简谐振动波动时空对称性运用

简谐振动与波动的时空对称性运用物理现象及物理过程往往存在与之对应的另一面，这种互相对应构成了一个和谐的统一体，这就是物理学中的对称性。

平面简谐波在空间里，沿着任何方向平移一个波长，平移后的图象与原图象完全重合，这种操作可继续下去，这就是空间平移对称；简谐波中各个质点的振动在时间上，提早或延期一个周期，提早或延期后各个质点的振动情况与原来完全相同，这是时间平移对称。同时这种时间平移与空间平移也具有对称性，即在时间上简谐振动每经过一个周期，空间上波就向前传播一个波长的距离，简谐振动的相位就落后2π。它们之间的关系为：

==

由上式可得

δt=t （1）

δφ=2π（2）

（1）（2）两式表示，沿着波的传播方向，空间上相距δx的两个质点，后一质点完成前一质点完全相同的振动情况时间差为δ

t=t，两质点做简谐振动的相位差为δφ=2π。利用（1）（2）两式可以方便我们分析和处理有关简谐振动和波动问题。现列举几例与大家共议。

例1.如图1所示，分别为一列简谐横波在某一时刻的图象和x=6 cm处质点从该时刻开始计时的振动图象，设这列简谐横波上x=2.5 cm处的质点为a。

（1）画出从该时刻起质点a的振动图象；

（2）求从该时刻起，质点a第一次到平衡位置且向下振动需要多长时间。

解析：由x=6 cm处质点从该时刻开始计时的振动图象可知，零时刻该质点向上振动，则这列简谐横波的传播方向为沿－x方向，t=0.08 s，则ω==25π；由波动图象可知λ=8cm。

由于波的传播方向为沿－x方向，根据惠更斯原理可设x=6 cm 处质点为波源，其振动方程为y=5sin25πt cm

x=2.5 cm处的质点a与x=6 cm处的质点相距δx=3.5 cm，根据（2）式，质点a的振动相对于x=6 cm处的质点相位落后δφ=2π=π，由此可得质点a的振动方程为：ya=5sin（25πt-π） cm 根据a点的振动方程画出其振动图象如图2所示。

由a点的振动图象可知，从该时刻起质点a第一次到平衡位置且向下振动需要的时间为t=0.075 s。

该题如果只求从该时刻起，质点a第一次到平衡位置且向下振动需要的时间，而不要求画出其振动图象，就可以直接根据（1）式求出。由图2中的波形图可知，该时刻距离质点a最近的在平衡位置且向下振动的质点在x=10 cm处，两者相距δx′=7.5 cm，根据（1）式，质点a要完成在x=10 cm处的质点完全相同的振动情况时间上就落后至少t=t=0.075 s。当然，求出了质点a振动的初相也可根据“参考圆”求解，t= s=0.075 s。

例2.如图3所示，甲、乙两图分别表示一列横波上相距3 m的

两个质点a和b的振动图象，已知波长为3 m＜λ＜12 m，设质点p距离b质点 m且在a、b之间，求从t=0开始，经过0.75 s，质点p通过的路程。

解析：由振动图象可知a=2 cm，t=0.6 s，ω==。由题意，ab

间的距离不到一个波长，由振动图象考虑到t=0时，a质点在波峰、b质点在平衡位置向上振动这个条件，可见若该波由a向b传播，则=λ，得λ=12 m，显然不合题意。

所以该波的传播方向是由b向a，则=λ，得λ=4 m。

由题意pb之间的距离δx= m，由（2）式可知p质点振动相位落后b质点δφ=2π=，根据惠更斯原理可设质点b为波源，其振动方程为：y=2sint cm，则p质点的振动方程为yp=2sin（t-） cm 考虑到=1+，即δt=t+t，结合“参考圆”分析，可得这段时间内质点p通过的路程为s=4a+asin+asin=（9+） cm。

从该题的结果不难看出做简谐振动的质点经过1个周期，质点经过的路程是4a；经过个周期，质点经过的路程是2a；经过个周期，质点经过的路程却不一定是a，可能大于a，也可能小于a，只有当质点从平衡位置或位移最大处开始计时，经过个周期，质点经过的路程才是a。

例3.如图4所示，实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经1 s后，其波形如图中虚线所示。该波的波速为34 m/s。判断该波是向x轴正方向传播还是向x轴负方向传播。

解析：由图象可知该波波长是λ=12 m。

若该波向x轴正方向传播，则图中波峰a至少到达波峰b，ab=λ，根据（1）式，时间上至少需要t=t，由波传播的周期性可知，波形图由图中实线变成虚线所需的时间就应该是δt=t+nt

（n=0,1,2…），t=，有v==，将v=34 m/s、λ=12 m、δt=1 s代人得n=2，所以该波是向x轴正方向传播。

若该波向x轴负方向传播，则图中波峰a至少到达波峰c，=λ，同理，波形图由图中实线变成虚线所需的时间就应该是δt=t+nt （n=0,1,2…），t=，又v==，将v=34 m/s、λ=12 m、δt=1 s代入得n=，显然n不是整数，所以该波不可能向x轴负方向传播。

例4.如图5所示，有两个波源位于同一介质中的a、b两点，振动均沿竖直方向，振幅相等，频率皆为100 hz，但b点波源比a点波源的相位超前π，若a、b相距30 m，波速为400 m/s，试求ab 之间的连线上因干涉而静止的位置有哪几个。

解析：该题学生很容易生搬硬套造成错误。根据题意λ==4 m，设ab之间任一点p到a的距离为x，因干涉而静止不动的点为相消干涉，波程差应为半波长的奇数倍，则（l-x）-x=（2n+1）。这样求解显然是错误的，错误的原因是学生忽略了题目中所给的“b点波源比a点波源的相位超前π”这一条件。其实同频率、相位差恒定的两个波源也是相干波源。

设a点的振动方程为ya=asinωt，由题意，b点的振动方程就为yb=asin（ωt-π），任一点p到a、b的距离分别为δx、l-δx，则点p在a波源激起的波中的相位就落后a波源2π，点p在b波

源激起的波中的相位就落后b波源2π。

由此可得，两列波在p点相位差为δφ=（0-2π）-（-π-2π）根据相消干涉条件δφ=（2n+1）π，代入数据可得

（16-δx）π=（2n+1）π（n=0，1,2…）

所以δx=1 m，3 m，5 m，7 m，…，27m，29 m，共15处。

（作者单位泰州市高港实验学校）

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以pdf格式阅读”