ( x1 ,..., xn ,0) 被称作无穷远点的齐次坐标.
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成像几何（Projective Geometry）

空间实际长度与图像中的长度成一定比例放缩
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Projective Geometry
What is lost?
Length Angles

Parallel?
Perpendicular?
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Projective Geometry
3D world 2D image
Point of observation
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Figures © Stephen E. Palmer, 2002
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Slide source: Seitz
Projection can be tricky…
直线L上三个点A, B, C。以A、B为基础 点，点C为分点，由分点与基础点所确 定的两个有向线段之比称为简比，记为 一条直线上四个点中两个简比的比值称为 交比 以O点为交点的任意4条直线的交比称为线束交比
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不变量

射影变换不变性和不变量如下:



（1）同素性和接合性 （2 ）保持直线上点列的交比不变。 （3） 保持线束的交比不变。 （4）如果平面内有一线束的四直线被任一直线所截， 则截点列的交比和线束的交比相等。 （5）点列交比是射影变换的基本不变量，是射影变换 的充分必要条件，且共线四点交比具有如下特性：

四元数表示法
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Institute of Robotics and Automatic Information System
The End
Homogeneous Coordinates Cartesian Coordinates
Point in Cartesian is ray in Homogeneous
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齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）

为什么要用齐次坐标表示？
可以表示无穷远点； 提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中 的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的 有效方法。
其中，
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刚体变换

旋转矩阵R有9个参数，但并不是互相独立的，具 有如下特性:

R只有3个独立参数，即满足以下6个约束条件:
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旋转矩阵的表示形式

欧拉角表示法
Rodrigues' rotation formula
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旋转矩阵的表示形式
What is preserved?

Straight lines are still straight
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成像几何（Projective Geometry）

消失点/无穷远点（Vanishing Point）
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成像特点（Properties of Projection ） 点（points）投影后为点； 线（lines）投影后为线； 平面（planes or polygon ）投影后为平面（可 能不是整个平面）。 特殊情况：
Vertical vanishing point (at infinity) Vanishing line
Vanishing point
深圳大学光电子研究所 Slide from Efros, Photo from Criminisi
Vanishing point
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Vanishing points and lines
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不变量
特征矢量CR反映了空间平面多边形的结构和形状.
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2.3
欧氏空间的刚体变换
在机器视觉中，刚体变换经常用于
1、计算一个刚体经过旋转和平移后的新坐标; 2、计算同一个刚体在不同坐标系中的坐标。 假设在欧氏空间有一点p，其在两个坐 标系中的坐标分别是 和 ，有变换
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xn x1 x0 0, m1 ,..., mn . x0 x0
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齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）

一维齐次点坐标定义
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齐次坐标（Homogeneous Coordinates ）

二维齐次点坐标定义
非齐次 关系 x = x 1 / x3 , y = x2 / x3 齐次坐标 (x1, x2, x3) (x3≠0) (x1, x2, 0) (x1≠0) (λ=x2/x1)
P (0,0, x3 ), ( x3 0) 1
有穷远点 方向为λ =x2/x1的 无 无穷远点 穷 远 点 y轴上的 P (0,0) 1 无穷远点 P2 (1,0)
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(x, y)
(0,P 2,00),1(x2≠0) x ( ,0 ) 1
P2 (1,0,1)
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P2 ( ,0, ), ( 0)
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不变量

仿射变换除具有以上射影变换不变性外，还具有 如下特性:



（l）两直线间的平行性是仿射不变换。 （2）共线三点的简比是仿射变换的基本不变量。 （3）两个三角形的面积之比是仿射不变量。 （4）两条封闭曲线所围成的面积之比是仿射不变量。


比例变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两 条相交直线的夹角不变，因此其形状保持不变; 欧氏变换不仅保持两条相交直线的夹角不变，而 且还保持任意两点的距离不变，因此，其形状和 大小均保持不变。
无穷远直线
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无穷远元素

3维空间中所有的无穷远点组成一个平面, 称为 这个空间的无穷远平面.
平行线
平 行 平 面 和 直 线
无穷远平面
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Vanishing points and lines
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Vanishing points and lines
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Slide source: Seitz
Projection can be tricky…
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成像几何（Projective Geometry）
What is lost?

Length
Who is taller?
Which is closer?
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比例变换（Metric transformation）

比例变换是带有一比例因子的欧氏变换，其三维空 间变换形式：
比例变换有7个自由度， 其中3个旋转，3个平移 和1个比例因子。
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比例变换不改变物体空间的形状，只是改变大小， 所以有时将比例变换称为相似变换。 35/

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射影变换(projective transformation)

n维射影空间的射影变换:
射影变换由Tp矩阵决定， 有(n+1)2个参数，独立参数(n+1)2-1个
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射影变换(projective transformation)

1维射影变换:

深圳大学光电子研究所 Photo from online Tate collection
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Note on estimating vanishing points
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射影空间 对 n 维欧氏空间加入无穷远元素, 并对有限元 素和无穷远元素不加区分, 则它们共同构成 了 n 维射影空间.

经过光心的线投影后退变为点； 经过光心的平面投影后退变为线。

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无穷远元素
平行线交于一个无穷远点; 平行平面交于一条无穷远直线;
无穷远 无穷远
无穷远点
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无穷远元素

在一个平面上, 所有的无穷远点组成一条直线, 称为这个平面的无穷远直线.
平行线
3维射影变换:
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仿射变换（Affine transformation）

仿射变换是射影变换的特例 ，当射影中心平 面变为无限远处时，射影变换就变成了仿射 变换。
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仿射变换（Affine transformation）

1维仿射变换:

3维仿射变换:
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Homogeneous coordinates Invariant to scaling
x k x kx x kw w y k y k ky y w k w kw w
欧氏变换（Euclidean transformation）

欧氏变换是在欧氏空间进行的变换，与比例 变换很类似，只是比例因子取为1。在三维 欧氏空间其变换形式可表示为
欧氏变换有6个自由度， 其中3个旋转，3个平 移。
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2.2
几何变换的不变量
在几何变换中，某些几何特性在变换前后具有不变化 的特性。这样的特性或特征量称为不变特性或不变量。 2.2.1 简比与交比
机器视觉及应用
李东 lidong@szu.edu.cn
主要内容
2.1 空间几何变换 2.2 几何变换的不变量 2.3 欧式空间的刚体变换

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2.1
空间几何变换
摄像机成像的几何 变换？
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Dimensionality Reduction Machine (3D to 2D)
Homogeneous coordinates
源自文库
Conversion
Converting to homogeneous coordinates
homogeneous image coordinates
homogeneous scene coordinates
Converting from homogeneous coordinates