初一升初二数学衔接(8)
20XX年秋季初一升初二数学衔接·第7讲
——全等三角形（八年级上11章）【知识要点】
一、能完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角．
全等三角形的对应边相待，对应角相等．
二、全等三角形的判定方法：
1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
2．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．3．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
4．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．【典型例题】
例1已知：如图，△ABC≌△DFE，写出图中相等的边和角．
自我解答：
分析：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
解：∵△ABC≌△DFE，
∴AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE，
∠A＝∠D，∠ABC＝∠DFE，∠C＝∠E．
例2 如图，已知：△ABC≌△ADE，∠EAC＝21o，求∠BAD的度数．
自我解答：
分析：由△ABC≌△ADE，可知∠EAD＝∠CAB，进一步可推出∠EAC＝∠DAB．
解：∵ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAD－∠CAD＝∠CAB－∠CAD，
即∠EAC＝∠DAB，
∵∠EAC＝21o，
∴∠DAB＝21o．
例3 如图，AC＝BD，AB＝DC，（1）说明∠B＝∠C的理由；（2）∠BAE与∠CDE能否相等？
自我解答：
分析：由图可知AD＝DA，再结合已知条件可得△ABD≌△DCA．解：（1）∵
?
?
?
?
?
DA
AD
DC
AB
BD
AC
＝
＝
＝
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠B＝∠C．
（2）∠BAE＝∠CDE．
说明方法（一），由（1）得∠B＝∠C，
又∵∠AEB＝∠DEC，
由三角形内角和等于180o，可得∠BAE＝∠CDE．
说明方法（二），由（1）得△ABD≌△DCA，
∴∠BAD＝∠CDA，∠CAD＝∠BDA，
∴∠BAD－∠CAD＝∠CDA－∠BDA，
即∠BAE＝∠CDE．
A
B
C
D
E
例4 如图，AD ＝AE ，∠1＝∠2，BD ＝CE ．说明∠BAE ＝∠CAD 的理由． 自我解答：
解：∵??
?
??∠∠CE BD AE AD ＝＝＝21
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠BAD ＝∠CAE ，
∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ， 即∠BAE ＝∠CAD ．
说明：此题还可以用下列方法说明．
∵BD ＝CE ， ∴BD ＋DE ＝CE ＋DE ，即BE ＝CD ， ∵∠1＝∠2， ∴∠ADC ＝∠AEB ，
由??
?
??∠∠CD BE ADC AEB AD AE ＝＝＝ ∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠CAD ．
例5 如图，AB ＝AD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠ADE ．判断BC 与DE 是否相等，说明理由．
分析：只需说明△ABC ≌△ADE 即可． 自我解答：
解：BC ＝DE ．理由如下： ∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，
由??
?
??∠∠∠∠ADE B AD AB DAE BAC ＝＝＝ ∴△ABC ≌△ADE （ASA ） ∴BC ＝DE ．
例6 如图，AB ＝AC ，BD ＝CE ，O 是BE 、CD 的交点，连接AO ．该图中共有哪几对全等三角形？说明理由． 自我解答：
解：（1）△ABE ≌△ACD ．理由：
∵AB ＝AC ，BD ＝CE ， ∴AD ＝AE ，
由??
???∠∠AD AE CAD BAE AC AB ＝＝＝，可得△ABE ≌△ACD （SAS ）． （2）△BOD ≌△COE ．理由：
由（1）知△ABE ≌△ACD ，则∠ABO ＝∠ACO ，
∵??
???∠∠∠∠CE BD COE BOD ACO ABO ＝＝＝， ∴△BOD ≌△COE （AAS ）．
（3）△ABO ≌△ACO ．理由：
由（2）知△BOD ≌△COE ，则BO ＝CO ，∠ABO ＝∠ACO ，
∵??
?
??∠∠CO BO ACO ABO AC AB ＝＝＝， ∴△ABO ≌△ACO （SAS ）．
（4）△ADO ≌△AEO ．理由：
由（3）知△ABO ≌△ACO ，则∠BAO ＝∠CAO ； 又由（1）知AD ＝AE ；
∵??
?
??∠∠AO AO CAO BAO AE AD ＝＝＝，
∴△ADO ≌△AEO （SAS ）．
（5）△BDC ≌△CEB ．理由：
由（1）知△ABE ≌△ACD ，则CD ＝BE ；
∵??
?
??CB BC BE CD CE BD ＝＝＝，
∴△BDC ≌△CEB （SSS ）．
【中考链接】
1．（北京市海淀区中考题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ．若∠B ＝20o，则∠C ＝度． 答案：20o
提示：△ABE ≌△ACD
2．（河北省中考题）已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF ． 求证：DE ＝BF ．
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠ADE ＝∠ABF ＝90o， ∵EA ⊥AF ，
∴∠BAF ＋∠BAE ＝∠BAE ＋∠DAE ＝90o， ∴∠BAF ＝∠DAE ，
由??
???∠=∠=∠=∠BAF DAE AB
AD ABF ADE 得△ADE ≌△ABF （SAS ） ∴DE ＝BF ．
3．（徐州市中考题）已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E 、F 是垂足，DE ＝BF ．
求证：AF ＝CE ，且AB //CD ． 证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠AFB ＝∠CED ＝90o， 在Rt △AFB 和Rt △CED 中
?
?
?==DE BF CD
AB ∴Rt △AFB ≌Rt △CED （HL ） ∴AF ＝CE ，∠A ＝∠C ， ∴AB //CD ． 4．（20XX 年荆州市中考题）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，且AE ＝CE ，FC //AB ． 求证：CD ＝AF ． 证明：∵FC //AB ， ∴∠DAE ＝∠FCE ， 在△ADE 和△CFE 中
??
?
??∠=∠=∠=∠) ( 对顶角相等CEF AED CE
AE FCE DAE ∴△ADE ≌△CFE （ASA ） ∴DE ＝FE ，
在△AEF 和△CED 中
??
?
??=∠=∠=DE EF CED AEF CE AE )( 对顶角相等∴△AEF ≌△CED （SAS ）∴CD ＝AF ．
20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第7讲·课后练习
姓名：
一、选择题：
1．下列结论正确的个数是（ ）
① 有两个角和一个角的对边对应相等的两个三角形全等； ② 三条边对应相等的两个三角形全等； ③ 两个等边三角形全等；
④ 有一边对应相等的两个等边三角形全等； ⑤ 三个角对应相等的两个三角形全等。
（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）2个 2．满足下列哪种条件时，就能判定△ABC ≌△DEF （ ）
（A ） AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E （B ）∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠C ＝∠F （C ） AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F （D ）∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E 3．如图，在△ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是（ ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
4．在△ABC 中，若C B A ∠=∠=∠3
12
1，那么这个三角形是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上都不对
5．如图，MP ⊥NP, MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP,，连接TQ ， 则下列结论中，不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ （B ）∠MQT ＝∠MQP （C ）∠QTN ＝90o （D ）∠NQT ＝∠MQT
二、填空题：
6．在△ABC 中，∠A －∠C ＝25°，∠B －∠A ＝10°，则∠B ＝°． 7．已知三角形的三边长分别为2、6、x ，则x 的取值范围是． 8．如图，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，△ABE ≌△DCF ，∠B ＝∠C ，那么AB 的对应边是．
9．在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝60°，∠B 和∠C 的平分线交于O ，则∠BOC ＝．
10．如图，已知D 、E 是△ABC 中BC 边上的两点，AD ＝AE ，请你再附加一个条件，使△ABE ≌△ACD ．
三、解答、证明题：
11．如图，已知FD ∥AC ，DE ∥AB ，∠A ＝55°．求∠FDE 的度数．
12．已知，如图，AB ＝AC ，OE ＝OD ，OB ＝OC ，求证：△ABD ≌△ACE ．
13．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点M ，BD 交AC 于点N ，求证：（1）BD ＝CE （2）BD ⊥CE ．
14．如图，AD∥BC，AB∥DC，MN＝PQ，求证：DE＝BE．
15．已知，如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．
16．如图，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，求证：BD平分EF，若将△DEC的边EC沿AC方向移动，其余条件不变，上述结论是否成立，说明理由。
20XX年秋季·第7讲·课后练习参考答案本讲试题主要以证明为主，答案略